Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 3

Выберем точку, потенциал которой примем равным нулю. Пусть это будет точка, бесконечно удаленная от заряда Q. Поскольку работа по переносу пробного заряда из данной точки в бесконечность не зависит от формы траектории движения, то рассмотрим такое движение пробного заряда, при котором (т.е. вдоль прямой, совпадающей с осью Or).

Тогда при условии ()=0 получаем зависимость потенциала поля точечного заряда от расстояния

На рис. 1.12 показан график функции  (r).

Пример 2. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое системой точечных зарядов . Тогда потенциал произвольной точки пространства можно определить как ; (при этом ). Здесь – вектор напряженности поля, найденный по принципу суперпозиции (1.9):

Таким образом, потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности. В этом состоит принцип суперпозиции потенциала электростатического поля.

При рассмотрении поля, созданного непрерывно распределенным зарядом, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• 1. Выделить в объекте элемент заряда , который в условиях данной задачи можно считать точечным.

• 2. Выразить потенциал поля этого заряда в рассматриваемой точке.

• 3. Определить потенциал в заданной точке пространства методом суперпозиции:

или .

1.5. Связь напряженности и потенциала.Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение

позволяет по заданной зависимости напряженности поля от координат найти зависимость потенциала от координат и рассчитать потенциал поля в любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки, где значение потенциала условно принято за ноль. Данное соотношение носит название интегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля.

Из соотношения (1.14) следует, что . Левая часть равенства представляет собой скалярное произведение вектора и вектора . Отсюда следует . Поскольку приращение потенциала может быть выражено через его дифференциал

,

для проекций вектора получаем:

Последняя система уравнений позволяет записать, что

Таким образом,

Последнее равенство можно записать иначе, в операторной форме, обозначая

Отсюда следует

Выражения (1.18) или (1.19) определяют дифференциальную связь напряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по известной зависимости потенциала от координат определить зависимость напряженности поля от координат и найти напряженность поля в любой точке. Поскольку градиент скалярной функции – это вектор, направленный в сторону ее наибольшего возрастания, то из (1.19) следует, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графически представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, мы будем изображать сечения этих поверхностей в виде эквипотенциальных линий (эквипотенциалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

Разность потенциалов между двумя точками пространства (рис.1.13), согласно (1.14) равна

Если эти точки принадлежат одной эквипотенциали, то , а вектор направлен вдоль эквипотенциали. Нулевое значение скалярного произведения возможно лишь при .

Следовательно, соотношение (1.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис.1.14).

1.6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме

Ранее мы ввели две физические величины, характеризующие электрическое поле, – напряженность и потенциал. Принцип суперпозиции (1.9) и (1.16) позволяет рассчитать эти величины для заданной системы зарядов в пространстве независимо друг от друга, а интегральная и дифференциальная связь между ним (1.17) и (1.18) дает возможность определить выражение одной из величин, зная выражение другой. Однако практическое вычисление интегралов (1.9) и (1.16) может быть весьма затруднительным. Рассмотрим иной метод определения напряженности электростатического поля.

О сновная теорема электростатики была выведена в 1828 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1839г. применил ее к расчету электростатических полей.

Для рассмотрения этой теоремы введем следующие понятия. Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15).

Назовем элементарным потоком вектора напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности dS величину

где – вектор площади элемента поверхности, – вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента . Справедливы соотношения: ; . Малый элемент поверхности выбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

При вычислениях по формуле (1.21) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S в дальнейшем будем считать векторы внешними нормалями, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.

Из (1.21) видно, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S силовые линии поля перпендикулярны векторам , т.е. “скользят” по поверхности. С другой стороны, поток максимален, если поверхность S расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная радиусами, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис.1.16).

Мерой телесного угла является отношение площади элемента , вырезаемого конической поверхностью угла на сфере радиуса r с центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м². Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна , то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равен ср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17).

Выделим на этой поверхности элемент площадью dS, “вырезанный” из нее телесным углом d с вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент dS, согласно (1.20), в СИ равен

Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность можно найти как

Кружок на значке интеграла означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:

где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения приведенной выше системы, получаем:

Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален алгебраической сумме этих зарядов.

Рассмотрим теперь точечный заряд Q > 0, расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис.1.18).

В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхность S на две части: и . Полный поток напряженности через всю поверхность S равен алгебраической сумме потоков через эти части:

.

Для всех элементов поверхности углы между векторами и внешними нормалями (при ) – тупые; для всех элементов поверхности – острые. Следовательно,

Поскольку поверхности и видны из точки расположения заряда Q под одним и тем же телесным углом ₀ одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),

.

Отсюда, с учетом (1.24), получаем

Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определен выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен (см. 1.2). В других системах единиц он принимает другие значения.

1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса

Применение теоремы Остроградского–Гаусса (1.26) для расчета электростатических полей возможно только в случаях симметричных систем зарядов. В этих случаях можно выбрать такую гауссову поверхность, для которой поток вектора напряженности поля через нее легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении напряженности электростатического поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом: