Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 8

Свободные электроны смещаются в сторону, противоположную направлению внешнего поля , располагаясь на поверхности проводника, а положительные неcкомпенсированные заряды ионов металла остаются на поверхности проводника в направлении вектора напряженности внешнего поля. Явление перераспределения свободных зарядов в проводнике под действием внешнего электрического поля называется электростатической индукцией. В проводнике появляется электрическое поле разделенных зарядов с напряженностью . В процессе разделения зарядов суммарная напряженность поля в проводнике уменьшается: . Это перераспределение зарядов продолжается до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равным нулю. Таким образом, в любой точке проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов проводника компенсирует внешнее поле. Напряженность поля вне проводника также является суперпозицией напряженности внешнего поля и поля индуцированных зарядов.

Поскольку распределение зарядов по поверхности проводника стационарно (заряды неподвижны), то касательная к поверхности проводника составляющая напряженности результирующего электростатического поля равна нулю. Это означает, что вектор и силовые линии результирующего поля перпендикулярны к поверхности проводника. Из этого следует, что поверхность проводника является эквипотенциальной, т.е. потенциал поверхности проводника одинаков во всех точках.

Если рассмотреть любые две точки внутри проводника и определить разность потенциалов между ними, то, так как напряженность поля внутри проводника равна нулю, мы получаем

.

Это означает, что весь проводник представляет собой эквипотенциальный объем. Для определения плотности зарядов на поверхности проводника выделим малый элемент его поверхности площадью S (рис.3.2).

Построим замкнутую гауссову поверхность в виде цилиндра, площадь оснований которого равна S, а сами основания расположены по обе стороны поверхности проводника на расстояниях h от нее. Поток напряженности поля через эту поверхность определится следующим образом:

.

Здесь s_бок, s_верхн, s_нижн – площади боковой поверхности цилиндра, его верхнего (на рис.3.3) и нижнего оснований. Поскольку выбранная гауссова поверхность охватывает заряд , расположенный на поверхности проводника, то, по теореме Остроградского–Гаусса,

или

т.е. плотность электрического заряда на поверхности проводника прямо пропорциональна напряженности поля вблизи его поверхности.

Как связана поверхностная плотность распределения зарядов с кривизной поверхности проводника? Для ответа на этот вопрос рассмотрим сначала заряженный проводящий шар. Если заряд шара равен Q, а радиус R, то потенциал поверхности шара равен

= .

Помножив и поделив последнее выражение на R, получим

Поскольку кривизна поверхности шара постоянна ( ) и потенциал одинаков в любой точке, то , т.е. заряды по поверхности проводящего шара распределены равномерно.

Рассмотрим распределение зарядов по поверхности проводника с различными радиусами кривизны в разных точках поверхности. Пусть два заряженных шара разных радиусов и имеют заряды и (рис.3.3).

После соединения этих шаров тонкой проволокой образуется один проводник с изменяющейся кривизной поверхности. Заряды перераспределяются между шарами до тех пор, пока их потенциалы не станут равны (зарядами на поверхности проволоки пренебрежем).

,

где и – новые заряды шаров. Из последнего выражения с учетом (3.2) получаем . Таким образом, поверхностная плотность зарядов увеличивается на тех участках поверхности проводника, где радиус кривизны поверхности меньше. В результате вблизи острых концов проводников накапливается большой заряд и создается сильное электростатическое поле с большой напряженностью.

На рис. 3.4 показано распределение силовых линий поля, создаваемого заряженным проводником произвольной формы. Вблизи острия густота силовых линий поля больше. Следовательно, модуль напряженности поля значительно выше.

Перечислим основные выводы:

• 1) электростатическое поле внутри проводника отсутствует;

• 2) при помещении проводника в электростатическое поле на поверхности проводника возникают индуцированные заряды;

• 3) свободные заряды, привнесенные на проводник, также распределяются по его поверхности;

• 4) силовые линии электростатического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярны к его поверхности;

• 5) все точки проводника имеют одинаковый потенциал;

• 6) поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности.

3.2. Электроемкость.Конденсаторы

Найдем связь потенциала проводника с его электрическим зарядом. Рассмотрим проводник произвольной формы, бесконечно удаленный от других проводников. Если сообщить этому проводнику некоторый свободный заряд Q, то он распределится по поверхности. Плотность поверхностного заряда  в каждой точке поверхности проводника будет пропорциональна заряду Q, а зависимость поверхностной плотности заряда от координат определится функцией зависящей от формы проводника:

Каждая следующая порция заряда, привносимого на проводник, будет распределяться по поверхности точно также.

Вычислим потенциал произвольной точки A заряженного проводника (рис.3.5), пользуясь методом суперпозиции.

Выделим на поверхности проводника малый элемент dS, который несет заряд dQ = dS. Размеры элемента поверхности dS должны быть настолько малы, чтобы заряд dQ можно было бы считать точечным. Примем потенциал равным нулю на бесконечности и воспользуемся формулой потенциала точечного заряда:

или

Учитывая (3.3) получаем:

Вид функции , конечно же, зависит от выбора точки начала отсчета (точка А), однако, поскольку потенциалы всех точек проводника равны, значение интеграла в (3.4) должно быть константой. Введем обозначение:

где C – константа, зависящая от формы и размеров проводника.

Теперь потенциал проводника запишем так:

Таким образом, потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален константе C, определяемой геометрией проводника.

Физический смысл константы C, называемой электроемкостью, определим из (3.5):

Электроемкостью уединенного проводника называется физическая величина, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу в поле этого заряда:

• Электроемкость проводника показывает, какой заряд необходимо сообщить проводнику для того, чтобы его потенциал принял заданное значение. Чем больше заряд проводника, тем больше его потенциал в поле этого заряда.

• Электроемкость не зависит ни от величины заряда проводника, ни от значения его потенциала, а зависит только от размера и формы проводника, а также от диэлектрических свойств среды, в которой он находится. Единица измерения электроемкости проводника в СИ называется фарад (обозначается 1 Ф): .

Расчет электроемкости уединенных проводников производится по формуле (3.6) по следующему алгоритму. Задают произвольный заряд проводника Q; пользуясь методом суперпозиции или теоремой Остроградского-Гаусса, определяют напряженность электрического поля; по известной напряженности определяют потенциал; по формуле (3.6) определяют электроемкость.

В выражении для электроемкости неизвестное значение заряда Q сокращается.

Пример. Выведем формулу электроемкости проводящего шара радиусом R, находящегося в вакууме. Для этого сообщим шару произвольный заряд Q. Заряд равномерно распределится по поверхности шара с поверхностной плотностью , которая одинакова в каждой точке поверхности шара. Этот заряд создаст электростатическое поле, напряженность которого определяется следующим образом (см. пример 1, п. 1.7):

Потенциал шара можно будет найти так:

В соответствии с (3.6) электроемкость шара

Из (3.7) видно, что электроемкость проводника 1 Ф – колоссальная величина: шар с такой электроемкостью должен иметь радиус 910⁹ м, что соответствует радиусу орбиты Меркурия. Поэтому для практического измерения электроемкости проводников используются следующие единицы: 1 мкФ (микрофарад) = 10^–6 Ф; 1 нФ (нанофарад) = 10^–9 Ф; 1 пФ (пикофарад) = 10^–12 Ф.

При определении электроемкости проводника описанным выше способом важно, чтобы вблизи него не находились другие проводники, т.е. чтобы проводник был уединенным.

Рассмотрим, как изменится электроемкость проводника, если он будет находиться рядом с незаряженным проводником. Допустим, что проводник 1 обладает положительным зарядом (рис. 3.6).

В незаряженном проводнике 2 произойдет разделение зарядов (электростатическая индукция) на отрицательные -q_инд и положительные +q_инд, причем алгебраическая сумма индуцированных зарядов равна нулю. В электрическом поле индуцированных зарядов перераспределятся и заряды на проводнике 1. В результате потенциал заряженного проводника изменится. Изменится и его электроемкость. Аналогичный вывод можно сделать и в случае, если вблизи положительно заряженного проводника располагается незаряженное диэлектрическое тело. На поверхности диэлектрика образуются связанные поляризационные заряды.

Таким образом, электроемкость проводника зависит от наличия в пространстве вблизи него любого тела (проводника или диэлектрика).