Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 4

Шаг 1. Исходя из симметрии распределения заданной системы зарядов в пространстве, необходимо построить силовые линии поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

Шаг 2. Выбрать замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:

• а) она должна проходить через точку, в которой необходимо определить напряженность;

• б) модуль вектора напряженности поля должен быть постоянен в любой точке поверхности (или хотя бы на той части поверхности, к которой принадлежит выбранная точка);

• в) угол между и внешней нормалью к поверхности должен быть постоянен: равен нулю или /2 (последнее – на той части поверхности, где напряженность зависит от координат).
  Обычно в качестве гауссовой поверхности выбирают (в зависимости от типа симметрии) поверхность сферы, цилиндра или прямоугольного параллелепипеда.

Шаг 3. Определить значение потока вектора напряженности поля через выбранную поверхность, т.е. проинтегрировать элементарный поток по всей замкнутой поверхности (если поверхность не является гладкой, следует разбить интеграл на сумму интегралов):

.

Если на каждой части замкнутой поверхности выполнено условие (б), т.е. E_i = const, напряженность можно вынести из под знаков интегралов:

Здесь  – модуль вектора напряженности поля в точках поверхности .

Если на каждой части замкнутой поверхности выполнено условие (в), т.е. угол между векторами и равен нулю, то интегрирование приводит к результату:

.

Однако обычно замкнутую поверхность выбирают таким образом, чтобы условия (б) и (в) одновременно выполнялись только на той части замкнутой поверхности, где хотят определить напряженность, а остальные части замкнутой поверхности выбирают так, чтобы поток вектора напряженности через них был равен нулю (или E_i = 0, или угол между векторами и равен /2). Пусть условия (б) и (в) одновременно выполняются только на части поверхности S₁, тогда

.

Шаг 4. Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S. В зависимости от распределения зарядов возможны варианты:

Шаг 5. Приравнять результаты, полученные на 3 и 4 шагах с учетом коэффициента пропорциональности, получить формулу для напряженности электрического поля:

.

Пример 1. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд Q > 0 равномерно распределен в пространстве в виде шара радиусом R.

Шаг 1. Исходя из условий симметрии зарядов, изобразим графически их электрическое поле. Поскольку данное распределение заряда обладает сферической симметрией, силовые линии поля будут исходить из центра шара по радиальным направлениям (на рис. 1.19 показаны некоторые силовые линии).

Кроме того, исходя из симметричности системы, можно утверждать, что модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от центра шара, должен быть одинаковым: такие точки, например, А и В, находятся на одинаковом расстоянии от центра симметрии системы. Следовательно, направление и модуль вектора будут зависеть только от радиальной координаты исследуемой точки пространства. Для задания такой координаты r выберем произвольную радиальную ось Or, выходящую из центра шара.

Шаг 2. Определим напряженность поля в произвольной точке C, находящейся внутри шара на расстоянии r от его центра. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем сферическую поверхность радиусом r, центр которой совпадает с центром заряженного шара (рис.1.20).

Исходя из симметрии системы, очевидно, что модуль вектора напряженности поля не зависит от координат ( ) во всех точках поверхности, а угол между и внешней нормалью к поверхности во всех точках равен нулю.

Шаг 3. Определим поток вектора через гауссову поверхность:

Шаг 4. Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S. В данном случае электрический заряд, охваченный гауссовой поверхностью – это часть всего заряда. Определим эту часть заряда через объемную плотность заряда и объем, ограниченный гауссовой поверхностью:

Шаг 5. Применим теорему Остроградского–Гаусса, приравняв (1.27) и (1.28) с учетом коэффициента ₀:

Отсюда получаем, что при

Применим эту процедуру для определения напряженности поля вне шарового скопления заряда. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом , проходящей через произвольную точку D, находящуюся вне зарядов (рис.1.21):

Выражение для потока вектора через гауссову поверхность сохранит прежний вид (1.27). Заряд, охваченный поверхностью, представляет собой полный заряд шара: Q_охв = Q. Согласно теореме Остроградского–Гаусса получим, что при r > R имеет место соотношение

Отсюда

Окончательный вид зависимости модуля напряженности от координаты r можно представить так:

При построении графической зависимости (рис.1.22)

обратим внимание на то, что выражения (1.29) и (1.30) дают одинаковые значения модуля напряженности поля при r = R:

Пример 2. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью  > 0 по поверхности весьма длинного цилиндра с радиусом основания R.

Шаг 1. Определим из условий симметрии и изобразим графически линии напряженности электрического поля. Поскольку данное распределение заряда обладает осевой симметрией, силовые линии поля (если поле существует) будут исходить из точек оси цилиндра по радиальным направлениям (на рис. 1.23 показаны некоторые силовые линии).

Вследствие осевой симметричности системы, модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от оси системы, должен быть одинаковым: такие точки, например точки А и В, находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии системы.

Следовательно, направление и модуль вектора будут зависеть только от радиальной координаты исследуемой точки пространства. Для задания такой координаты r выберем произвольную радиальную ось , направленную перпендикулярно оси цилиндра.

Шаг 2. Определим напряженность поля в произвольной точке C, находящейся вне цилиндра и имеющей координату r > R. Для этого выберем замкнутую поверхность S в виде поверхности цилиндра высотой Н и радиусом r, ось которого совпадает с осью заряженного цилиндра (рис.1.24).

Модуль напряженности поля постоянен во всех точках боковой поверхности цилиндра, вследствие симметрии системы. Угол между и внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен нулю, а во всех точках верхнего и нижнего оснований гауссова цилиндра равен .

Шаг 3. Определим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность S.

где – площадь верхнего основания цилиндра поверхности S; – площадь нижнего основания цилиндра; – площадь боковой поверхности цилиндра; – векторы соответствующих элементарных площадок. Учитывая соображения, изложенные при осуществлении шага 2, получаем:

Таким образом,

Шаг 4. Определим алгебраическуюсумму зарядов, охваченных поверхностью гауссова цилиндра. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь гауссова цилиндра – это часть полного заряда цилиндра. Эту часть можно найти, умножив площадь боковой поверхности заряженного цилиндра, попавшую внутрь гауссовой поверхности, на поверхностную плотность заряда:

Шаг 5. Приравняем (1.31) и (1.32) с учетом коэффициента :

Отсюда следует

Повторим все действия для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра. В этом случае выберем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, боковая поверхность, которой проходит через произвольную точку D, находящуюся на расстоянии (рис.1.25).

Выражение для потока через гауссову поверхность сохранит прежний вид (1.31). Но в этом случае внутрь гауссовой поверхности не попадают заряды, поэтому

откуда следует

Окончательный вид зависимости модуля напряженности от радиальной координаты можно представить следующим образом:

График полученной зависимости изображен на рис. 1.26.

Видно, что при значении r = R график имеет разрыв. Отсюда можно сделать вывод, что вектор напряженности электрического поля на поверхностных зарядах меняется скачком. Скачок вектора напряженности в этом случае равен