Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 27

И, наконец, введем понятие волнового вектора (см. рис. 10.6)

Если – радиус-вектор, проведенный от фронта волны к некоторой точке пространства под углом  к единичному вектору , направленному по нормали к фронту волны, то произведение волнового числа k на координату x можно представить как скалярное произведение векторов :

где – волновой вектор.

Теперь уравнения (10.6) и (10.7) можно переписать в виде:

Проанализируем выражение для скорости электромагнитной волны:

Поскольку  и  – безразмерные величины, то размерность скорости волны определится так: [v] = [₀₀]^–1/2. Ранее были установлены размерности ₀ и ₀: [₀] = Кл²м^–2А^–2 и [₀] = НА^–2. Если учесть, что [Кл] = [А/с], то после преобразований получаем: [v] = м/с.

Вычисление значения скорости электромагнитной волны в вакууме (  = 1;  = 1) дает:

м/с.

Полученное выражение совпадает с экспериментально измеренной скоростью распространения света в вакууме. Скорость света в вакууме обозначается буквой c и определяется она выражением

10.3. Свойства электромагнитных волн

Подведем итоги и сформулируем свойства электромагнитных волн.

1. Электромагнитные волны – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Электромагнитными колебаниями называются взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, составляющих единое электромагнитное поле.

2. Источниками электромагнитных волн являются изменяющиеся во времени электрические заряды и электрические токи.

3. Уравнение плоской электромагнитной волны представляет собой зависимость напряженностей электрического и магнитного полей от координаты и времени:

Здесь E_m и H_m – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей; t – kx +  – фаза колебаний напряженностей электрического и магнитного полей, характеризующая состояние колебательного процесс в данный момент времени в данной координате;  – начальная фаза, характеризующая состояние колебательного процесс в начальный момент времени (t = 0) момент времени в начале координат (x = 0).

4. Электромагнитные волны являются поперечными – колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (вектору скорости).

5. В непроводящей среде колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей происходят в одной и той же фазе.

6. Амплитуды колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей связаны соотношением:

7. Скорость распространения электромагнитной волны в однородной непроводящей среде определяется выражением:

Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме определяется выражением:

10.4. Энергия электромагнитного поля

Электромагнитная волна переносит энергию. Для переноса энергии вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Она численно равна энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии.

Плотность энергии электромагнитного поля w слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

Учитывая, что в данной точке пространства векторы и изменяются в одной фазе, соотношение между амплитудными значениями E_m и H_m

справедливо и для мгновенных значений:

Поэтому можно написать, что

w =2w_Е = ₀E².

Воспользовавшись соотношением (10.11) выражению для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид

Рассмотрим перенос энергии через площадку ΔS за время Δt (рис. 10.7).

За время Δt через площадку пройдет энергия, заключенная в объеме цилиндра с площадью основания ΔS и длиной vΔt:

W = w ΔSvΔt.

Подставим в последнее выражение объемную плотность энергии (10.12), учитывая, что :

W = ΔSΔtEH.

Разделив энергию на ΔSΔt, получаем плотность потока энергии, которую обозначим символом S:

S = EH.

Учитывая, что векторы и образуют правовинтовую систему, вектор плотности потока энергии можно представить как векторное произведение:

Вектор называется вектором Пойнтинга.

10.5. Излучение диполя

Как уже говорилось, источниками электромагнитных волн могут быть изменяющиеся во времени заряды или изменяющиеся во времени токи. Рассмотрим излучение электромагнитных волн электрическим диполем, в котором два точечных заряда + q и – q колеблются в противофазе по гармоническому закону относительно некоторой точки O (рис.10.8, а).

Дипольный электрический момент такой системы изменяется по времени по закону

где l – удвоенная амплитуда колебаний каждого из зарядов; – единичный вектор, направленный вдоль оси диполя.

Такой же электрический момент имеет система, образованная неподвижным положительным зарядом + q и колеблющимся около него с амплитудой l отрицательным зарядом –q (рис. 108, б). Рассмотрение такой излучающей системы важно потому, что к ней можно свести излучение электромагнитных волн электроном атома.

В непосредственной близости от диполя картина электромагнитного поля имеет очень сложный характер. Она сильно упрощается в так называемой волновой зоне диполя, которая начинается на расстояниях r, значительно превышающих длину волны (r>> ). В этой зоне фронт волны будет сферическим (рис.10.9).

Векторы E и H в каждой точке взаимно перпендикулярны и перпендикулярны к лучу, т. е. радиусу-вектору, проведенному в данную точку из диполя. В сферической волне амплитуда колебаний убывает с расстоянием от излучателя. Таким образом, амплитуды колебаний E_m и H_m в некоторой точке пространства зависят от расстояния r до излучателя и угла  между направлением радиуса-вектора и осью диполя. Эта зависимость для вакуума имеет вид:

Среднее значение плотности потока энергии S пропорционально произведению E_mH_m т.е.

Из этой формулы вытекает, что интенсивность волны изменяется вдоль луча (при  = const) обратно пропорционально квадрату расстояния от излучателя. Кроме того, она зависит от угла . Сильнее всего излучает диполь в направлениях, перпендикулярных к его оси ( = /2). В направлениях, совпадающих с осью ( = 0 и  ), электрический диполь не излучает. Зависимость интенсивности волны от угла  в плоскости, проходящей через ось диполя (диаграмма направленности диполя) приведена на рис. 10.10.

В плоскости, перпендикулярной оси диполя, интенсивность волны одинакова во всех направлениях и диаграмма направленности имеет вид окружности (рис.10.11).

Энергия, излучаемая по всем направлениям за единицу времени, называется интенсивностью излучения. Соответствующий расчет для интенсивности излучения элементарного диполя дает следующее выражение

Если диполь образован системой из неподвижного и колеблющегося заряда, то, учетом выражения (10.14), вторая производная электрического момента диполя по времени равна

где a – ускорение колеблющегося заряда. В этом случае формулу для интенсивности излучения можно записать следующим образом:

Эта формула сохраняет свое значение и при произвольном движении заряда. Всякий заряд, движущийся с ускорением, возбуждает электромагнитные волны, причем мощность излучения дается формулой (10.16).