Электричество и Магнетизм (942661), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

В этом соотношении первое слагаемое играет роль только на начальной стадии (при малых значениях t) установления процесса колебаний. В дальнейшем этой составляющей решения можно пренебречь. Второе слагаемое (8.22) описывает установившиеся вынужденные колебания. Подставим для установившихся вынужденных колебаний в уравнение (8.21). Для этого найдем производные q(t) по времени:

После подстановки в (8.22) получаем:

Напомним, что первое слагаемое представляет собой первую производную по времени от силы тока в контуре, второе слагаемое – сила тока, третье слагаемое – заряд на конденсаторе. Используя метод векторных диаграмм, представим левую часть последнего уравнения в виде суммы трех векторов (рис.8.7), модули которых указаны на рисунке. Ось токов направим горизонтально вправо, и относительно нее отложим два других вектора с учетом их фаз. Результатом сложения этих трех векторов будет вектор, модуль которого равен E_m/L.

Из векторной диаграммы на рис. 8.7 следует, что

Используя теорему Пифагора, найдем амплитуду вынужденных колебаний:

Выразим амплитуду напряжения на конденсаторе Uc_m при вынужденных колебаниях:

Дифференцируя выражение (8.24) по переменной , и приравнивая полученную производную к нулю, можно определить резонансную частоту внешнего воздействия  = _р, при которой амплитуда колебаний заряда или напряжения на конденсаторе достигает максимума:

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называется резонансом. График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты вынуждающей ЭДС при различных коэффициентах затухания контура приведен на рис. 8.8. При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия (   ) амплитуда колебаний стремится к нулю.

При частоте вынуждающей ЭДС, близкой к частоте собственных гармонических колебаний ₀, из (8.24) можно получить:

что совпадает с (8.19). Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе больше амплитуды вынуждающей ЭДС.

Наконец, получим закон колебаний силы тока в цепи и исследуем его. Ранее было получено

откуда следует, что колебания силы тока в цепи опережают по фазе на колебания напряжения на конденсаторе.

Амплитуда колебаний силы тока равна

Подставив в (8.25) частоту собственных колебаний и коэффициент затухания, выраженные через параметры контура R, C и L, получаем:

Величина Z называется полным сопротивлением последовательного контура переменному току. Соответственно, емкостное сопротивление

и индуктивное сопротивление

образуют реактивное сопротивление контура . Сопротивление резистора R называется активным сопротивлением контура. Такая терминология показывает, что необратимое выделение тепла, т.е. энергетические потери контура, происходит только в резисторе. Смысл реактивного сопротивления заключается в том, что оно просто ограничивает силу тока в цепи, но не влияет на тепловые потери.

Амплитуда колебаний силы тока в контуре также зависит от частоты вынуждающей ЭДС. В зависимости от величины активного сопротивления она принимает максимальные значения при одной и той же частоте – частоте собственных гармонических колебаний ₀ (рис. 8.10).

При ₀ реактивное сопротивление контура становится равным нулю, и полное сопротивление контура равно его активному сопротивлению.

Вернемся к векторной диаграмме и покажем на ней векторы амплитуд напряжений на элементах контура (рис. 8.11).

На диаграмме видно, что колебания силы тока в контуре отстают по фазе от колебаний вынуждающей ЭДС на угол  =  – /2, причем

На рис. 8.12 приведена зависимость фазового сдвига между эдс и силой тока от вынуждающей частоты.

При частоте вынуждающей ЭДС, меньшей частоты собственных колебаний, реактивное сопротивление контура имеет емкостной характер, при этом колебания силы тока опережают по фазе колебания вынуждающей ЭДС. При частоте вынуждающей ЭДС, большей частоты собственных колебаний, реактивное сопротивление контура имеет индуктивный характер, при этом колебания силы тока отстают по фазе от колебаний вынуждающей ЭДС. И, наконец, при частоте вынуждающей ЭДС, равной частоте собственных колебаний, сопротивление контура становится чисто активным. При этом сумма падений напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю. По этой причине явление резонанса в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

9. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Основы теории электромагнитного поля, сформулированные в работах М. Фарадея, нашли свое математическое завершение в работах Д.К. Максвелла. Развивая идеи Фарадея, он создал теорию электромагнитного поля, оформив ее в виде системы дифференциальных и интегральных уравнений (1863 г.), ввел понятие тока смещения, предсказал существование электромагнитных волн, выдвинул идею электромагнитной природы света.

В теории Максвелла решается основная задача электродинамики: найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов. Эта теория явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная с поля неподвижных зарядов и кончая электромагнитной природой света.

В теории Максвелла не рассматривается молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде при наличии электромагнитного поля. В ней рассматриваются макроскопические электромагнитные поля макроскопических зарядов и токов, т.е. таких систем зарядов, пространственные размеры которых значительно больше размеров отдельных атомов и молекул.

Уравнения Максвелла в интегральной форме выражают соотношения, которые справедливы для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают связь параметров поля и плотностей электрических зарядов и токов в каждой точке поля. Важно то, что каждое из уравнений Максвелла имеет не только определенный математический смысл, но и описывает определенный физический процесс или постулирует важнейшие физические принципы существования материи в виде поля.

9.1. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме

Известно, что если проводящий контур перемещается в магнитном поле, в контуре появляется индукционный ток. Согласно теории Фарадея, сущность явления электромагнитной индукции – возникновение индукционного тока, причем для обнаружения возникновения такого тока необходим проводящий контур.

Если проводящий контур остается неподвижным в переменном магнитном поле, то в нем также появляется индукционный ток. Появление индукционного тока в этом случае нельзя связать с силами, которые действуют на свободные заряды в контуре со стороны магнитного поля. Максвелл объяснил электромагнитную индукцию появлением вихревого электрического поля.

Итак, осуществленное Максвеллом обобщение идей Фарадея заключается в отказе от необходимости существования проводящего контура для возникновения электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле возбуждается независимо от того, есть в пространстве проводящий контур или нет. Контур с возникающим в нем индукционным током служит лишь для регистрации этого поля.

Соотношение, выражающее закон электромагнитной индукции, и является первым интегральным уравнением в системе уравнений Максвелла:

Математическая формулировка этого уравнения такова: циркуляция напряженности электрического поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру, мысленно проведенному в пространстве, равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Кроме математического истолкования этого закона нам важен его физический смысл. Обратим внимание, что запись этого уравнения (как и всех следующих) производится в определенном порядке. Поскольку каждое уравнение описывает определенный физический процесс, то справа от знака равенства записывается причина возникновения этого процесса, а слева – его следствие. Итак, соотношение (9.1) описывает следующий физический процесс: изменяющееся во времени магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле.

Физический смысл первого уравнения Максвелла: изменяющееся во времени магнитное поле, независимо от параметров среды (вакуум или нет), вызывает появление в пространстве вихревого электрического поля такого, что для всякого произвольно выбранного контура циркуляция напряженности поля равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром. Таким образом, наряду с электрическими полями, силовые линии которых начинаются на неподвижных зарядах, существуют другие электрические поля, с замкнутыми силовыми линиями, охватывающими линии индукции меняющегося во времени магнитного поля. На рис. 9.1 показаны линии индукции магнитного поля. Если модуль магнитной индукции увеличивается, то в пространстве возникает вихревое электрическое поле, силовые линии которого также показаны на рисунке.

9.2. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме.Ток смещения

Во введении к гл. 6 мы процитировали работу Фарадея, в которой он говорил о взаимозависимости электрического и магнитного полей. Максвелл развил эту догадку Фарадея, предположив определенную симметрию этой взаимозависимости. Если переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое, то не может ли переменное во времени электрическое поле порождать вихревое магнитное?

Рассмотрим простейший случай изменения во времени однородного электрического поля в плоском конденсаторе, площадь обкладок которого S, а поверхностная плотность заряда обкладок  (рис.9.2).

Характеристики

Список файлов лекций