Электричество и Магнетизм (942661), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Определим первую компоненту ротора из (9.11). Для этого необходимо рассмотреть ту площадку из трех, изображенных на рис. 9.5, которая перпендикулярна оси ОX. Эта площадка расположена в плоскости ZOY (рис. 9.6).

Поскольку вектор на этом рисунке направлен “на нас”, то направление обхода контура, ограничивающего площадку, должно быть выбрано против часовой стрелки. Тогда циркуляция вектора по выбранному контуру определится так:

где каждое из слагаемых представляет циркуляцию вектора по соответствующему элементу контура (они обозначены на рис. 9.6) цифрами. Преобразуем полученное соотношение:

Для получения соответствующей компоненты ротора, согласно (9.8), необходимо поделить это выражение на площадь площадки, т.е. на произведение dzdy:

Аналогично можно получить

В окончательном виде запишем

Соотношение (9.12) можно записать компактнее, используя понятие определителя матрицы:

9.5. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальном виде:

Дополним дифференциальные уравнения граничными условиями:

Граничные условия справедливы как для стационарных, так и для переменных электрических и магнитных полей.

Системы (9.14) недостаточно для описания полей, даже при наличии заданного распределения зарядов и токов проводимости, так как в систему уравнений не введены свойства среды, в которой рассматриваются поля. Учтем свойства среды, дополнив систему еще тремя уравнениями, которые верны для слабых полей и для медленно меняющихся во времени и в пространстве полей:

Рассмотрев систему уравнений Максвелла, можно сделать такой вывод: переменное электрическое поле возбуждает вихревое магнитное (первое уравнение), переменное магнитное возбуждает вихревое электрическое (второе уравнение), и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электрическое поле, то в окружающем заряды пространстве возникают взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эта совокупность последовательно сменяющих друг друга в пространстве электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем.

10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое в общем случае тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, если возбудить с помощью зарядов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной.

Вывод о существовании электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. Из системы уравнений Максвелла мы получим дифференциальные уравнения, в левой и правой части которых содержатся производные по времени и координатам только напряженности электрического или магнитного поля. Эти уравнения называются волновыми уравнениями – их решениями являются уравнения электромагнитной волны. На основе анализа этих уравнений сформулируем свойства электромагнитных волн. Рассмотрим вопросы переноса энергии электромагнитной волной и особенности излучения электромагнитных волн электрическим диполем.

10.1. Волновое уравнение

Как мы уже говорили, из уравнений Максвелла вытекает возможность существования электромагнитных волн, то есть распространения электромагнитных колебаний в пространстве. Рассмотрим случай однородной нейтральной ( = 0) непроводящей (j = 0) среды. Тогда

,

Переменное электрическое поле (ток смещения) создает в “следующем” элементе пространства переменное магнитное поле; то, в свою очередь, создает новое электрическое поле, а оно точно также создает еще дальше поле электрическое (рис. 10.3). И так будет продолжаться до бесконечности. Другими словами, электромагнитное поле распространяется в виде волны, причем волны незатухающей – энергия электрического поля в пустоте полностью переходит в энергию магнитного поля, и наоборот.

Чтобы получить математические уравнения, описывающие волновой процесс, необходимо, чтобы в уравнение 10.1 входила напряженность только магнитного поля, а в уравнение 10.2 – напряженность только электрического поля. Преобразуем уравнение 10.2. Воздействуем на левую и правую части этого уравнения оператором rot.

Для левой части, учитывая что , получаем:

Для правой части получаем:

Приравнивая преобразованные левую и правую части, получаем дифференциальное уравнение, в котором содержатся только производные по координатам и времени от напряженности электрического поля:

Обозначим

и окончательно запишем

Аналогично из уравнения (10.1) получаем:

Дифференциальные уравнения (10.4) и (10.5) называются волновыми уравнениями. Их решениями являются уравнения электромагнитной волны, которые описывают зависимость напряженностей электрического и магнитного полей от времени и координат. Такая волна переносит из одной точки пространства в другие колебания напряженностей электрического и магнитного полей. Скорость распространения волны в пространстве определяется выражением (10.3).

10.2. Плоская электромагнитная волна

Среди точек пространства, до которых дошло волновое возмущение, всегда найдутся такие точки, колебания в которых совпадают по фазе. Геометрическое место точек, колебательный процесс в которых происходит в одной фазе, образует волновую поверхность. По виду этой поверхности волны разделяют на плоские волны, сферические волны и т.д. Среди всех волновых поверхностей всегда существует самая внешняя (самая дальняя от источника волны), т.е. волновая поверхность, за которую волновое возмущение еще не распространилось. Эта волновая поверхность называется фронтом волны.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси OX. Такая волна будет содержать только компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного поля, расположенные в плоскости ZOY, перпендикулярной направлению распространения волны. В плоскости фронта волны (она параллельна плоскости ZOY) значения напряженностей полей не зависят от координат y и z, поэтому среди производных по координатам должны остаться только те производные, которые описывают изменение напряженностей полей вдоль оси OX. Таким образом, от волновых уравнений

останутся две пары скалярных уравнений:

Отсюда следует, что возможно существование двух типов электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси OX (рис. 10.4). Один тип волны содержит компоненты E_y и H_z, а другой – E_z и H_y.

Рассмотрим подробнее первый тип волны, содержащий проекции E_y и H_z.. Простейшими решениями волновых уравнений, содержащих эти проекции, будут:

В этом можно убедиться, подставив приведенные решения в волновые уравнения. Можно также строго доказать, что колебания электрического и магнитного полей в электромагнитной волне происходят в одной и той же фазе, а амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей связаны соотношением

В уравнениях волны v это фазовая скорость – скорость распространения фронта волны. В точку пространства с координатой x волновое возбуждение приходит с запаздыванием на время t_з= x/v. Приведем график электромагнитной волны (рис. 10.5). Графиком волны является зависимость напряженностей электрического и магнитного поля от координат в данный момент времени. То есть это как бы мгновенная фотография волны.

Колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей в электромагнитной волне происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. в плоскости, перпендикулярной вектору скорости волны. Следовательно, электромагнитная волна является поперечной.

Вернемся к уравнениям волны и преобразуем их на примере уравнения (10.6):

Отношение циклической частоты  к фазовой скорости есть волновое число k:

Используя волновое число, уравнение волны запишем так:

Характеристики

Список файлов лекций