Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 2

однако в отличие от выражения (1.4), здесь – напряженность в точке расположения заряда q для поля, в общем случае отличном от того, которое было до внесения в него заряда q.

В случае нахождения силы, действующей на неточечный заряд Q, помещенный в электрическое поле, необходимо поступать следующим образом. Разобьем исследуемое заряженное тело на совокупность материальных точек, т.е. на совокупность точечных зарядов (рис.1.2).

Элементарная сила, действующая на каждый точечный заряд со стороны поля (здесь  – элемент заряда Q) определится как , где – напряженность поля в точке расположения заряда . Тогда общая сила, действующая на весь заряд Q, будет найдена путем суммирования элементарных сил:

Интегрирование проводится по всему объему тела.

Вычисление интеграла (1.6) оказывается достаточно простым, если электрический заряд распределен по всему заряженному телу непрерывно: вдоль некоторой линии, по поверхности или по объему. В этих случаях можно использовать понятия линейной, поверхностной и объемной плотностей зарядов (рис.1.3).

Введем следующие понятия:

Линейная плотность электрических зарядов:

где – заряд малого участка заряженной линии (пример: стержень, нить) длиной (рис.1.3, а). Поэтому полный заряд тела можно найти как

Если заряд распределен по линии равномерно, то полный заряд тела будет равен

Размерность линейной плотности зарядов в СИ: .

Поверхностная плотность электрических зарядов:

где – заряд малого участка заряженной поверхности (пример: заряженная плоскость) площадью (рис.1.3, б). Полный заряд тела определяют как

При равномерном распределении заряда по поверхности полный заряд тела будет равен

Размерность поверхностной плотности зарядов в СИ: .

Объемная плотность электрических зарядов:

где – заряд малого элемента заряженного тела объемом (рис.1.3, в). Полный заряд тела можно найти по формуле

При равномерно распределенном по объему заряде полный заряд тела будет равен

Размерность объемной плотности зарядов в СИ: .

ПРИМЕР. Рассмотрим расчет напряженности поля точечного заряда Q (рис.1.4).

Модуль силы, действующей со стороны такого поля на помещенный в него пробный заряд , определится, согласно (1.1), как

где r – расстояние от источника поля (заряда Q) до исследуемой точки поля (заряда ), отсчитываемое вдоль некоторой оси Or. Тогда

На рис. 1.4 показаны направления векторов напряженности поля в двух точках выбранной оси.

На рис.1.5 показан график зависимости проекции напряженности поля на выбранное направление оси от расстояния до точечного заряда .

Графическое изображение электростатического поля с помощью векторов напряженности в различных точках пространства неудобно. Более наглядным оказался метод изображения электростатических полей с помощью силовых линий, предложенный Фарадеем.

Силовая линия – воображаемая линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряженности поля в этой точке. Силовые линии электростатического поля изображают в соответствии с определенными правилами:

• 1. Силовая линия считается направленной так же, как вектор в рассматриваемой точке линии.

• 2. Густота (близость друг к другу) силовых линий в окрестности какой-либо точки пропорциональная модулю вектора в данной точке.

• 3. Силовые линии начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

• 4. Силовые линии не соприкасаются и не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор имеет только одно определенное направление.

• 5. Силовые линии непрерывны в области пространства, в которой отсутствуют электрические заряды.

На рис.1.6 изображены силовые линии электростатического поля системы двух разноименных одинаковых по модулю электрических зарядов, называемой электрическим диполем.

1.3. Суперпозиция электростатических полей

При рассмотрении электростатического поля произвольной системы неподвижных точечных зарядов было экспериментально показано, что результирующая сила , действующая на пробный заряд q в любой точке поля, равна геометрической сумме сил, действующих на заряд q со стороны каждого из зарядов в отдельности:

Из (1.8) легко получить, что

Последнее соотношение выражает принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей): напряженность электрического поля, созданного системой зарядов в любой точке пространства, равна векторной сумме напряженности полей, созданных каждым зарядом в отдельности в этой точке.

Рассмотрим применение этого принципа для расчета напряженности поля системы дискретно и непрерывно распределенных зарядов.

Пример 1. Для электрического диполя (рис.1.7, а) введем понятие вектора электрического дипольного момента: , где – плечо диполя. Для расчета модуля напряженности поля в любой точке А на оси диполя (рис.1.7, б) выполним следующие действия:

; .

При условии последнее равенство приводится к виду

Поскольку в рассматриваемом примере , то . Поэтому

При расчете напряженности поля в точках, лежащих на срединном перпендикуляре к оси диполя (рис.1.8), геометрическое сложение векторов и при том же условии дает другой результат:

Однако , т.к. .

Рассмотренный пример показывает, что в разных точках пространства суперпозиция векторов может быть различной, даже если одинаковы модули складываемых векторов.

Пример 2. Определим напряженность поля, созданного электрическим зарядом Q, непрерывно распределенным по однородному проволочному кольцу радиусом R, в точке А на оси кольца, удаленной на расстояние z от него (рис.1.9).

Разобьем кольцо на элементы длиной dl. Тогда на каждом элементе кольца будет находиться элементарный заряд

Такой электрический заряд создает в точке А электрическое поле напряженностью , причем

.

Вектор показан на рисунке. Поскольку , из условия симметрии очевидно, что,

Окончательно получаем

.

1.4. Работа сил электростатического поля.Разность потенциалов. Потенциал

Силы электростатического взаимодействия являются центральными, а потому консервативными (см. часть I, п. 3.2). Следовательно, электростатическое поле является потенциальным. Определим работу сил электростатического поля, созданного зарядом , по перемещению точечного заряда из точки 1 в точку 2 (рис.1.10).

Элементарная работа поля по перемещению заряда на расстояние равна

Тогда

Если заряды одноименны, то поле совершает положительную работу при их удалении друг от друга и отрицательную работу при их сближении.

Из (1.10) видно, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории движения заряда, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Итак, кулоновские силы консервативны, поэтому циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы электростатическое поле было потенциальным. Тогда справедлива связь работы консервативной силы и изменения потенциальной энергии – работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии:

Рассмотрим отношение работы поля по перемещению пробного заряда из одной точки пространства в другую к величине переносимого заряда:

Поскольку полученное отношение не зависит от переносимого заряда и траектории его перемещения, то данная величина может быть принята в качестве характеристики электростатического поля. Разностью потенциаловмежду двумя точками электростатического поля называется отношение работы сил поля по перемещению пробного электрического заряда из одной точки в другую к величине этого заряда:

С учетом (1.12) получаем

Используя понятие разности потенциалов можно записать выражение для работы сил электростатического поля по перемещению заряда следующим образом:

Введем теперь понятие потенциала данной точки электростатического поля. Из (1.13) можно получить:

Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика поля, численно равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к величине заряда.

Ранее мы отмечали, что потенциальная энергия – физическая величина, которая определена с точностью до некоторого произвольного значения. Следовательно, потенциал электрического поля также определен с точностью до произвольного значения, поэтому в любой точке пространства можно принять его значение равным нулю. Если значение потенциальной энергии и, соответственно, потенциала в точке 2 принять равными нулю, то потенциал точки 1 согласно (1.14) определится так

Таким образом, потенциал любой точки электростатического поля численно равен удельной работе (работе, отнесенной к величине заряда), совершаемой силами поля при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку, в которой потенциал поля условно принят равным нулю. Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется удобством решения каждой конкретной задачи. Рассмотрим это на некоторых примерах.

Пример 1. Определим потенциал произвольной точки пространства, удаленной на расстояние r от точечного заряда Q (рис. 1.11).