Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 10

где V = Sd – объем конденсатора, т.е. объем части пространства, в котором создано электрическое поле.

Объемной плотностью энергии поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:

Следовательно, энергию однородного электрического поля можно рассчитать так:

Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:

где dV – такой элементарный объем пространства, в пределах которого поле можно считать однородным.

Для примера рассчитаем энергию электрического поля, созданного проводящим шаром радиусом R, заряженным зарядом Q, и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью  . Зависимость напряженности электрического поля, создаваемого заряженным шаром, от радиуса имеет вид:

Тогда выражение для объемной плотности энергии поля записывается так:

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с внутренним радиусом r и толщиной dr (рис. 3.13).

Объем этого слоя . Тогда энергия поля определится так:

Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.15), воспользовавшись выражением электроемкости уединенного шара C =4₀R:

Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части.

4. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Введение

В предыдущих главах были рассмотрены основные вопросы электростатики. Явления и процессы, связанные с движением электрических зарядов, составляют особую часть учения об электричестве – электродинамику. Электродинамика изучает явления связанные с электрическим током. Электрическим током называют всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток возникает в проводниках при условии, что внутри проводника напряженность электрического поля отлична от нуля. Нас будет интересовать лишь один класс проводников, а именно металлы. Мы рассмотрим условия существования непрерывного электрического тока, введем его характеристики – силу тока и плотность тока, познакомимся с основными представлениями классической электронной теории электропроводности металлов, познакомимся с законом Ома для неоднородного участка цепи.

4.1. Электрический ток и условия его существования

Электрическим током проводимости называется упорядоченное движение свободных носителей зарядов в веществе или вакууме. В металлах свободными носителями зарядов являются электроны; в жидкостях (электролитах) – положительные и отрицательные ионы; в газах и в вакууме – электроны и ионы; в полупроводниках – электроны и дырки. Это значит, что электрический ток может быть обусловлен движением как положительно, так и отрицательно заряженных носителей. За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители.

Постоянный электрический ток – электрический ток, не изменяющийся во времени ни по величине, ни по направлению.

Упорядоченное движение свободных носителей зарядов возникает под действием сил электрического поля и характеризуется средней скоростью u. В то же время носители зарядов находятся в тепловом хаотическом движении со средней скоростью . При наличии электрического тока нарушается равновесное распределение зарядов в проводнике: поверхность проводника уже не является эквипотенциальной, и силовые линии электрического поля не направлены перпендикулярно ей. Для движения зарядов необходимо, чтобы на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не равнялась нулю. Такое электрическое поле создается поверхностными зарядами, плотность которых изменяется по длине проводника (имеется градиент поверхностной плотности заряда). Внутри проводника поверхностными зарядами создается электрическое поле, силовые линии которого повторяют форму проводника.

Необходимыми условиями для существования постоянного тока являются:

• наличие свободных носителей зарядов, которые могли бы перемещаться на макроскопическое расстояние;

• наличие замкнутой проводящей цепи;

• наличие электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение электрических зарядов. Для того чтобы ток был длительным, энергия поля должна все время пополняться, т.е. нужен источник электрической энергии.

4.2. Сила тока, плотность тока.Уравнение непрерывности

Сила тока I – скалярная величина, равная заряду, переносимому носителями в единицу времени через поперечное сечение проводника. Если за время dt переносится заряд dq, то по определению сила тока I равна

Электрический ток может быть распределен в пространстве неравномерно. Более детально можно описать распределение тока с помощью векторной величины – плотности тока . Модуль плотности тока равен отношению заряда, переносимого за единицу времени через поверхность, перпендикулярную к направлению движения носителей, к площади этой поверхности.

Выделим внутри проводника с током поверхность площадью dS (рис.4.1).

За время dt эту поверхность пересечет заряд

,

где e – заряд электрона; n – концентрация электронов; u – средняя скорость упорядоченного движения;   – угол между нормалью к поверхности dS и направлением движения носителей.

Модуль плотности тока по определению равен

.

Направление вектора плотности тока совпадает с направлением вектора средней скорости упорядоченного движения носителей

Сила тока dI через поверхность dS равна

сила тока в проводнике находится интегрированием последнего выражения по всему поперечному сечению проводника:

Единица измерения сила тока ампер (А) в СИ является одной из основных. Ее определение будет дано позже при рассмотрении взаимодействия двух параллельных проводников с током.

Линии, вдоль которых движутся носители зарядов в проводниках, называются линиями тока. Касательные к линиям тока совпадают с направлением вектора в точке касания. Если внутри проводника с током мысленно выделить трубку, боковая поверхность которой образована линиями тока, то носители зарядов не будут пересекать боковую поверхность трубки и не будут ни выходить из трубки наружу, ни входить в трубку извне (рис. 4.2.).

Рассмотрим внутри проводника с током произвольную замкнутую поверхность S (рис. 4.3).

Пусть jn – проекция вектора плотности тока на нормаль к элементу поверхности dS. Величина положительного заряда, уходящего из объема, ограниченного поверхностью S, за единицу времени, равна убыли заряда в этом объеме:

Последнее выражение называется уравнением непрерывности; оно является следствием закона сохранения заряда.

В случае постоянных токов распределение зарядов стационарно, т. е. , так что уравнение непрерывности принимает вид:

Воспользовавшись теоремой Гаусса, можем записать

Объем интегрирования V произволен; отсюда следует, что

Это уравнение является наиболее общим выражением того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т.е. что линии тока всегда либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Электрическое поле постоянных токов, как и поле электростатическое является потенциальным, вектор напряженности поля может быть выражен через градиент потенциала

Поскольку распределение зарядов в случае постоянных токов стационарно, то их поле должно быть тождественно с электростатическим полем соответственно распределенных неподвижных зарядов. То обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плотность зарядов каждой точке пространства остается постоянной.

4.3. Закон Ома.Сопротивление проводников

В 1826 г. немецкий физик Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, существующего в однородном металлическом проводнике, пропорциональна разности потенциалов на концах проводника:

Однородным называется проводник, в котором на носители действуют только силы электростатического происхождения. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей измерения сопротивления служит Oм (обозначается 1 Ом), равный сопротивлению такого проводника, в котором при разности потенциалов в 1 В существует ток силой в 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для однородного проводника длиной l с площадью поперечного сечения S

где   – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала. Этот коэффициент называется удельным электрическим сопротивлением вещества. В СИ  измеряется в Ом·м.

Закон Ома можно записать в дифференциальной форме, установив, таким образом, связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Выделим мысленно в окрестностях некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис. 4.4) с образующими, параллельными вектору плотности тока в данной точке.

Через поперечное сечение цилиндра протекает ток jdS, разность потенциалов на торцах цилиндра равна Edl, где E – напряженность поля в данной точке. Электрическое сопротивление цилиндра, согласно формуле (4.8), равно . Тогда закон Ома можно записать так:

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора напряженности электрического поля, поэтому