Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 11

где   – величина, называемая удельной электрической проводимостью или просто проводимостью материала. Применяя закон Ома в дифференциальной форме, выражение (4.6) можно записать следующим образом:

В случае однородного проводника   = const, тогда

,

т. е. в случае стационарных токов в однородном проводнике объемная плотность зарядов внутри проводника равна нулю. Заряды находятся только на поверхности проводника, они и создают электрическое поле, обеспечивающее перемещение носителей.

Способность вещества проводить ток характеризуется его удельным сопротивлением  или электропроводностью  . Значения этих величин определяются химической природой вещества и внешними условиями, в частности температурой, при которых оно находится. Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону:

где – удельное сопротивление при 0°С; t – температура по шкале Цельсия;  – температурный коэффициент электрического сопротивления, численно равный примерно 1/273 1/°C. Переходя к абсолютной температуре, получаем

При низких температурах наблюдаются отклонения от этой закономерности (рис. 4.5). В большинстве случаев зависимость  от T следует кривой 1. При этом при уменьшении температуры удельное сопротивление стремится к некоторому конечному значению _ост. Значение _остзависит от чистоты материала и остаточных механических напряжений в образце. У абсолютно чистых металлов с идеально правильной кристаллической решеткой при абсолютном нуле  = 0.

У большой группы металлов и сплавов при температуре порядка нескольких кельвин удельное сопротивление скачком обращается в нуль (кривая 2 на рис 4.5). Это явление, обнаруженное в 1911 г. голландским физиком Х. Камерлинг–Оннесом, называется сверхпроводимостью. Каждый материал имеет свою критическую температуру , при которой наступает сверхпроводимость. Для создания условий сверхпроводимости проводники охлаждаются в жидком гелии при температуре 4 К. Такие сверхпроводящие системы являются очень дорогими и сложными устройствами, поэтому усилия ученых направлены на создание материалов, обладающих свойствами высокотемпературной сверхпроводимости.

4.4. Основные представления классической электронной теории электропроводности металлов

Электронная теория проводимости металлов была впервые создана П. Друде в 1900 г. и получила дальнейшее развитие в работах Г. Лоренца. Существование тока в проводнике, сопровождающееся выделением тепла, в рамках классических представлений объясняется следующим образом. Свободные электроны ускоряются электрическим полем, которое имеется внутри проводника. Закон Ньютона для движения электрона имеет вид

ma = eE, (4.11)

где обозначено: m, a, e – масса, ускорение и заряд электрона. На самом деле движение электрона очень сложно, поскольку электроны находятся в тепловом хаотическом движении. Под влиянием внешнего электрического поля электроны получают одинаковое ускорение и приобретают дополнительную скорость в направлении поля. В результате возникает упорядоченное движение электронов, т. е. электрический ток. Упорядоченное движение электронов накладывается на их хаотическое тепловое движение, причем скорость хаотического движения электронов много больше скорости их упорядоченного движения (дрейфа). Оценки при температуре t = 0 C и плотности тока  А/м2 дают следующие значения средней скорости v теплового движения и средней скорости u упорядоченного движения электронов:

При своем движении электроны взаимодействуют друг с другом и с атомами кристаллической решетки проводника. При взаимодействии с узлами кристаллической решетки электроны передают им часть своей энергии. Эта энергия приобретена электронами под действием электрического поля (при отсутствии электрического поля электроны и атомы находятся в состоянии теплового равновесия). Допустим, что электрон в соответствии с уравнением (4.11) ускоряется в течение времени  , затем сталкивается с атомом и отдает ему всю приобретенную в электрическом поле кинетическую энергию. Затем он снова ускоряется в течение времени  и снова сталкивается с атомом, отдавая ему свою энергию. Таким образом,  – среднее время между столкновениями. Если  – средняя длина свободного пробега между столкновениями, а v – средняя скорость теплового движения электронов, то по определению

  =  /v. (4.12)

Путь, проходимый электронами в упорядоченном движении между столкновениями, равен

Тогда средняя скорость упорядоченного движения

Согласно выражению (4.2), плотность тока равна

j = enu =

где n – концентрация электронов.

Сравнивая (4.15) с законом Ома j = E, находим следующее выражение для удельной электрической проводимости:

Классическая теория электропроводности весьма наглядна и дает правильную качественную зависимость плотности тока от напряженности поля. Однако она не приводит к правильным количественным результатам.

Главные расхождения теории с экспериментом состоят в следующем:

• 1. Для того, чтобы по формуле (4.16) получить правильные значения удельной электропроводности, надо принять  очень большими ( должна в тысячи раз превосходить межатомные расстояния в металле). Понять возможность таких больших свободных пробегов затруднительно в рамках классической теории.

• 2. Экспериментальная зависимость удельной электропроводности от температуры имеет вид   ~ 1/T, в то время как из формулы (4.16) следует   ~ 1/ .

• 3. По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы следует ожидать от свободных электронов очень большого вклада в теплоемкость проводников, что в эксперименте не наблюдается.

Лишь квантовая теория позволяет последовательно разрешить эти противоречия. Квантовая теория учитывает волновые свойства микрочастиц. Важнейшей особенностью волнового движения является способность волн огибать препятствия благодаря дифракции. В результате при своем движении электроны как бы огибают атомы без столкновений, и длины их свободного пробега могут быть весьма большими. Электроны подчиняются статистике Ферми–Дирака, согласно которой в образовании электронной теплоемкости может принимать участие лишь незначительная часть электронов, имеющих энергии вблизи уровня Ферми. Решение задачи о движении электрона в проводнике в рамках квантовой механики приводит зависимости   ~ 1/T, что и наблюдается в действительности.

4.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи.Электродвижущая сила

Для того, чтобы электрический ток существовал длительное время необходимо наличие замкнутой цепи, свободных носителей зарядов частиц и сторонних сил. В проводнике заряженные частицы движутся под действием кулоновских сил в направлении от точки с большим потенциалом ₁ к точке с меньшим потенциалом ₂. Сторонние силы (силы не электростатического происхождения) непрерывно отводят заряды от конца проводника с меньшим потенциалом, и подводят их к концу с большим потенциалом (рис.4.6).

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Поэтому в замкнутой цепи, наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания потенциала, должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т.е. против сил электростатического поля (см. изображенную штрихом часть цепи на рис. 4.6).

Рассмотрим участок 1–2 цепи (рис.4.7), на котором действуют кулоновские и сторонние силы, поля которых характеризуется напряженностями и .

Напряженность результирующего поля, действующего на электроны, равна сумме напряженностей кулоновского поля и поля сторонних сил:

Выделим бесконечно малый элемент проводника dl и запишем с учетом (4.17) закон Ома в дифференциальной форме:

Умножив левую и правую часть выражения (4.18) на , получаем:

Учтем, что все векторы в выражении (4.19) коллинеарны, поскольку являются касательными к линиям тока, а модуль плотности тока , где I – сила тока в проводнике, S – площадь поперечного сечения проводника. Тогда выражение (4.19) можно переписать в виде