Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 13

где – коэффициент, определяемый из экспериментальных данных, называемый магнитной постоянной:

Н А^–2. (5.7)

В случае если магнитное поле создается системой движущихся зарядов, то для нахождения результирующей магнитной индукции в любой точке пространства справедлив принцип суперпозиции магнитных полей (принцип независимости действия магнитных полей):

т.е. магнитная индукция поля, созданного системой зарядов в любой точке пространства, равна векторной сумме магнитных индукций полей, созданных каждым зарядом в этой точке в отдельности.

Определим с помощью принципа суперпозиции (5.8) и соотношения (5.5) магнитную индукцию поля, создаваемого элементом проводника с током (рис.5.3) в некоторой точке пространства.

Поскольку электрический ток – это направленное движение заряженных частиц, за направление которого принято направление движения положительных зарядов, магнитное поле в точке М будет создаваться всеми движущимися по проводнику зарядами, сосредоточенными в выбранном элементе проводника длиной . Если концентрация свободных носителей заряда в проводнике равна п, то в данном элементе проводника сосредоточено число заряженных частиц, равное . Тогда, согласно (5.5) и (5.8), элементарная магнитная индукция (т.е. магнитная индукция, созданная элементом тока) в точке М определится так:

Поскольку сила тока в проводнике , а соотношение определяет направление вектора , можно записать

Выражение (5.9) определяет магнитную индукцию, созданную в произвольной точке пространства элементом проводника с током. Оно называется законом Био-Савара-Лапласа. Математическую форму закону придал в 1820 г. французский математик П.- С. Лаплас, обобщив результаты исследований Ж.-Б. Био и Ф. Савара.

Определим с помощью закона Био-Савара-Лапласа магнитные индукции некоторых магнитных полей.

Пример 1. Рассмотрим магнитное поле прямолинейного проводника с током (рис. 5.4). Пусть исследуемая точка М находится на расстоянии R от проводника. Выделим в проводнике элемент длиной , которому будет соответствовать вектор . Проведем от этого элемента радиус-вектор в точку М. Согласно закону Био–Савара–Лапласа, элементарная магнитная индукция, создаваемая в точке М этим элементом проводника, будет определяться выражением (5.9). Направление вектора определим по правилу векторного произведения: если правый винт вращать по кратчайшему пути от первого сомножителя произведения (вектора ) ко второму сомножителю (вектору ), то поступательное движение винта укажет направление . На рис. 5.4 показано, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка “от нас”.

Если рассмотреть различные элемента проводника с током, то можно сделать вывод, что все элементарные магнитные индукции, создаваемые различными фрагментами , будут направлены в одну сторону. Следовательно, согласно принципу суперпозиции (5.8),

причем

Модуль элементарной индукции dB можно найти следующим образом. Согласно определению векторного произведения,

где  – угол между векторами и . Поскольку элемент виден из точки М под малым углом d , то , , так как отрезок практически совпадает с дугой окружности радиуса r с центром в точке М. Наконец,

Подставляя все полученные выше соотношения в (5.10), получаем

Тогда

где и – углы между направлением тока в проводнике и направлением на точку М в начале и в конце проводника (см. рис.5.4).

Из (5.11) можно получить выражение для модуля индукции магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током. Таким объектом будет отрезок прямого провода, если исследуемая точка М находится настолько близко к проводу, что расстояние R существенно меньше расстояний до его концов, т.е. границы проводника не видны из точки М. Тогда , . п. В СИ это выражение принимает вид

Для определения направления вектора в произвольной точке применимо следующее правило (правило правого винта, или “правило буравчика”): если ввинчивать правый винт по направлению тока в прямолинейном проводнике, то направление движения рукоятки винта укажет направление вектора магнитной индукции в каждой точке пространства. На рис. 5.5 показано, что во всех точках плоскости рисунка слева от проводника векторы направлены перпендикулярно плоскости рисунка “к нам”, а во всех точках справа от проводника – “от нас”.

Если рассмотреть направление векторов в различных точках, то можно сделать такой вывод: векторы магнитной индукции магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током расположены в плоскостях, перпендикулярных проводнику, причем в точках, равноудаленных от проводника модули векторов одинаковы. Для графического изображения стационарного, т.е. не изменяющегося во времени, магнитного поля пользуются методом линий магнитной индукции.

Линиями магнитной индукции называются воображаемые линии, проведенные так, что в каждой точке поля касательная к линии магнитной индукции совпадает с направлением вектора в этой точке поля. Линии магнитной индукции проще всего наблюдать с помощью мелких игольчатых железных опилок, которые намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам, разворачиваясь вдоль линий индукции. Подобный метод графической иллюстрации магнитного поля напоминает изображение электрических полей с помощью силовых линий. Так же, как и силовые линии электрических полей, линии магнитной индукции не пересекаются и не соприкасаются. Однако необходимо помнить существенные отличия свойств силовых линий электростатического поля и линий магнитной индукции. Во-первых, силовые линии в каждой точке указывают направление силы, действующей на заряд в электрическом поле (отсюда и название), а направление линий магнитной индукции не указывает направление силы, действующей на движущийся заряд в магнитном поле; поэтому их нельзя называть силовыми линиями магнитного поля. Во-вторых, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах, а линии магнитной индукции замкнуты.

Будем называть магнитное поле однородным, если во всех его точках векторы индукции совпадают по модулю и направлению. В этом случае линии магнитной индукции параллельны друг другу, т.е. замыкаются на бесконечно большом удалении от рассматриваемой точки пространства. Однородным можно считать магнитное поле между полюсами постоянного магнита.

В случае бесконечно длинного прямолинейного проводника с током линии магнитной индукции образуют систему концентрических окружностей, центры которых расположены на проводнике, а плоскости окружностей перпендикулярны проводнику (рис.5.6). Направления линий магнитной индукции определены по правилу буравчика.

Пример 2. Рассмотрим магнитное поле кругового витка радиуса R с током I (рис. 5.7).

Пусть исследуемая точка М находится на его оси расстоянии z от плоскости витка. На рис. 5.7 плоскость витка с током перпендикулярна плоскости рисунка. Выделим в витке элемент длиной , которому будет соответствовать вектор . Пусть это будет элемент, расположенный так, что вектор направлен “на нас”. Проведем от этого элемента радиус-вектор в точку М. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, элементарная магнитная индукция, создаваемая в точке М этим элементом проводника, будет определяться выражением (5.9). Направление вектора определим по правилу векторного произведения: если правый винт вращать по кратчайшему пути от первого сомножителя произведения (вектора ) ко второму сомножителю (вектору ), то поступательное движение винта укажет направление .

На рис. 5.7 показано, что вектор направлен в плоскости рисунка перпендикулярно вектору . Если рассмотреть различные элементы витка, то можно сделать вывод, что все элементарные индукции будут направлены в точке М под одним и тем же углом  к оси витка, причем их модули будут одинаковы. Из условий симметрии следует, что вектор магнитной индукции, создаваемой всем витком, будет направлен вдоль оси витка OZ. Поэтому нужно суммировать проекции элементарной магнитной индукции на ось OZ. Тогда, согласно принципу суперпозиции (5.8),

где .

Учтем, что ; тогда

В СИ это выражение принимает вид:

График зависимости магнитной индукции на оси витка от координаты z приведен на рис. 5.8.

Из (5.14) легко получить выражение для модуля магнитной индукции в центре кругового витка с током (z = 0):

Введем понятие вектора магнитного момента витка с током: