Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 14

где S – площадь витка; I – сила тока в витке; – вектор единичной нормали к плоскости витка, причем его направление согласовано с направление тока в витке по правилу буравчика (рис.5.9).

Тогда выражение (5.14) можно записать так:

5.2. Циркуляция магнитной индукции.Закон полного тока

Рассчитаем циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура.

Сначала рассмотрим магнитное поле, созданное длинным прямолинейным проводником с током I. Линии магнитной индукции поля такого проводника представляют собой окружности, центры которых совпадают с осью проводника. На рис. 5.10 показана одна из линий магнитной индукции; проводник с током расположен перпендикулярно плоскости рисунка, направление тока “от нас”.

Модуль магнитной индукции в каждой точке окружности радиуса r определяется по (5.12):

Направление при выбранном направлении тока в проводнике указано на рис. 5.10 в соответствии с правилом буравчика. Вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль контура, совпадающего с линией магнитной индукции, причем направление обхода выберем по часовой стрелке. Тогда элемент окружности совпадает в каждой точке по направлению с вектором . Тогда

где d – угол, под которым элемент виден из центра окружности. Циркуляция магнитной индукции по всему замкнутому контуру будет определяться так:

Т аким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Теперь вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного контура L, не совпадающего с линией магнитной индукции (см. рис. 5.11).

Учитывая, что dlcos = rd , можем записать:

Интегрируя по углу  от 0 до 2 , получаем:

Отметим, что в случаях, изображенных на рис.5.10 и 5.11, контуры интегрирования “охватывали” проводник с током, т.е. проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L. Такой проводник (или ток) называют проводником (током), сцепленным с контуром.

Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток (см. рис.5.12).

В этом случае весь контур L разбивается на две части L₁ и L₂. На части контура L₁ угол между векторами и острый ( ), а на части контура L₂ угол между векторами и тупой ( ). Тогда

Итак, если ток не сцеплен с контуром, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то применим принцип суперпозиции магнитных полей. При этом необходимо учитывать правило знаков. Знак силы тока определяется относительно произвольно выбранного направления обхода контура при интегрировании. Если направление тока и направление обхода контура соответствуют правилу правого винта, то сила тока берется со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус. Если получено положительное значение циркуляции магнитной индукции, это означает, угол между направлениями магнитной индукции и элемента контура dl является острым. Рисунок 5.13 и выражение 5.20 иллюстрируют правило знаков.

Таким образом, циркуляция магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром.

Выражение (5.21) называют также законом полного тока для магнитного поля.

Поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные “магнитные заряды”, создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Рассмотрим применение закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Оно особенно удобно для расчета магнитных полей симметричных систем токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля вдоль него легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1. Исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве, необходимо построить линии магнитной индукции поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

2. Выбрать “удобный” замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

• а) он должен проходить через исследуемую точку;

• б) длина контура должна быть известна;

• в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

• г) угол между и касательной к контуру должен быть равен нулю или /2.

3. Определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру.

,

где B_i – постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контура L_i .

4. Определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром L.

5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.

Пример. Определим магнитную индукцию поля длинного соленоида. Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими друг к другу витками (рис.5.14), причем длина катушки существенно больше ее диаметра.

Выберем контур интегрирования L (см. рис. 5.15), состоящий из четырех участков. Первый участок длиной l₁ проведем вдоль оси соленоида. Вблизи оси соленоида магнитное поле можно считать однородным. Здесь линии магнитной индукции параллельны оси, а модуль индукции не изменяется.

Участки контура l₂ и l₄ проведем так, чтобы они были перпендикулярны линиям магнитной индукции. Замкнем контур участком l₃ настолько далеко от оси соленоида, чтобы магнитную индукцию в точках этого участка контура можно было бы принять равной нулю. При таком выборе контура циркуляция магнитной индукции будет отлична от нуля только на участке l₁:

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L, определится числом витков соленоида, расположенных на длине отрезка l₁:

где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины. Применим закон полного тока, приравняв выражения (5.22) и (5.23) с учетом коэффициента:

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида (на его оси) выражается так:

Модуль магнитной индукции в центре основания длинного соленоида (на его оси) можно найти из следующих соображений. Поскольку любой длинный соленоид можно представить в виде последовательно соединенных двух соленоидов (рис. 5.16), то

Тогда

5.3. Движение заряженных частиц в магнитных и электрических полях.Эффект Холла

Экспериментально обнаружено, что магнитное поле действует на движущиеся в нем частицы, имеющие электрические заряды (см. п. 5.1). В соответствии с (5.1), магнитная индукция численно равна максимальной силе, действующей со стороны магнитного поля на заряженную частицу, движущуюся в поле с единичной скоростью, и отнесенной к величине заряда частицы. Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью (рис.5.17), то сила, действующая со стороны поля, перпендикулярна скорости частицы и вектору магнитной индукции:

Таким образом, получаем при и при . Эти случаи проиллюстрированы на рис. 5.17. Поскольку сила, действующая на частицу, перпендикулярна ее скорости, ускорение, сообщаемое этой силой, тоже перпендикулярно скорости частицы – оно является нормальным ускорением. Следовательно, первоначально прямолинейная траектория полета частицы будет искривляться при попадании частицы в магнитное поле.

Так как , то F = 0 при условии . Этот факт означает, что магнитное поле не действует на электрически заряженную частицу, влетающую в поле вдоль линий магнитной индукции. Если же частица влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то из (5.26) следует, что сила, действующая на частицу максимальна: . Запишем второй закон Ньютона

F = ma_n,

или,

где m – масса частицы, а R – радиус кривизны траектории. Из последнего уравнения следует, что в однородном поле ( ) частица будет двигаться по окружности радиуса

Период обращения частицы по этой окружности не зависит от скорости частицы. Действительно,

Следует отметить, что при попадании частицы в магнитное поле, ее кинетическая энергия не изменяется. Так как , сила перпендикулярна перемещению частицы в любой точке траектории; следовательно, сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, не совершает работы по перемещению движущейся частицы.

Направление силы , согласно (5.26), можно определить по “правилу левой руки”: если расположить ладонь левой руки так, чтобы четыре пальца показывали направление скорости частицы, а линии магнитной индукции входили в раскрытую ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на положительно заряженную частицу. Если заряд частицы отрицателен, то направление силы будет противоположным.