Ответы на экзаменационные вопросы по Физике 3-й семестр (Ответы на теоретические вопросы экзаменационных билетов для 3-го семестра.), страница 14

Количество линий вектора , начинающихся на точечном заряде +q или заканчивающихся на заряде -q, численно равно .

Согласно формуле потока вектора через замкнутую поверхность:

где – число линий, начинающихся внутри поверхности, а – число линий, оканчивающихся внутри поверхности.

Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен числу линий, выходящих наружу, то есть начинающихся на заряде, если он положительный, и числу линий, входящих внутрь, то есть оканчивающихся на заряде, если он отрицательный. Учтя, что количество начинающихся или оканчивающихся на точечном заряде линий численно равно

, можно написать, что:

Знак потока совпадает со знаком заряда q.

Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находится N точечных зарядов . В силу принципа суперпозиции напряжённость поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряжённостей , создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Поэтому:

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен .

Следовательно:

Это утверждение носит название теоремы Гаусса. Эта теорема гласит, что поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённой на .

При рассмотрении полей, создаваемых макроскопическими зарядами (то есть зарядами, образованными огромным числом элементарных зарядов), отвлекаются от дискретной (прерывистой) структуры этих зарядов и считают их распределёнными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью.

Объёмная плотность заряда определяется по аналогии с плотностью массы как отношение заряда dq к физически бесконечно малому объёму dV, в котором заключён этот заряд:

В данном случае физически бесконечно малым объёмом нужно понимать такой объём, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы плотность в пределах его можно было считать одинаковой, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность заряда.

Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно найти суммарный заряд, заключённый внутри замкнутой поверхности S. Для этого нужно вычислить интеграл от по объёму, ограниченному поверхностью:

Таким образом, формуле теоремы Гаусса можно придать вид:

Заменив в соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса поверхностный интеграл объёмным, получим:

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объёма V. Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковые. Следовательно дивергенция вектора связана с плотностью заряда в той же точке равенством:

Это равенство выражает теорему Гаусса в дифференциально форме.

Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тело, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности , которая определяется выражением:

где – заряд, заключённый в слое площадки dS. Под dS подразумевается бесконечно малый участок поверхности. Если заряд распределён по объему или поверхности цилиндрического тела (равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда:

– длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, dq – заряд, сосредоточенный на этом отрезке.

Поле заряженной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинаковая и равна ; заряд положительный.

Из соображений симметрии, напряжённость поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости, так как плоскость бесконечно и однородно заряжено, то нет поводов для отклонения. В симметричных относительно плоскости точках напряжённость поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично:

В силу симметрии .

Применим к поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с E. Следовательно, суммарный поток через поверхность равен . Внутри поверхности заключен заряд . Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие:

из которого:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряжённость поля одинаковая по величине.

Линии напряжённости для такого случая:

Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку, то полученный результат будет справедлив только для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки.

Поле цилиндра.

Пусть поле создаётся бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Из соображений симметрии следует, что напряжённость поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряжённости может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. Представим коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высоты h:

Для оснований цилиндра , для боковой поверхности

(заряд положительный). Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность равен:

Если r > R, внутрь поверхности попадает заряд

( – линейная плотность заряда)

Применив теорему Гаусса, получим:

Отсюда:

Если r < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего .

Таким образом, внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напряжённость поля вне поверхности определяется линейной плотностью заряда и расстоянием r от оси цилиндра.

Из формулы для следует, что, уменьшая радиус цилиндра R (при неизменной линейной плотности заряда )

можно получить вблизи поверхности цилиндра поле с очень большой напряжённостью.

Подставив в формулу для значение и положив r = R, получим для напряжённости поля в непосредственной близости к поверхности цилиндра значение:

С помощью принципа суперпозиции легко найти поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине, но отличающихся знаком линейной плотностью :

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В зазоре между цилиндрами величина напряжённости поля определяется соотношение полученным для . Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями много меньше их длины (цилиндрический конденсатор).

Поле сферы.

Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью , будет центрально – симметричным. Это означает, что направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряжённости является функцией расстояния r от центра сферы.

Имеем концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса r. Для всех точек этой поверхности:

Если r > R, внутрь поверхности попадает весь заряд q, распределённый по сфере. Следовательно,

Откуда:

Сферическая поверхность радиуса r, меньшего R, не будет содержать зарядов, вследствие чего для r < R получается

.

Таким образом, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью , поле отсутствует. Вне этой поверхности поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.

Поле шара.

Пусть шар радиуса R заряжен с постоянной объёмной плотностью . Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Для поля вне шара получается тот же результат, что и в случае поверхностно – заряженной сферы. Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r (r < R) заключает в себе заряд, равный:

Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом:

Отсюда, заменив через:

Получим:

Таким образом, внутри шара напряжённость поля растёт линейно с расстоянием r от центра шара. Вне шара напряжённость убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.

2. Дисперсия света. Нормальная и аномальная дисперсия. Электронная теория дисперсии.

Ответ:

Билет 23