Ответы на экзаменационные вопросы по Физике 3-й семестр (Ответы на теоретические вопросы экзаменационных билетов для 3-го семестра.), страница 15

1. Магнитное поле в веществе. Молекулярные токи. Намагниченность вещества. Вектор намагниченности.

Ответ: Если несущие ток провода находятся в какой – либо среде, магнитное поле изменяется. Так как каждое вещество является магнетиком. Намагниченное вещество создаёт магнитное поле , которое накладывается на обусловленное токами поле . Оба поля в сумме дают результирующее поле:

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. Под подразумевается усреднённое (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего их результирующее поле равно нулю.

Намагничивание магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объёма. Эту величину называют намагниченностью и обозначают .

Если магнетик намагничен неоднородно, намагниченность в данной точке определяется:

Где – физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки, – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам заключённым в объёме .

Поле , так же как и поле , не имеет источников. Поэтому дивергенция результирующего поля равна нулю:

Таким образом, выражение для дивергенции магнитного поля в вакууме, справедливо и для магнитного поля в веществе:

Тогда и выражение вытекающее из теоремы Гаусса для потока вектора магнитной индукции:

По теореме Остроградского – Гаусса:

Также справедливо и для магнитного поля в веществе.

2. Метод зон Френеля. Спираль Френеля. Дифракция Френеля от круглого отверстия.

Ответ: Определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке P сферической волной, распространяющейся в изотропной однородной среде из точечного источника S.

Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой SP. Воспользовавшись этим, разобьём волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краёв каждой зоны до точки P отличается на ( -длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Это и есть зоны Френеля. Это делается для того, чтобы определить результат интерференции вторичных волн.

Расстояние от внешнего края m-й зоны до точки P равно:

(b - расстояние от вершины волновой поверхности O до точки P). Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон (т.е. от точек, лежащих в середине зон или у внешних краёв зон и тд.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Вычислим площади зон. Внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты .

Обозначим площадь этого сегмента через . Тогда площадь m-й зоны можно представить в виде

где – площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (m-1)-й зоны.

Тогда

(a – радиус волновой поверхности, – радиус внешней границы m-й зоны). Возведя скобки в квадрат, получим

Отсюда

Ограничившись рассмотрением не слишком больших m, можно ввиду малости пренебречь слагаемым, содержащим . В этом приближении

Площадь сферического сегмента равна (R-радиус сферы, h-высота сегмента). Следовательно,

а площадь m-й зоны

Выражение не зависит от m, следовательно, при не слишком больших m площади зон Френеля примерно одинаковы. Найдём радиусы зон. При не слишком больших m высота сегмента << a, поэтому можно считать, что

, подставив значение для , получим для радиуса внешней границы m-й зоны выражение

(радиусы последующих зон возрастают как ).

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние от зоны до точки P медленно растёт с номером зоны m. Угол между нормалью к элементам зона и направлением на точку P также растёт с m. Всё это приводит к тому, что амплитуда колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке P, монотонно убывает с ростом m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке P зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на . Поэтому амплитуда A результирующего колебания в точке P может быть представлена в виде

В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от чётных с другим.

Тогда запишем это выражение в виде:

Вследствие монотонного убывания можно приближённо считать, что

Тогда выражения в скобках будут равны нулю и формула для A упростится:

Согласно этой формуле амплитуда, создаваемая в некоторой точке P всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной.

Спираль Френеля. Решение задачи о распространении света от источника S к точке P графическим методом, в результате чего получается амплитудно – векторная диаграмма.

Разобьём волновую поверхность на кольцевые зоны аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине (разность хода от краёв зоны до точки P составляет одинаковую для всех зон малую долю ). Колебание создаваемое в точке P каждой из зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания. Амплитуда колебаний, создаваемая такими зонами в точке P, медленно убывает при переходе от зоны к зоне. Каждое следующее колебание отстаёт от предыдущего по фазе на одну и ту же величину. Следовательно, векторная диаграмма, получившаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид:

Если бы амплитуды, создаваемые отдельными зонами, были бы одинаковыми, конец последнего вектора совпадал бы с началом первого вектора. В действительности значение амплитуды, хоть и не сильно, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а спиралеобразную ломанную.

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нём круглым отверстием радиуса . Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S, попал в центр отверстия.

На продолжении этого перпендикуляра возьмём точку P. При радиусе отверстия >> a и b, длину a можно считать равной расстоянию от источника S до преграды, а длину b – расстояние от преграды до точки P. Если расстояния a и b удовлетворяют соотношению

где m – целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля, построенных для точки P из формулы для радиуса внешней границы m – ой зоны

Следовательно, число открытых зон Френеля определяется выражением

В соответствии с тем, что фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на , поэтому амплитуда в точке P будет равна:

Перед берётся знак плюс, если m нечётное, и минус, если m чётное. Представив последнее выражение в виде, что в это выражение все амплитуды от нечётных зон входят с одним знаком, а от чётных зон с другим:

и положив выражения в скобках равными нулю, придём к формулам:

m – нечётное:

m – чётное:

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому можно заменить через . В результате получится

где знак плюс берется для нечётных m и минус для чётных.

Для малых m амплитуда будет мало отличаться от . Следовательно, при нечётных m амплитуда в точке P будет приближённо равна , а при чётных m – нулю.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и тёмных концентрических колец. В центре картины будет либо светлое (m нечетное), либо тёмное (m чётное) пятно. При перемещении экрана параллельно самому себе вдоль прямой SP получаемая дифракционная картина из концентрических колец будет сменять друг друга, согласно формуле

при изменении b значение m становится то четным, то нечётным. Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон Френеля, чередование светлых и тёмных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещённость оказывается практически постоянной.

Билет 24

1. Законы Ома и Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

Ответ: Закон Ома. Сила тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике:

В случае однородного проводника напряжение совпадает с разностью потенциалов .

R – электрическое сопротивление проводника.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которых он сделан, для однородного цилиндрического проводника:

где – длина проводника, S – площадь поперечного сечения, – зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным сопротивлением (измеряется в

)

Найдём связь между векторами плотности тока и вектором напряжённости в одной и той же точке проводника.

Формула вектора плотности тока:

В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора .

Поэтому направление вектором и совпадают. Выделим в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объём с образующими, параллельными векторам и :

Через поперечное сечение цилиндра течёт ток силой .

Напряжение, приложенное к цилиндру, равно , где E – напряжённость поля в данном месте. Наконец, сопротивление цилиндра, согласно формуле сопротивления, равно:

Подставив эти значения в формулу для силы тока:

Воспользовавшись тем, что векторы и имеют одинаковое направление:

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме. Обратная величина называется удельной электрической проводимостью материала. Единица обратная Ому – Сименс. Соответственно единицей является сименс на метр.

Закон Джоуля – Ленца. В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нём нет, работа тока:

затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается.

То есть, при протекании тока в проводнике выделяется тепло:

Заменив в соответствии с законом Ома через , получим:

Это соотношение выражает закон Джоуля – Ленца.

Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющегося за время t, вычисляется как:

От формулы, определяющей тепло, выделяющегося во всём проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных местах проводника.

Выделим в проводнике элементарный объём в виде цилиндра:

Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объёме выделится тепло:

( – величина элементарного объёма)

Разделив это выражение на dV и dt, найдём количество теплоты, выделяющееся в единице объёма в единицу времени:

Где – удельная тепловая мощность тока.

Полученная формула представляет собой дифференциальную форму закона Джоуля – Ленца.

Эту формулу можно получить из соотношения для удельной мощности тока: