Ответы на экзаменационные вопросы по Физике 3-й семестр (Ответы на теоретические вопросы экзаменационных билетов для 3-го семестра.), страница 17

Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, то есть рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Эксперементально установлено, что внутри соленоида магнитное поле однородное, вне соленоида, магнитное поле неоднородное и очень слабое.

Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближённо можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено внутри него, а полем в не его можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции B выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно Закону полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции):

Тогда для нашего случая:

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырёх интегралов: по AB, BC, CD и DA. На участках AB и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и . На участке вне соленоида B = 0. На участке DA циркуляция вектора B равна (участок контура совпадает с линией магнитной индукции), следовательно:

Отсюда находим выражение для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

Таким образом, поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида можно пренебречь).

Расчёт тороида. Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора:

Магнитное поле, как показывает опыт сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом r. Тогда по теореме о циркуляции:

Откуда:

Откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме):

где N – число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и . Это показывает, что поле вне тороида отсутствует.

2. Объёмная плотность энергии магнитного поля.

Ответ: Рассмотрим объёмную плотность на примере соленоида. Пусть длина катушки , радиус R, число витков N. Если по обмотке катушки протекает ток силой I, то энергия магнитного поля, то энергия магнитного поля равна . Индуктивность катушки .

Индукция магнитного поля в катушке , напряжённость магнитного поля , объём пространства внутри соленоида . Поэтому

Так как поле внутри соленоида можно рассматривать как однородное, то объёмная плотность энергии магнитного поля определяется соотношением:

Билет 27

1. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Ответ: Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длиной :

Допустим, что этот контур находится во внешнем магнитном поле, которое однородно и перпендикулярно плоскости контура. При указанных направлениях тока и поля сила , действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна:

При перемещении перемычки вправо на dh эта сила совершит положительную работу:

где dS – заштрихованная площадь.

Выясним, как изменится при перемещении перемычки поток магнитной индукции через площадь контура. В выражении:

за n – будем брать положительную нормаль, то есть нормаль, образующую с направлением тока в контуре правовинтовую систему. Тогда в рассматриваемом случае, поток будет положительным и равным BS (S – площадь контура). При перемещении перемычки вправо площадь контура получает положительное приращение dS.

В результате поток также получает положительное приращение:

Поэтому выражение для работы:

При направлении поля на нас:

сила, действующая перемычку, направлена влево. Поэтому при перемещении перемычки вправо на dh магнитная сила совершит отрицательную работу:

В этом случае поток через контур равен -BS. При увеличении площади контура на dS поток получает приращение:

Следовательно выражение для работы можно записать в виде:

Величину можно трактовать как поток через площадь, описанную перемычкой при её движении. Тогда можно сказать, что работа, совершаемая магнитной силой над участком контура с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, описанную этим участком при своём движении. Формулы полученные для движения перемычки вправо и влево, можно объединить в одно векторное выражение. Для этого сопоставим перемычке вектор имеющий направление тока независимо от направления вектора , сила действующая на перемычку:

При перемещении перемычки на dh сила совершает работу:

Или с помощью циклической замены:

Векторное произведение равно по величине площади dS, описанной перемычкой при ее движении, и имеет направление положительной нормали . Следовательно:

Выражение определяет приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением перемычки.

Рассмотрим жёсткий или деформируемый контур, который находясь в магнитном поле, перемещается из некоторого исходного положения в бесконечно мало отличающееся от исходного конечное положение. Силу тока в контуре будем считать постоянной. Пусть элемент контура претерпевает произвольное перемещение, которое можно представить как смещение параллельно самому себе на отрезок и последующий поворот на угол :

При этом элемент опишет площадь, равную:

Другой источник. Движение прямого проводник с током в однородном магнитном поле.

Пусть прямой проводник с током (перемычка длиной ) перемещается, скользя без трения по двум направляющим проводам:

Перпендикулярно плоскости, в которой расположены провода, приложено внешнее магнитное поле с индукцией . Источник тока обеспечивает протекание постоянного тока через движущуюся перемычку.

Сила, действующая на перемычку со стороны магнитного поля, в соответствии с законом Ампера:

При перемещении перемычки вправо из положения 1 в положение 2, расстояние между которыми равно dx, сила совершает работу:

Произведение равно площади dS элементарной поверхности, которую проводник описал при своём движении (рис. заштрихованная часть).

Поток вектора магнитной индукции через эту поверхность (магнитный поток):

Рассмотрим теперь вращательное движение прямого проводника с током длиной в однородном магнитном поле с вектором индукции , перпендикулярным плоскости, в которой проводник вращается вокруг оси, проходящей через точку O:

Результирующая сила Ампера F, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля, создаёт вращательный момент M относительно оси вращения, причём:

При повороте проводника на угол такой момент силы совершает работу:

Если записать выражение для площадки dS поверхности, которую проводник описал при своём движении (заштрихованная поверхность) как площадь сектора:

то выражение для работы преобразуется к виду:

где представляет собой магнитный поток через поверхность, которую проводник с током описал в пространстве при своём движении.

Любое плоское движение прямого проводника с током всегда можно свести к поступательному и вращательному движениям. Это означает, что полученные выражения для работы определяют механическую работу, совершаемую при произвольном элементарном перемещении прямого проводника с током в плоскости.

Движение линейного проводника в магнитном поле.

Определим теперь работу силы Ампера при движении линейного проводника с током произвольной формы в магнитном поле. Для вычисления этой работы из всего проводника выделим отдельный элемент тока . Если перемещение этого элемента тока обозначить через , то работа силы Ампера:

действующей на этот элемент тока со стороны магнитного поля:

Смешанное произведение трёх векторов не изменяется при их циклической перестановке, поэтому:

где – вектор малой площадки dS, описанной вектором при его перемещении:

. Скалярное произведение:

представляет собой магнитный поток через площадку dS.

Суммируя элементарные работы при перемещении всех элементов линейного проводника с током, результирующая работа, совершённая при элементарном перемещении всего проводника:

где – магнитный поток через всю поверхность , описанную в пространстве линейным проводником при его произвольном элементарном перемещении.

Если при движении проводника ток в нём поддерживается постоянным, то из равенства для dA следует универсальная формула для расчёта механической работы при произвольном конечном перемещении проводника с током в магнитном поле:

Отсюда следует, что для расчёта этой работы A нужно всего лишь подсчитать магнитный поток через поверхность, которую описал проводник в пространстве при своём движении.

Используя эту формулу, можно вывести формулу для расчёта работы, совершаемой при произвольном перемещении в пространстве замкнутого проводника (контура) с не изменяющимся во времени током .

Рассмотрим случай, когда плоский замкнутый контур с током перемещается в плоскости, совпадающей с плоскостью контура:

Разобьём контур на два участка: проводник CaD и другой проводник DbC. Так как направления токов в этих проводниках противоположны, то при перемещении контура в магнитном поле силы, действующие на эти участки контура, совершают работу противоположных знаков: при перемещении проводника CaD это работа:

а при перемещении проводника DbC: