03_Ряд распределения (Лекции)
Описание файла
Файл "03_Ряд распределения" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 02_Случайные величины (общая теория). Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "03_Ряд распределения"
Текст из документа "03_Ряд распределения"
§3. Ряд распределения
Составить закон распределения для случайной величины X - числа гербов, выпавших при бросании трех монет.
Случайная величина X - дискретная. Ее возможные значения :
{ 0, 1, 2, 3 }.
Запишем ряд распределения для этой случайной величины, т.е. , каждому из возможных значений сопоставим вероятность того, что случайная величина примет это значение:
p i = P( X=x i).
Вероятности будем подсчитывать по классическому определению. Для этого запишем все возможные исходы опыта, заключающего в бросании трех монет.
( герб; герб; герб ) ; ( цифра ; герб; герб ) ;
( герб; герб; цифра ) ; ( цифра ; герб; цифра ) ;
( герб; цифра; герб ) ; ( цифра ; цифра; герб ) ;
( герб; цифра; цифра ) ; ( цифра ; цифра; цифра ) .
Общее число исходов опыта равно 8 . Число благоприятствующих исходов для каждого из возможных значений подсчитываем по приведенному списку.
Ряд распределения оформляем виде таблицы :
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 | ||
| p i | 1 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 1 / 8 |
Должно выполняться основное свойство ряда : сумма всех вероятностей действительно равна 1 .
Ряд распределения.
(для дискретных с.в.)
Ряд распределения - это перечень возможных значений с.в. и вероятностей этих значений.
Форма представления ряда:
А) таблица
| ХI | Х1 | Х2 | ХN | |
| PI | P1 | P2 | PN |
Р2=Р(х=х2)
Б) граик
PI
P1
X1 XI
В) аналитическая функция: Х: Х1 Х2 Х n pi=f(i)
Вероятность каждых из этих значений задается одной общей формулой.
Например: с.в. Х – число
| ХI | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| PI | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Pi = 1/6
PI
1/6
1 2 3 4 5 6
Основное свойство ряда распределения.
С
обытия Х=Х1 Образуют полную группу попарно несовместных
Х=Х2 событий.
……. Следовательно:
Х=ХN
Р1 + Р2 + … + РN = 1 (1)
∑РI=1
Например составить закон распределения для суммы очков на двух кубиках:
С.в. Х – сумма очков на двух кубиках (дискретная с.в.)
| ХI | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| PI | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
∑РI=1
п=36
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Если закон распределения задан – можно прогнозировать поведение с.в., предсказывать вероятность того, что она попадет в тот или иной интервал.
Например:
| ХI | 2 | 5 | 7 | 9 | 11 | |
| PI | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
-
Р3 - ? Р(х=7) = 1-(0,1+0,3+0,2+0,1)=0,3
-
Р(х=3) = 0 = Р(V)
-
Р(х=11)=0,1
-
Р(х<6) = Р((х=2)+(х=5))=Р(х=2)+Р(х=5)=0,4
0 2 5 6 7 8 9 11 х
-
Р(х>8)=Р((х=9)+(х=11))=Р(х=9)+Р(х=11)=0,3
-
Р(П<х<3П)=Р(х=5)+Р(х=7)+Р(х=9)=0,8
Общая формула
Р(α<x<β)=∑pi
α<Xi<β (2)
Дискретная случайная величина задана рядом распределения.
Необходимо:
-
Записать пропущенную вероятность.
-
Подсчитать вероятности попаданий в указанные интервалы.
-
Записать значения функции распределения в указанных точках.
-
Записать функцию распределения при любых значениях аргумента, построить ее график.
-
Вычислить числовые характеристики случайной величины.
| x i | -11 | -8 | -4 | -1 | 2 | 5 | |
| p i | 0,3 | 0,05 | 0,25 | 0,1 | 0,2 |
-
Записываем пропущенную вероятность. Используем основное свойство ряда
распределения :
. Отсюда получаем :
p 2 = P(X= -8) = 1 - (0,3+0,05+0,25+0,1+0,2) = 1 - 0,9 = 0,1.
Вписываем это значение в ряд распределения :
| x i | -11 | -8 | -4 | -1 | 2 | 5 | |
| p i | 0,3 | 0,1 | 0,05 | 0,25 | 0,1 | 0,2 |
-
Подсчитываем вероятности попаданий в указанные точки и интервалы.
P(X=-2); это вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное (-2). Но она может принимать только значения, указанные в таблице : (-11, -8, -4, -1, 2 и 5 ). Значит событие (X=-2) - невозможное, и его вероятность равна нулю : P(X=-2)=0 .
P(X=2) = 0,1 ;
P(X<-2) ; это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее (-2). Это может произойти в случае, если она примет значение , равное (-11) или равное (-8) или (-4) (только эти три возможных значения меньше (-2) ). Таким образом, событие (X<-2) можно представить как сумму трех несовместных событий :
(X<-2) = (X=-11) + (X=-8) + (X=-4).
Соответственно и вероятность этого события равна:
P(X<-2) = P( (X=-11) + (X=-8) + (X=-4)) =
P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) = 0,3 +0,1 + 0,05 = 0,45 .
Рассуждая каждый раз таким же образом, приходим к выводу, что для дискретной случайной величины вероятность попадания в какую-либо область равна сумме вероятностей тех из возможных значений, которые попадают в эту область:
P(X>0) = P(X=2) + P(X=5) = 0,1 + 0,2 = 0,3 .
P(-3<X<4) = P(X=-1) + P(X=2) = 0,25 + 0,1 = 0,35.
P(-5<X<5) = P(X=-4) + P(X=-1) = 0,05 + 0,25 = 0,3 .
3). Записываем значения функции распределения в указанных точках.
По определению, функция распределения - это функция F(x) , которая при каждом значении аргумента X равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента): 
Поэтому, F(-3) = P(X<-3) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 = 0,45;
F(0) = P(X<0) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7;
F(2) = P(X<2) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7;
F(4) = P(X<4) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) + P(X=2) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 = 0,8;
4). Записываем функцию распределения для всех значений аргумента x.
При - < x -11 F(x) = P(X<x) = 0 ; (слева от таких значений x нет возможных значений случайной величины)
При -11< x -8 F(x) = P(X<x) = P(X=-11) = 0,3 ; (слева от таких значений x только одно возможное значение , равное (-11) )
При -8<x -4 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) = 0,3 + 0,1 = 0,4 ;
При -4<x -1 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 = 0,45 ;
При -1<x 2 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7 ;
При 2<x 5 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8)+ P(X=-4) + P(X=-1)+ P(X=1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 = 0,8 ;
При 5<x + F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1 ;
В последнем случае все возможные значения случайной величины лежат слева от аргумента x . Попадание в область (5<x) - достоверное событие.
Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления вероятности. Окончательно получаем :
Теперь рисуем график функции распределения F(x):
-
Подсчитываем числовые характеристики случайной величины:
Математическое ожидание m x (оно же среднее значение случайной величины):
Мода - то из возможных значений, которое имеет наибольшую вероятность
