Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 41

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 41 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 41 - страница

Задача сводится к разложению некоторых функций в ряд по системе функций .7«(д„", т/Н) (еп = 1, 2, ...). В силу (36) коэффициенты а«, разложения а)=Й г ('-„'') ««=1 определяются формулами и озуз ( (М) / если: 1) У(1) =82+1; 2) У(1) =81п1+с(жй 20.22. Найти решение смешанной задачи 1 ии = и«з + — и«, 0 < х < 1, и! =з = д(1) и!ь«о = ио(х), )и! -о! < оо, если: 1) д(е) = 81п е, ие!а«о = из(х)> ио(х) = — [1 — — ~, 2 зо(2) ио(х) = —, до(2х) Хо(2) ' и(.)=О; ие(х) = О; 2) д(8) = со821> 20.20. Решить задачу о свободньсс колебаниях однородной круг- лой мембраны радиуса В, закрепленной по краю, в следующих слу- чаях: 1) начальное отклонение определяется равенством и~а«о — — А,Уо(~— ""), где до — положительный корень уравнения Д~(д) = 0; начальная скорость равна нулю; 2) начальное отклонение и начальная скорость зависят только от т, т.е. и)е-о = у(т), и~(е-о = г(т); 3) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная скорость равна нулю.

20.21. Найти решение смешанной задачи 1 иее = и„+ — и* + у (8) Ло(азах), х где да — положительный корень уравнения,уо(д) = О, 0 < х < 1, и)*=з = и!и«о = ие!8=о = О, )и1е-о! < со, В 99. Метод роэд7ененне переменных 251 3) 9(1) = 1 — 1 ио(х) = Уо(7ддх) — 1, где Удд — положительный корень уравнения Уо(7д) = О, ид(х) т 1.

20.23. Найти решение смешанной задачи им + У(Ф) = и„+ — и„О < х < 1, 1 и(,— д — — 9(С) и(с=о = ио(х), ие~е-о = ид(х), если: ио(х) = 1 — —, .Уа(х) ,Уо(1) 9(е) = ио(х) =1, 2) У(В) = вднх, если: 1) ио(х) = Яд(Удох) + Уд(Удтх), ид(х) = 0; 2) ио(х) = Уд(удех), ид(х) =,7д(р х). Здесь ~ц, и Уд — два различных положительных корня уравнения Уд(7д) = О. 20.27. Решить смешанную задачу ип = и„+ — и, — — + е Уд(7дех), 1 и е х где Уде — положительный коРень УРавнениЯ,7д(7д) = О, О < х < 1, ид(х) = О; 3) у(Ф) = -2сов21, 9(Ф) = ид(х) = О, ио(х) = — 1 а — 11+ 2 ~ Уо(2) +,Уо(7ддх), где Удд — положительный корень уравнения,Уо(7д) = О.

20.24. Решить смешанную задачу 1 и + — и = нее+и, 0 < х < 1, (и1*=о( < со, и( — д тсов21+вдп31, ,7о (хд/3) З.Уа (2хд/2) Уа (д/3) Уа (2д/2) 20.25. Решить задачу о колебаниях однородной круглой мембра- ны радиуса В, закрепленной по краю, если зти колебания вызваны равномерно распределенным давлением р = ро вшадд, приложенным к одной стороне мембраны.

Предполагается, что среда не оказывает со- противления и что од ф ~", где 7д (и = 1,2,...) — положительные корни уравнения Уо(уд) = 0 (нет резонанса). 20.2И. Решить смешанную задачу 1 н пи=не + — и —, 0<х<1, )и(,=о! < оо, и(,=д = О, и(е=о = ио(х), не~в=о = ид(х), Гж 71. Смеисаиная зодочо 252 !и!е=о! < оо, и!е=с = и1с=о = ис!с=о = О. 20.28. Решить смешанную задачу 1 исс=и, + — и,— —, 0<хс1, х * хг' и!с=о = О, !и1,-о! < оо, и1,— с = зш2$ созз, ,Ус(х) 3 Ус(Зх) ис1,=о = — + — —.

2,Ус(1) 2 Ус(3) ' 20.20. Решить смешанную задачу 1 4и иа —— ие,+ — ие — —, 0<я х хг' и1= 1<, и1.= =о, <1, если: 1) У(С) =0 2) У(С) =созг. 20.31. Решить смешанную задачу 1 9и ии — — и„+ — и, — —, х хг и!е-с — — О, 0<к<1, ис!с=о = Уз(Уссх)> !и! =о! < о где ссс — положительный корень уравнения Уз(д) = О, и!с=о = ио(х), если: 1) ио(х) = 0; 2) ио(х) = Уз(Уссх).

20.32. Решить смешанную задачу 1 9и ии = и„+ — и* — — + У'(г),Уз(Сссх), 0 < х < 1, х хг !и!.=о! < оо, и!., = и!с=о = ис!с=о = О, где рь — положительный корень уравнения,Уз(сс) = О, если: 1) У(г) =е с. 2) У(1) С 1г ! ис!с=о = если: 1) ио(х) = из(х) = Уг(усзх); 1 3 2) ио(х) = — Уг(усох), ис(х) = —,Уг(сц,х). 1 2 Здесь сц, — положительный корень уравнения .Уг(Сс) = О. 20.30. Решить смешанную задачу 1 4и ии = и„+ — и, — — + У(С) Уг(Усгх), 0 < х < 1, ее е где усс — положительный корень уравнения Уг(,и) = О, !и1, о! < оо, и!.=с = и!с=о = ие! =о = О, 253 З" ЮО. Метод разделения нерененнмз 20.33. Решить смешанную задачу 1 (хи,),=ии, Осх<-, 4' 1и1,=о1< со, и)е д/4 —— О, и!д=о = 7о(27ддд/х), ид!д=о = О, где 7дд — положительный корень уравнения 7о(1д) = О. 20.34.

Тяжелая однородная нить длиной 1, подвешенная за один из своих концов (х =!), выводится из положения равновесия и отпус- кается без начальной скорости. Изучить колебания нити, которые она совершает под действием силы тяжести; предполагается, что среда не оказывает сопротивления. 20.35. Тяжелая однородная нить длиной 1, закрепленная верхним концом (х = 1) на вертикальной оси, вращается вокруг етой оси с постоянной угловой скоростью ад. Найти отклонение и(х, 1) нити от положения равновесия.

20.36. Решить смешанную задачу идд — — (хи ), О<х<1, !и!а=о! < со и*!*=д = О и!д=о = О, ид!д=о = 7о (7дьд/х), где 7дд — положительный корень уравнения,7д (дд) = О. 20.3У. Решить смешанную задачу идд = хи„+ и, + /(д) 7о (ддд/х), 0 с х < 1, !и!*=о! < со, и!ад = и)д=о = ид!д=о = О где ддд — положительный корень уравнения,7д(7д) = О, если: 1) 7(д) = д; 2) Дд) = зш 20.38. Решить смешанную задачу ии = низе+из — —, 0 < х < 1, !и!е=о! < со, и1, д — — О, и1д-о = О, ид1д=о = 7г(ддьд/х), где 7дь — положительный корень уравнения,7г(7д) = О. 20.30. Решить смешанную задачу 9и ии =хи,е+и,— —, 0<х<1, 4х' !и!*=о!< ос, и1 =д = О, и1д=о =О, ид)д=о = 7з(7ддд/х) где ддд — положительный корень уравнения,7з(7д) = О. 2.

Уравнения параболического типа, а) Задача о распространении тедди в тонком однородном стержне 0 < х С 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы х = 0 и х = 1 поддерживаются ддри нулевой температуре, приводится к решению уравнения теплопроводности ид = и иее (1) при граничных условиях 254 Га У1.

Смешанная задача и),— о=О, и),-1 = 0 (2) и при начальном условии иЬ=о = ио(х). (3) Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (1) в виде и(х,$) = Х(х) Т(1). (4) Подставляя и из (4) в (1), получаем два уравнения То(1) + а ЛТЯ = О, (5) Х"(х) + ЛХ(х) = О. (6) Зля нахождения нетривиальных решений уравнений (1) вида (4), удовлетворяющих граничным условиям (2), нужно найти нетривиаль- ные решения уравнения (6), удовлетворяющие условиям (2). 1(ля значений Л, равных (см. 3 20, п. 1) Л„=( — ",)' ( =1,2,...), и только для этих значений, существуют нетривиальные решения Х„(х) задачи (б), (2) и при этом Г2 .

явх Х„(х) = ~( — з1п —. Ч1 Значениям Л = Л„соответствуют следующие решения уравнения (5): Т (1) — а е (кекдб Ф 2 г . я их а = — ( ио(х) зш — ~(х и — 1 / о пьа б) Задача о температуре однородного стержня длиной 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно постоянные температуры и~ и из, сводится к решению уравнения (1) при начальном условии (3) и граничных условиях вида Тогда функции и„(х,г) = Х„(х)Т„(1) =а„е 1~"~Д1 'зш удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных а„.

Решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (3), ищем в виде формальною ряда и(х,г) = ~ ~и„(х,8) = ~ ~а„е 1"" Д1 'зш —. (7) а=1 пьа Из (7) и (3) находим ОО ! квх ио(х) = ~~~ а„з!и —, где г МО. Мепьод разделения ееремемнеее 255 и*]*=о — Ьг [и]е=о — щ] = О, ие]еая + Ьг [и],-е — иг] = О, (8) Х„(х) = — соз — х+ Ьгзш — х. И И и ю(х,г) = ~~~ А„е ' ""'Х„(х), е=1 где коэффициенты А„находим из начального условия (12), используя ортогональность функций Х„(х) на [О, 1]: А„= — у ио(х) ~ — соз — х + лг зш — х) Ах, Г /дв рп ~4п п — ])ф ]]г / о г ]]Ф„]]г = )( (Р"' соз ~" х+ Ьг з1п — "" х) е(х.

о гдейг>0, Ьг>0. Если лг = лг = О, то условия (8) принимают вид ие]*=о = ие]е=ю = О. (9) Условия (9) означают, что концы стержня теплоизолированы. Решение задачи (1), (3), (8) ищем в виде и(х, е) = о(х) + ю(х,е), где о(х) — решение уравнения (1) (ие(х) = О), удовлетворяющее гра- ничным условиям (8). Уравнение о"(х) = 0 имеет общее решение о(х) = Сгх+ Сг.

(10) Определяя Сг и Сг из условий (8), получаем (11) л +л +а 81' 1 Функция ю(х, г) удовлетворяют уравнению (1), начальному условию в]е=о = и]е-о — е]е=о = ио(х) — е(х) = йо(х), (12) где о(х) определяется из формул (10), (11), и следующим однородным граничным условиям: (в, — Ьгю)е о = (ю, + )егв)е=~ = О, (13) Решая задачу (1), (12), (13) методом разделения переменных, полу- чаем в„(х,г) = А„е ' ""'Х„(х), где Лг = "г",,и„(п = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Гл. 17.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее