В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 37
Текст из файла (страница 37)
18. 49. Найти и(хм хз,хз) — плотность диффундирующего вещества при стационарном процессе при условии, что источники вещества отсутствуют и коэффициент диффузии В = сопзз для следующих областей С и граничных условий и)я: 1) хз > О, и)зз-о =ио = сопзЗ; (-1, хз (О, г) х,>О, и).в=о=1 *= -1+1, х,>0; 3) хг, хз > О, -оо < х1 ( со, и)я = ио = сонэк 223 1 18.
огео)од лоо)оиииоооо 18.56. Решить задачу Ьи — И и = — ~(х), и)!,!-л = иг, (х) внутри сферы !х! = В для следующих у и иг, . 1) у =Д=солзз, ие =О, й=В=1; 2) 1 =1, иг, =1-2е з))1, й = В=1. 18.57. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра радиуса В, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация ио. Ответы к 318 18.3. Р е ш е н и е. В силу формулы (7) из 3 8 и определения простого слоя из 36 (г,и) = ()) Фог Ыми)Ф) 'и)) = !,! (р)(у)йз(Ю г!Ь)р(с+Я) = )' )г) ( ~ Р Ь) я Ы .' о) и ) "г = )' ()' ),"'"'„, ~г ) ж)*) ь.
18.5. 1) В силу формулы (5): 4яВ, !х! < В; 4яВз/!х!, !х! > В; 2) — 2я!пВ, )х! < В; — 2я!л)х(, )х! > В. 18.6. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (3) и ввести сферические координаты. л )о! Я 1) — ~р(т)тзг)т, !х! > В; — / р(т) тзй'+4я(р(т) тг!т, !х! > В; !х! !х! 2), !х! > В; 2яВзро — — и!х!~ро, !х! < В; 3) ~ !х! > В, ~ (4Вз )х)з) (х! < В. 3 Вг) 5) ~ ~, !х! > В; 3— (7Вз! — 2!х!з)'), !х! < В; 7(х! ' ' 35 Р е — л(2+2В+Вз)~ !х! > В. !х! (*! 7) — ( — агс18 В), )х! > В; 4я 1 — ~ + )л —,, !х! < В; 224 Га.
1г. Краееээе задачи дан уравнения зн випигичеекого и»ииа 8) 4»г ~~2 — Вг) сов — 2(1 — В21пВ)~, !х! > В; !х! 4гг ~ — (соя !х! — 1) + ип !х!+ вгп — Всея В, !х! < В; 12 1!х! 9) — !2ВсовВ+ (Вз — 2) я1пВ], !х! > В; !х! 4»г сов!х! — +ВяшВ+совВ, (х! < В; 2вгп !х! !х! 10) ~™ (121п2 — 5), !х! > В; 9!х! — !!т — +3В2-!х)2~ 1п ~1+ ! ! ~ + — !х!2+ 2!х!( — 3) — В21, !х! <В.
2ВН 'э 18.7. 1) 2т(В22 — Вэ)ро, !х! < Вг, 22Взро — -ггро !х!2+ — '), !х! ) Вг < !х! < Вг' — (Ва — Вг)1 !х! > Вг,' 3!х! Яэ 4 Яэ 2) 4х / р(т)тй; (х! < Вэ, — / р(т)гэй +4гг / р(т)т»1г, ' !х! Я» Я1 !з! Яэ В» < !х! < В2, — 1' р(т) гэй; !х! > В2. Я» 2 Вэ'» 4 4С(В 2В) (Вэ 2 2 2 9 15 эг 7 1'э)' ' 16 15 70 /' г < В, С вЂ” коэффициент пропорциональности; 3'' — ' 3 г 3) 0; 2ВЗ 2Н э 2н 4) — ~ (~)1 >В (В2-'— ') /~(~) ! <В о о 199.
Г»Н вЂ” С»Н»~Я-*) 9* 99 9Ч9Н вЂ” »НЮ-.'- -,Н*~ !Н-~»Уа'~»Н--*П»)-Н'Н!-~+»ГН*9З)!. Я 2л 18.10. 1) ~ / р(гг) 1п тг й»йр; гэ + т, — 2гт» сов (а»1 — »р) Вэ тэ» 2) — ЯВзре !п г, т > В; -тра(В2 1п  — )), т < В. Решение. Пусть т > В. Тогда Я 2»г 9(.,9) =»9~.,9.,~ ~» —,-» 1 1 ~9„= о о 1+(т") 2 ~' совМ Ф) так как = -ггроВ 1пг, 225 2 И. Метод потенциалов 2и 2иГ Л о о о = !" [Ян,"'„„, о]аг = 21г оо Ли = — 2 ~ [е — (и — П]ги = О, п о и=2 где Л = — < 1. т 3) — - ггВ2 !пг, г > В; — (Вя(1 — 31пВ) — гв!', г < В; 4) — ~ Вл!пг, г > В; ~ [Вл(1 — 4!пВ) — '41, т < В; 5) — 2п '11 — (1+ В) е й! 1п г, г > В; — 2в е "— е и+1пт — (1+В)е и!пВ+ 2 — Игл, г< В; та г 6) — 22г!пг!пл/Г+Вв, т>В; — 2в !ВВ!плlГ+В2 — — ( ' йл, г< В; 1 г!п(1+та) 2/ та 7) — — вВв72!пг, т > В; — 42г [В~l~!иВ+ 2 ( ~/2 — Ввl )~, г<В; 8) 22т(В сов  — яш В) 1и г, г > В; г в!пта 22 В!ВВсоз — !ВВз!ВВ+з!пг — вшВ+ ! й',, т<В; та г 9) 22 !пт(1 — Вв!В — созВ), т > В; й 22г 1иг — 1пВ(ВВ!пВ+совВ)+спят — совВ+ / — 'Йл, г<В; га г 10), т > В; и ~т — — ~ вш!р, г < В; ггйа и!и аг т 2т''! .
Зг иЯа сов аг / 2та Зт яа ви !яа та яа 12) — — !пт~р(байр, г>В; 1 — — 1пВ] ~р(р)гор, г<В. о о З. Пад аеа. В.С. Виааииироаа 226 Гл. К Краевые задачи длл уравнение эллиитлииесноео глина 18.11. Ук аз ание. См. решение задачи 18.10, 2). Яг — гг д 1) ЯроздВд Вгз) )пг, г>Вг,' Яро Вдз1пг — В4)пВз+ Вд < г < Вз, дтро ~Вд1пВд — Вз1пВг+ дз г < Вд, 2 2 Яг Вд пг дз «и, з) -з 1 /ргзз*, )г; -з ~з др(л*з*з /з(*)*з *з), дз пз дг Вд < т < Вз, — 2я ~ р(х) х 1п х д)хз г < Вд, Пз 18.16.
г~, )х~ > В; 4яддоВз )х~ < В. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (5). 18.17. 1) ~1+ — ), г > В; -яВС ~1+ — ~, г < В, 4зтВ'С / 2Яг'1 4 з' 2г д Зт д, Згг ) 3 ~, ЗВг,~' С вЂ” козффициент пропорциональности; Я ( ( — Я)',,/ + /Я') з д, 2дт'тЯ,~р — дтЯ( нЯ ( В зт Я)г 1п д'Я+ ГтЪ (В г ~"+ 2,/гЯ Яз/М вЂ” д~г/' 3) — (е' — 1), г > В; 2В(е — 1), г < В. 2яг г 18.18, 1) 2язио (~/я~+ Во — хз); 2) яВ (хоз+ Вз — яхз)п ~хг! 4и /Яг д 3 зг з) '— ,'~*Дз~"— ,-*',),лззг~; О (зцзг -Н,~) Д'Щ)зг. о — г+ (В +.
2» з) г~з 'дн —,'-,/е зон-* 'з ) — з ~-* -:-за з* )~ д зЗз)зз. о 18.20. О, ф > В; — 4ядзо, )х~ < В; — 2яио )х~ = В. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (5). 18.21. 1) —, г >  — — т <  — — г = В 4ийг Ззгг 2зт Згг ЗЯ' ' 3' 2) — ~ — Зг+ (В+Зг)~1( — — ~/-( 1и ~, т > В; л / тт- /Я'д дУт+ IВ1 2г' ~ ~ЧЯ Ч ° (,Р- ~В1' —; ~г — з,.|в~ з ЗД вЂ” зЯ г 228 Гл. !г. Краевые задачи длл уравнение зллиннгичеекого таина 3 ) -х агсд8 — +згсд8 — ~ + — 1п, уф.
0; а — х а+х! у (а+х) +у у у ~ 2 (а — х)з+ уз' 0 при у = О; !пп !гз (х, у) = ~хи, у — + хО, — а < х < а; 03 4) (у -х )~агсд8 — + агсд8 — у + ху 1п , у ф 0; ,/ а+ад (а+ а) +уз (а — х)з+ уз' 0 при у = 0; 1пп гз! 1(х, у) = ахах, у — о х0, — а < х < а. 18.28. 1) — ег"и! / тр(т) в!пйгдг, (х) > В; й!х! о !е! М й!х! — е'"!*! ~ гр(т) вшйтг(т+ в!пй!х( / гр(г) еелгг!г, (х( < В; о )е! а [вдпй!х1( — гВ+ -) е — !х(~, !х! ( В! 3) — ед !*! ~- — (з!пй+ йсозй)+ 4дгр до ( Яе 'г Щ ~( й+1 +„'„, рга-.-* -ц-в-он-" 'г!), >ада; — — '!е гсов(1 — /х!) — 2е 'зш(1 — ф) +дед<*! — дг5е8!з>+д+дл "вдов!1, 2ггрог !х( (х) < 1, й = В = 1.
18.28. — 'е'~!'!!ВдсовйВд — ЯгсовйВз+ ' '~! !х(>Вз. йз!х) йз!х! Р зцдй!х) ! !Ваедопз + гВдегупг + (едзпз едопг)) )х((Яд. 4ггро < дз з!пйЯд йз!х! [ — ! ед 1*! ! Вд соз йВд — )х( сов й(х) — — + д(х( з!п й)х!) + й +его *( „— !Воз!пй!х))~, Вд (!х)(Вз. 18.30. 1) — Ро ед~~ ! з!п йВ, !х( > В; — Ро е'"дд в!п й!х!г !х( < В; 2) — ее*"!*!!Всовй — — в!пйВ! )х! > В; Я й l' — ~едва(дВв!пй!х( — — з!пй!х!), !х( ( В; 4и о гоп ргЯ Я 1 — ег ~ — зшйВ+ — сов й — — впг йВ), !х~ = В. я дг 2 й З 18. Ме2аод пол2емаиалоо 229 4ле ММ 18.31. 1) ( гр(т)ОЬИгйг, 1х~ > В; 0 1л! Н й(х) 1 е-ьlо/ ~ гр(г)ОЬйг,(г+з),й~х~ ~'гр(г)е- т,(г ф < Я.
0 Ф 2) —,РО е мв1 (ВОЬН — — ОЬНЯ), ф > В; 4лро [~ ~ (В+1) ЬН)й~ ~~ ~ ~<Я 3) — е 1н+илй(йсЫсЯ+ОЬЩ+ е "1Н+1*9, (й+1)2 ф >В, йф — 1. 18.32. 1) — ~~е о<*~вЫсВ, !х~ >В; — ое "нзЬИ~х~, !х/ <В; й!х! ' ' х1х! 2) — о е "<'>(ВОЬН — — ОЬЬЯ1, /х/ > В; — е ~йсЬИЯ вЂ” (Я+ -) ОЬЙВ~, 1х~ =В; — — ~е ьн ~В+ -) зЬй/х/, |х! < В. 1 ф х 18.35. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (1), (92) и (4) из 18. 1 ~х( -Я ""~о~=н Ь!=н 18.36.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 18.35. г Я 1) ио, г<Я; но> г>В; 2) — з1пу, г<Я; — з1пу, г>В; 3) — соз у, т < В; — соз 10, г > Я; т Я 18.37. 1) Решение. Задача 11и(х) = — —, )х( < В; и)~,~-н = 1о й' = но = О, где х = (хмхз) и й — коэффипиент теплопроводности, подстановкой н = о + Уз, где 1 1 Уз(х) = — зо!П ~(22 Фз~ ~о~Яд сводится к задаче 210(х) = О, )х! < В; е!~,~ н = (и — Уз) 1~ ~ — н. В силу задачи 18.11, 2) имеем 230 Гл. т'. Краевые задачи для уравнение зллиптичесноео таина )гз(г, 1о) = ~~ " — В2 1П В, где (г, у) — полярные координаты точки х.
Тогда из формулы задачи 18.35 следует )т(г, у) = — о В 1п В. Итак, и(т, р) = и + 1'2 — — — о х х (В2 — г2). Вз ге В~ — т 2); 3) о+— 9« ' 16« -д -т д е-о 4) — в)п вз + — ~е — е " + 1п  — 1и г — ~ — е(р; В «~ Р и . 5) — сову+ — ~гйпт — 21пВ+ ( — 4р; В Р т (2 ) + (2«3«) 7) — сов (р — -) + ( — — — ) сов у. 18.38.
Указание. Решение искать в виде потенциала простого слоя (см. формулу (6)). Затем воспользоваться формулой (2) и условием разрешимости задачи / и~ (у) 482 = О. 1 1 т=н / и1 (у) 1п — еЖз+ сопев, ф < В; х = (хыхз); Ь~=д / и,+(у) 1п (х — у)482+сопев, 1х) > В. !И=л 18.39. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами задачи 18.38. 1) Неразрешима, так как ~ и2 ~И ф О; т=д Вз 2) гв1пао+сопвв, г < В; — — 21пу+сопвФ, т > В; В2 3) гсов р+сопвв, г < В; — — сов~р+сопвв, г > В. г 18.40. Указание. Задача Ьи = — —, т < В, — ~ = и~ ди! ' дп~,=л подстановкой и = и + )тз (см.
решение задачи 18.37) сводится к краевой задаче 22и = О, т < В, — ~ до 1 д(и — Уз) ~ ' дп ~ =д дп ~г=д /Вз — тз 1) — ~ — — В 1пВ +сопев; 2) — ( — т — ЗВ 1пВ)+сопвФ; 3) 1ПВ1П~/Г+Вз — — (" Ир+сопвв; 1 ".1 (1+рз) 2/ р г Я 18. Мешод аошеяиоааое 231 2 г 2 г ~ 4) г+ -г — — ) в(п<р+ сопв$; 5) (г+ — гВ- — ) совзо+ сопвФ.
3 3) 3 3) 18.42. 1) — о агсз8 — + агсз8 ~; х 1 У х) оо / мв~оо х1 у 2) — я+ — +агс18-) при — = 18 ~ро, 2я~ х у) х я (уз -хз) сов уо — 2ху вшазз я х — (х + Р(х, У, (оо)) пРи —" > 18 зоо. я х 18А3. — ) ио(у)НЯо, ф (В; ~з~=н )х)з — Вз / и (у)с(Я„, ~х) > В. ~з~=л 18.44. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.6. Вз — гз 1) — (Вз — гз); 2) а+; 3) О.
18.47. У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задач 18.45 и 18.46. В'а — —, г > В; в области г < В задача неразрешима. 18.48. *3 / "(У) дя ' Г цз(У) дд '2я 1 ~х у~з з 2х У ~х у~ о. з,=о о,=о 18.49. 1) ио, 2) — агс18 —; 3) — ~ — + агой — + вгсф8 — !. 2 хз ио /я хз хз1 хз хз! У к а з а н и е. Решения задач ищем в виде потенциалов двойного слоя (ц д еззш Ы и(х) = у'('~(х) = / «(у) — с(оз. (*) диз )х — у) г=л Искомая плотность находится из интегральных уравнений (В г д е'з~ наг=и= $гй (х) = т2я«(х)+ / «(у) — — аЯз зза, хе(г=В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
