В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е 15.18. 1) у(х) = / С(х, с) Дс) е(с, 1 (х + 1п х — 1) (С + (п С), 0 < х < С, где С(х,с) = (С + 1п С вЂ” 1)(х + 1п х), С < х < 1; 71 111 г — — — 1<х<с, 2) у(х) = ~С(х,с)У(с) е1с', где С(х,с) = 1 (1 — 1 1 ~«1. ег г1 5 1б. Метод роэдеоениа переменные 193 1 п~х~ — х, — 1<х<~, С(х,с) = 1пф — ~, с<я<О; 3) у(х)= ( С(х,с)Дс) Щ, где -1 е/2 4) у(х) = / С(х,4),Я)еЦ', о где С(х,с) = — ($6 — + 1)(1 — 16 — ), 0 < х < с, -(46 -+1)(1 — $6 -), ч < х < —, х — 1<х<е, С(х,с) = ~2 — с < х < 2.
5) у(х) = ( С(х, (,') Дс) 45, где 1 В 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона и принимающую заданные значения на границе круга, т. е. М.=н = Пр). Уравнение (1) в полярных координатах (г, ао) имеет вид Ищем частные решения уравнения (3) вида = г(,) Ф( р). Подставляя (4) в (3), получаем Ф"(~)+ЛФ(р) =О, (2) (3) (4) (5) д I дЯ'а г — (г — ) — ЛЯ = О. дг ~ дг) (6) Так как и(г, у+ 2я) = п(г, ао), то Ф(у+ 2я) = Ф(~р), и из (5) находим з/Л = и (и целое), а Ф„(ао) = А„соз гмр + В„В1п шр.
7. Паа раа. В.С. Влааммирааа 1. Краевые задачи на плоскости. Решение краевых задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник и др.) можно получить методом разделения переменных. Изложим зтот метод решения задачи Дирихле для круга: найти функцию и = п(г, ~р), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа Ьи = 0 (1) 194 Гл. т'. Краевые задачи дая уравнения вепнпшнчесного авива Тогда из (6), полагая Х(т) = г", получаем оз = пз, о = хп (и > О) и, следовательно, Е„(т) = ага+от ". При п = 0 (Л = О) из (6) находим Я(т) = Со!и г + С.
Для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Я„(т) = = агп (и = 1,2,...) и Яо(т) = С, так как т " — ~ со и 1пт — ~ — со при г — о +О. Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда т" и(г,1о) = С+ у — (Апсовпр+ В„в1пп1о), (7) плц где козффициенты Ап и Вп определяются из краевого условия (2): л л л Ап лл — ~~Я совпф сЬД, С = — ~1Я е(4э, Вп лл -~ХЯ в1ппфеЦз.
Суммируя ряд (7), получаем решение внутренней задачи Дирихле внутри круга в виде интеграла Пуассона 1 Я вЂ” г 2л,l ) те — 2Втсов(Зл — й) + Во Решение внешней задачи Дирихле ищем в виде ряда и и(т,~р) = С+ ~ — (А„совшо+ В„в1пп~р). ч В п=з Наконец, решение уравнения (1) в области Вз ( т < Вз при задан- ных краевых условиях на окружностях т = Вз и т = Вз ищем в виде ряда (.,~) = ~ (Ап.п+ ф) ~ ~~'(Вп.п+ ~„").1 ~ 1 . + К о=1 п=в 16.1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что и~ =в = У(~Р), где: ц у(~р) =соавтор; 2) ~(р) =в1п ~р; 3) у(,Р) — сове,р 4) ~(1о) =в1п ~р+сов ~Р.
16.2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса В с центром в начале координат и такую, что: 1) — ~ = Асеев; 2) — ~ = Асов2у; 3) — ~ = з1п у. дт 1г=н дт1т=н дт г=я 16.3. Найти стационарное распределение температуры и(т,у) внутри бесконечного цилиндра радиуса В, если: 1) на его поверхности поддерживается температура и(т, у)1г-и = Ав1пат1 195 г 16. Меюод разделения нерененнмх 2) на одной половине поверхности цилиндра (О < у < к) поддер- живается температура -Те, а на другой половине (-к < у < О)— температура То. 16.4.
Найти функцию, гармоническую в кольце 1< т < 2 и такую, что где: и~ ьа = ~г(р), и~т=г = Ь(Ф), 1) ~г(гр) = и1 = сопзС, Я<р) = иг = сопзС; 2) ~г(<р) =1+сов~у, ~г(р) =зш~<р. 16.5. Найти решение уравнения Аи = А в кольце Нг < т < Нг, если и)т-л, = им и)т=л, = иг (А, им из — заданные числа). 16.6.
Найти решение уравнения Пуассона Аи = — Аху (А = сопзФ) в круге радиуса Н с центром в начале координат, если и~,-л = О. 16.7. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в прямоуголь- нике 0 < х < а, 0 < у < 6, если на границе этого многоугольника и(х, у) принимает следующие значения: и~, е = Азш — У, и(,—, = О, Ь' кх и~г — е Ваш и) =ь = О. а 16.8. Найти распределение потенциала электростатического поля и(х, у) внутри прямоугольника (О < х < а, 0 < у < Ь], если потенциал вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей на оси Оу, равен ие, а три другие стороны прямоугольника заземлены.
Предполагается, что внутри прямоугольника нет электрических зарядов. 16,9. Найти распрелеление потенциала электростатического по- ля и(х,у) внутри коробки прямоугольного сечения — а < х < а, -6 < у < 6, две противоположные грани которой (х = а и х = -а) имеют потенциал ие, а две другие (у = 6, у = — 6) заземлены. 16.10. Найти стационарное распределение температуры и(х, у) в прямоугольной однородной пластинке 0 < х < а, 0 < у < 6, если ее стороны х = а и у = Ь покрыты тепловой изоляцией, две другие стороны (х = О, у = 0) поддерживаются при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью д. 2. Краевые задачи в пространстве.
Нахождение решений задач 16.11, 16.12 методом разделения переменных требует применения бесселевых функций (см. с. 247). 16.11. Найти стационарную температуру и(т, г) внутренних точек цилиндра с радиусом основания В и высотой й, если: 1) температура нижнего основания и боковой поверхности цилиндра равна нулю, а температура верхнего основания зависит только от т (расстояние от оси цилиндра); 196 Ге. 1'.
Краевые задачи даэ уравнение эееиппизческого п1ипа Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в пространстве для шара радиуса Й в случае, когда решение и не зависит от угла <р, т. е. и = и(т, д). Тогда Ьи = — — (т~ — ) +, — (з!пд — ) = О. (8) Полагая и = г(т) Ч(д), (9) из (8) получаем (10) 1 И /.
И!т'1 — — ~з!пд — ) = — Л. Ит э!в д дд <Ю (11) Ввсдя в (10) и (11) вместо Л новую произвольную постоянную и, где Л = п(п + 1), запишем уравнение (10) в следующем виде: Фг дг тг — + 2т — — п(п+ 1) г = О. (12) дтэ дт Уравнение (12) имеет частные решения вида г = т, где сг1 — — и и сез = — (и+ 1). Следовательно, г(,) = С, "+ Ст-!""-'!. (13) Уравнение (11) заменой независимой переменной по формуле с = сов д приводится к виду 2) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом, а температура верхнего основания есть функция от т; 3) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздухе нулевой температуры, а температура верхнего основания есть функция от т; 4) температура верхнего и нижнего оснований равна нулю, а температура в каждой точке боковой поверхности зависит только от расстояния этой точки до нижнего основания (т.е. от г); 5) основания цилиндра теплоизолированы, а температура боковой поверхности есть заданная функция от х.
16.12. Найти стационарное распределение температуры внутри твердого тела, имеющего форму цилиндра с радиусом основания Я и высотой Ь, если: 1) к нижнему основанию г = 0 подводится постоянный тепловой поток о, а боковая поверхность т = Я и верхнее основание г = Ь поддерживаются при нулевой температуре; 2) к нижнему основанию х = 0 подводится постоянный тепловой поток д, верхнее основание поддерживается при нулевой температуре, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
2 1б. Метод разделения переменных 197 — ! (1 — ~ ) — ~ + и(и + 1) у = О, 2 дУ д~~ (14) где у = )т" (агссоз с). Уравнение (14) называется уравнением лежанд- ра; оно имеет ограниченные на отрезке [-1, 1] решения в том и только в том случае, когда и = и (и > 0 целое). Решениями уравнения (14) при и = и являются полиномы Ле- жандра дн((2 1)и у ее Рн(0 =— 2" П! И(н Приведем формулы для РОЯ при и = О, 1, 2,3,4: Р.К) = 1, Р,К) =6 Р,(~) =-'(ЗЕ-1), РОМ) = -Я' — 3~), Ра® =-(35(4 — 30~'+3). Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в Ьз( — 1, 1), т. е.
1 2~Р„ЯР (е,)е(е,=О (п~га) и, кроме того, 2 [[Р [[2 / Р2((.) д~ — 1 Отметим еще, что всякая функция у Е Ьз( — 1, 1) разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра Дс) = ~ (у, Р„) Рн(с), н=е сходящийся в Вз( — 1, 1). Из (13), (14) находим частные решения уравнения (8) вида (9) п„(г,д) = [Апг" +В„г !"+'!~Р„(совд), где РОЯ вЂ” полиномы Лежандра. Функции и„(г,д) удобно использовать для нахождения решении уравнения Лапласа в случае, когда краевые условия заданы на сфе- ре (внутренняя и внешняя задачи) или на границе шарового слоя (Л2 < г < Лг). Решение внутренней задачи Дирихле (и других внутренних задач для уравнения Лапласа) в случае, когда краевые условия заданы на сфере г = Я и зависят только от д, следует искать в виде и(г,д) = ~~~ А„г"Р„(созд), н=е а решение внешней задачи — в виде п(г,д) = ~ В„г !и'!'>Р„(созд).
198 Гл. 1с. Краевые задачи дав уравнение злвиллсического тливо Если краевые условия заданы на границе шарового слоя В1 < г < Вз и зависят только от В, то решение нужно искать в виде и(г,В) = ~~ ( А„т" +В„г 1"+1)] Р„(совв). л=а Козффициенты А„, В„определяются из краевых условий. 16.13. Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса В с центром в начале координат и такую, что и! =и =У(в) где: 1) у(В) = сов в; 2) Дв) = совз В; 3) Дв) = сов20; 4) у(в) = в1пзВ. 16.14. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса В и (и+ и,)~„=н = 1+соззВ. 16.15. Найти функцию, гармоническую вие шара радиуса В и такую, что: 1) и„~,— л=вшзв; 2) (и — и,))„-я=выпав; 3) и„)„-л=АсозВ.
16.16, Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана для шара радиуса В, если: 1) и,~„— н = АсовВ; 2) и,),-н =з1пв. Найти соответствующее решение. 16.17. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < 1 < 2 функцию такую, что и! =1 — 21(0) и~ =2 — У2(В) если: 1) 11 — — совзв, уз = — (совзв+1); 8 2) ~1 = сснз В, ~2 = 4 сова  — —; 3' 3) Л = 1 — сов 20, Л = 2совВ; 4) ~1 = — созв, Ь = 1+сов20; 1 5) у1 — — 9 соз 20, 12 = 3(1 — 7 созз 0). 16.18. Найти стационарную температуру внутренних точек полусферы радиуса В, если сферическая поверхность поддерживается при постоянной температуре 2'а, а основание полусферы — при нулевой температуре.
16.19. Найти стационарную температуру внутри однороцного изотропного шара радиуса В, если на поверхности шара поддерживается температур а и и~,-л = к 2' и1 при 9<в< —, из при — <В<в.. 2 б 1б. Метвод разде«еввя перемевнмв 199 Уравнение Лапласа 11п = 0 в сферических координатах (г,тр, В) имеет вид 1 д / здиз 1 д /. дат 1 В~и — — — ) + — — ~в1п — ) + . — = О. (15) гт дг 1 дг) ттвшб дб 1 дб) ттвтвтб дтот Будем находить решения уравнения (15) методом разделения переменных. Полагая п(г, В, ~р) = Х(т) У(В, ет), из (15) находим г~Х«+ 2гЛ' — ЛЛ = О, (16) — ° — ~втп — ) + —,, ° — +ЛУ = О. 1 д т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
