В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказать, что при всех 1 > О, х е Я" Гж 1К Задача Коши ~2 )и(г,х)) < М(1+ 4а Й) ч ехр 1+ 4аздз 13.24. Пусть и(х,1) — решение задачи Коши из = а Ьи, и)з=о = ио(х), где ио(х) — финитная непрерывная функция. Доказать, что для лю- 1 бых Т > О, 4 < —, существует М > 0 такое, что )и(х,1)) < Ме ~*~, х б Л", 0 <1 < Т. 13.25. Пусть ио Е С(Я") и )ио(х)) < Мзед*~, где 4 > О. Доказать, что при 0 <1< —,, х б Я, функция ь,о= ' .1'"(о ч(-яьф'-*)а оо) В" принадлежит классу С и является решением задачи Коши 1 из = азии, 0 <1 < —,, ' иЬ=о = ио(х). 13.26. Доказать, что если условие задачи 13.25 вьпюлняется для всех Б > О, то функция (10) принадлежит классу С" при 4 > О, х Е В" и является решением классической задачи Коши из = а Ьи, 1 > 0; иЬ=о = ио(х). 13,27. Методом обобщенных функций решить задачу из = ази„, 1 > О, х > 0; иЬ=о = ио(х)~ и),-о = О, где ио(х) Е С(х > 0).
Ответы к 3 13 135 ц 1+ез+ — гз 2) гз+е ззшх; 2. 3) (1+8)е 'созх; 4) сЬгзшх; 2 5) 1 — созФ+ (1+41) ~~зехр 1+411' 6) (1 + 1) ~1~ ех 1+1 7) х(1+41) зУзехр1- * 1; ( 1+41) ' 8) (1+1) '~зз1п — * ехрЕ— 1+1 ( 4(1+С)1' 13.6. 1) е' — 1+е з'созх зшу; 2) 1+ — зшхз1пу(2зшг — созг+е з'); б И. Задача Коган дав уровненив тепмопроводности 167 3) в1пв+ ехр ~ — г: (1+4$)г ~~ 1+48 )' 4) -+ 1 р ! ( х у ) ехр 1 ху / й(х +уг) ( г/1 + Р 1 + гг ( 2(1 + Вг) ) 13.7. 1) — созх(е г' — 1+ 2в) + сову созве 4г; 1 2) е' — 1+ зш (х — у — л) е в', 1 . сов 2у г хг \ 3) — вш 2в+ — ехр ~ — $ — — г; Д+ 1 1+ ) )г 1 4) — соз(х — у+ з)(1 — е з') + ехр — ); й1+ 121 ( 1+ 12г )' ашв ху ! 1(хг + уг) 5) соз — ехр !-т— Л+4Р 1+4гг ( 1+4гг н ( ) г 13.8.
1) е "'соз ~,' хв; 2) (1+41) н~гехр~ — ~~ ); 3) (1+41) <н+г~1гехр! — ( ) (2 хв 1+ 4г 'ча=г " '--( — '-(.:,-Й 13.9. 1) д'(х,1); 2) б'(х — хо, Ф вЂ” Фо); ) ~г 4) ( —,, — — ") б'(х,в)+б(х,в); 4аг(г — го)г 6) —,*,', (п+2- ~*~, )б(х,1)+~~(х'); с г-гг 7) ( б'(х, т) дт; 8) / б'(х-хо,т)дт; о о 9) ~ — — ~ б'(х — хо,й)+ б(х — хо,й); Г 1х — хо!г п1 4аггг 211 с 10) ~ьэ(т) Г(х,й — т) дт. о 13.14. 1) 6(1)ж — *; 2) В(Цф — "*; Га. 1У. Задача Когаа 168 Ф вЂ” — Ф вЂ”; 4) 9(С)е' 'Ф вЂ”; — ехр — — + (х + 1) Ф— — ехр — + хф— 3) В(С) 5) 9(С) 6) 9(С) 13.15.
1) 9(С вЂ” 1)(е~ — е); 2) 9(С вЂ” и) зшС; 3) 6(С вЂ” 1)(С вЂ” 1)х; 4) В(С вЂ” 2)(е' г — 1)е*; 5) 9хС Ф( — )и; 6) чсС (Ф( — ) — Ф( — )]ю . я о 13.16. У к а з а н и е. 11ля доказательства см, задачу 13.13, для нахолспения решения см. текст перед задачей 13.5. ц В(С)( +1), 2) В(С)( г+ гС+2агС+ гСг). 3) 6(С) [хз+ х~+ 6С(х+ 2хг) + Сг(12+ х)]; 4) 6(С)(хгСз + — Сг + е*+с) 5) 6(С)(- СССг + е сяЬ х); 6) 6(С)(2з/С+ (х+ 2агС) е*"' '); 7) 9(С)[С(пС вЂ” С+ (хз1пх+ 2Ссозх) е 8) 6(С)[хсоях+ 2зшх(е С вЂ” 1)]; о) 9(С) е*(ес 1) + С е-* С(4ю) + хф ~ 10) 6(С) (2-х)еч+(х+2С-2)е*+с+х, Ге ч СС46+(хг+2С)ф( х )). 13.17.
У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 6(С) [хг — уг + ху(ег — 1)]; 2) 9(С) [(хг+уг)(С+1)+4агС+2агСг]. 3) 6(С)(хгу +2С(х+у) +4сг); 4) 6(С)(Се*сазу+е*""+г' '). 5) 9(С)хе" созе; 6) В(С)(хуС+ созуе ' '). 13,18. У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 9(С)[хегсозз+е гхуе'(е' ' — 1)]; 2) 6(С) созз[ху(1 — е ') + (хг+ уз + 4С) е г]; 3) 9(С) [хуг з!и С+ х(уг + 2агС)(гг + багге)]; 4) 6(С)[х+ уз+ гз+2а'С(1+3г)+ (хг 2уг+гг)(е' — 1)]; 5) 6(С)[з1п3х соз4уе4'(е з'+ я1пге')].
В/Э. Задача Коши для уравнениатспвопроводности 169 13.19. У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13. 16. 1) ВЯ'((1+ й)!х)2+ па21(2+ 1)~; е' п е) )(~)(к (о-:-~)ааз ч(е-~у)*.)); в=1 и е' — 1+екр па21+ ~„хв 2=1 2па21+ 2 хв ехр па21+ Я хв соз 2а~п$+ 2 хв екр 2 хз 3) 9(й) 4) 9(1) 5) 9(й) 13.20. 1) 2ее — 1; 3) е" — е'+е "созх 2) атее + сок х; 4) е'+ -еззшх; 2 2 1+ 4а22 6) /' и)($ — т) е"е(т+ — / ио(4) екр ~сс — ~ ((В.
Г (* — 6+ 52)21 2а1/н2 4а21 о — ОО 13.21. 1) — 9(8 — 1)(е" ' — 1) + 9(1) есеф~ — ~'; с ) «-и — )+() ("*"); ~, а1/21 / 4) 9(2 1)(2 1) ее+ 9(2) ев-) е(1+2+ )ф *+ ач/Б 5) 9(1 — 1)(1 — 1) е* + + 9(2) е 2' 2 — екр — + (х — 22) Ф ™ е 6) е(Й)[(*~а) '+ "/Ф) ~)ю]. ,ватт/ 13 22. 1) 9(й)(2х — х + 2(е — х + (х + й)~) е ); 2) 9(Е) Ев+Е(а +Ь.)-с) ) 1 Ест Дт /~-т о 3) 9(й) ((1 + х + 71) е*+' — (1 + й) с* 1; 4) 9(2))х($+1)ев+ешзЬ(х — 21)~; 5) 9(1)(созх+зшез)пх)е'; 6) 9(й)(1 — х + (х + $ — 1) е + (х + й) з!п (х + й) + 21 сов (х + й)~. 170 Га 1К Задача Коши 13.2Т.
— 1,о)~ *р ( —," ) — *Р (-," )) ЫР. о 3 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 1. Задача Коши для уравнения Шредингера. Для уравне- ния Шредингера постановха классической задачи Коши »с — — з~1и+ У(х,1), иЬ=о = ио(х) (1) и обобщенной задачи Коши ис = Ыи + Р(х, 1) (2) аналогична соответствующим постановкам для уравнения теплопро- воцности (см. с. 159 и 161).
Фундаментальным решением уравнения Шредингера является функция е'(х,г) = „ехр ~ — — — ). о(Г) /а!х!~ яий (2~(Я)" (, 41 4 )' Для задачи Коши (1) справедливы результаты, аналогичные тем, которые сформулированы в задачах 13.1-13.4. Будем говорить, что функция и(х, 1) принадлежит классу,У, если она удовлетворяет оценке (и(х,1)! < с(1+(х!), х Е В", 1> О, при некоторых с и Л. 14.1. Доказать, что если ио(х) Е Я(В"), то функция и(х,Г) = 1 /е Ы '<*'У>/«о(С)е'аУ)йСйу (3) — .)- У является решением задачи Коши ию = зЬи, и(с=о = ио(х); (4) и(х,1) Е Соо (1 > 0); и(х, 1) Е 5~(В") при каждом фиксированном1 > 0; для любых а и )3 функции хдР и(х,1) равномерно ограничены по хЕВ",1>О.
14.2. Пусть и(х, 1) — решение задачи Коши (4). Доказать, что для любого Т > 0 функция»(х, 1) = и(х, Т вЂ” г) является решением задачи Коши », = — 1Ь», 0 < 1 < Т; «(ьт = ио(х). 14.3. Пусть и(х, 8) и»(х, г) — решения задач ив = 1и *, и!ю=о = ио(х); (5) »а = -1»яю 0 < Г < Т, 4с=т = »о(х), б Ц. Задаче Кочбн дня других уравнения и эадочг Гуров 171 причем и(х, Ф) В,У, а функция и(х, Ф) находится с помощью формул задач 14.1 и 14.2. Доказать, что / ио(х) и(х,О) дх = (б и(х, Т) ио(х)дх.
и' и' Указание. В равенстве Т б О и(х, б) оэб (х) (иб (х, б) — ъигэ(х, б) ) б(х й = О, о -б где функция ~рб(х) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием по частям избавиться от производных функции и(х, Ф) и перейти к пределу при 5 — ~ оо. 14.4. Доказать единственность решения задачи Коши (5) в классе,У. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 14.3. Решение задачи Коши (1) единственно в классе,У (для и = 1 см. задачу 14.4). В задачах 14.5 — 14.10 рассматриваются решения только из этого класса, причем существования ии не требуется.
14.5. Пусть ио(х) 6 С"+'(В"), )х!н+з)ио(х)) < М, )х!н+')Рнио(х)! < < М для всех а, )а) < и + 1. Доказать, что решение задачи Коши (4) существует и выражается формулой (3), которую можно записать в виде эъ ч.,г= ' . (-'— "')~.,(о (н ")и. 14.6. Пусть ио(х) 6 С (В'), а > 2, ио(х) = 0 при )х/ > 1 и )ио()(х)) < М, г < а. Доказать, что решение задачи Коши (5) принадлежит классу С (б>0) и Б — и(х,б)~ < СМ(1+/х/) +" н, т = 0,1,...,а — 2, д' длявсекхЕВ', $>0.
14.7. Пусть ио(х) 6 С'"(В~), )и~~"~(х)) < С(1 + )х!)», г < а, а > 2, Л < а — 5. И пусть и»(х, $) — решение задачи Коши иб = (иню и!б=г = иО(Х) Е(Х вЂ” й), где функция е(х) та же, что и в задаче 6.4. Доказать, что решение задачи Коши (5) существует, выражается формулой 172 Га. 1у'. Задача Коши и(х,С) = ~ иь(х,С) и !и(х, С)( < С1 (1+ /х!) з для всех х Е В', С > О. У к а з а н и е. Используя результат задачи 14.6, показать, что )~ < С1(2+!й!)" С1(1+ф)»" (2+(Йо" — (1+ ~х Ц) — 2 — (1+ Щ)»-2 14.8. Пусть ио(х) е С'(В') и / (хио(х)(дх < оо. Доказать, что н1 решение задачи Коши (5) существует и выражается формулой С»-41С(зуО (+ ) + ( )) + 1 -ус/4 / Р(д / су С С5 2 ~/я Я1 о 14.9.
Пусть ио(х) = е"~*~, где а — действительное число, х Е В". Доказать, что при о > О существует решение задачи Коши (4), а 1 при а < О решение существует только при О < С < — —. Найти это 4а решение, Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7 при п = 1 в случаях а = О, х1. 14.10. Решить задачи: 1) ис =Си +Схз; и!ь»о = х ' 2) ис = Си , О < С <— 1 4 3) ис = Сш»и + х соз С вЂ” уз зш С; и(ь»о = хз + уз; 4) ис =СС1и+бх+У +Сзз и(с-о = С(х +У +з ); 5) ис = СЬи; и(ь»о = е >'~, х е В".
14.11. Найти решение обобщенной задачи Коши (2) для следую- щих Р б У'(В"+'): 1) б(С) В(х); 3) В(С) В(х+ хо), и = 1; 4) В(С вЂ” Со) ° 6(х), и = 1, Со > О. 14.12. Найти решение обобщенной задачи Коши и, = Си„+1(х,С) +ио(х).В(С) при С > 0 для следующих у и ио (у = 0 при С < 0 и задается только для С > 0): 1) у = В(х) ио = В(х); 2) 1 = В(С вЂ” 1) ио = В(1 — !х(); 1 3) ~=В(С-я) зшС, по =х; 4) ~= —, ио =созх; 5) У = В(С вЂ” 1)(е' — е), ио = х зш х. Доказать, что функции и(х, С), найденные в задаче 14.12, 3), 4), 5), являются решением классической задачи Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
