В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Найти решение задачи Коши (а при х < О, ис+ии, =О, С) 0; и!с=о = ~ ф при х>0, где а,)3(> а) — постоянные, непрерывное для С > О, )х! + С ~ 0 и непрерывно дифференцируемое вне прямых С = х/а„С = хф. 14.58. Показать, что задача Коши для уравнения Бюргерса г ис+ии, =а иех с начальным условием и~с=о = ио(х) подстановкой и = — 2аг — сводится к задаче Коши ( —...
1" "(о а). 1 о г ос=а и„, является функция и(х, С) = а>0, 2с1сг Э' (х — хо — аС)) [г описывающая «уединенную волну» (солитонное решение). Показать, что зто решение с конечной энергией ( (ис + и,) сСх < оо. 14.61. Лля уравнения Лиувилля ч исс — и„=де, д>0, проверить следующие утверждения: 14.59. Пусть и — решение задачи Коши ис+ ил = еи, и~с-о = э18пх, непрерывное при С > О, (х) + С ф 0 и непрерывно дифференцируемое при С ) О.
Показать, что это решение при е — + +О стремится к решению задачи 14.56 (теорема Э. Хопфа). 14.60. Проверить, что решением уравнения Кортевега-де фриза ссс+6ии, +и„, = 0 Гл. 17. Зодочо Коши 180 1) функция и(х,г) = )п 2д'~ [ (* *' ")1 [2 является решением при всех х и г; 2 функция 0<а<1, ) ( ) 8у'(я+Г)9'(х — Г) "д( (х+г) -9(х-ю)) является решением при любых у и у) таких, что оо, ф Е С, фф' ) 0; 3) функция (*л=-'ьл*+о+ (*-'л-' (~[/г / "'"'*л)) 8 является решением задачи Коши с начальными условиями и)о=о = ио(х) ига=о = О Ответы к 814 14.9. (1+ 4аг) "/2ехр (1+Ы) ' 14.10.
1) хо+ Гз ~-хз — 12) +зйх (12х+Р); з у оо(С)/зщ 8 2 14.62. Проверить, что ддя уравнения им — и„— — — д вши, д ) 0 функция я(х — хо — оГ) ) и(х,г) = 4агссйехр~~ з, 0 < а < 1, /1 'оз является решением с конечной энергией / (и, + и,) ах < оо. 14.63. Проверить, что решением нелинейного уравнения Шредингера зим+ и + и)и)зи = О, и ) О, является функция 2а ~р1~[2* (4 ) 1) и(х,г) = —, а> О. ш о сЬ (~/а (х — хо — оо)) В /4. Задача Коши дае других уссаенений и задача Гуров 181 3) хвспс+ хз+ уз сове+ 21(С+ в!пз); 4) с (хз+ уз+ вз) — $(6д+62 — дз — сгз) +Р(с — 32). 5) (~/Г+ 412) ехР— —, О < ат8ч/Г+ 412 < —. 1+412) ' 2 14.11.
1) 4'(х,з); 2) — с 4'(х,(); с-сс 3) (4'(х+хе,т)с(т; 4) ( 4'(х,т)сст. о е /«/(зс/С) С «/(зъ/т) 1«.1«ц — "~ '( / '" ср~/ / " ьи); («+1) /(2«/С) 2) В(С вЂ” 1)(с — 1)+ — е "/4 / ес" Ид; ~/т (х-1)/(2с/С) 3) хз + 21( — д(Ф вЂ” и)(1+ сов(); 4) 2с/с+совхе "; 5) В(/ — 1)(е' — е — се) + (хвспх+ 2сссовх) е ". с 14.15. (($ — т) /(х, т) с(т. о 14.16.
ие(х) + сис(х). с 14.17. Ве (ш(х, т) с(т. о 14.18. 11спш(х,с). 14.20. 1) схс+сз (хз 4). 2) хада 412+ ху(ес — 1 — с); 3) 3хзу22212 2 (х2+ уз+ 22) 24. 1( х 1 4)— сов — + сав†2 1,с/Т+ 42 1+ 42 с/1 — ЖС 1 — 41/ 14.26. 1) (х — 22)зе э') 2) 4 — х — 2(+ хз — 2е ', 3) ехр ~- (4х + $)~; 4) (2х + с) ехр (- х~ ); 1 5) (атеях — С) е', 6) 1 — е с+ ехр ( — х+ -Сз~; 7 1+ 14.31. ссс(х — ау) — с/с( — ау) + с/с(у), а < О. 14.32.
5 < —. а 182 Гд 1К Задача Коши 14.33. уг+ — хг(1+е "). г 2 14.34. ~ ехр (-- сгуг) с(с, е 14.35. у + ф(х) + (~р(д) — р(0) — д) е *. 14.36. у(у) + / ~'(с) е ге с(с. о 14.3Т. (1+ — х — — д! ехр ~ — (х — у)(. (2 14.38. 1+ (х + 2у) ехр (- (у — х)). 14.39. у( — ~) + ф( — ) — вг(0). 14.40. 2хг/ — д. 14.41. хг + (у — 1+ е*)г, 14.42.
ху(х+ д)г. 14.43. у. 14.44. Зх+уз 14.45. х. 14.46. /хд у+ — 1п —. 1 х 2 у 14.4Т. 14.48. усов ~™. 2у х у — сов х 14.49. — 1+ 2 сов — сов 2 2 14.50. — (х + д) . У к а з а н и е. Сделать замену и =— 1 1 2 х — у 1 14,51. 2 — у. Указание. Сделать замену и = — ю. х 14.52. —.
У к а з а н и е. Сделать замену и = — е. у х хг 14.53, (у — ах)фх — у). 1 а+8 14.54. — х — х +у — -д . 4 в г 1 г ' 3 3 14.55. х — /у. х 14.56. -1 при х < — $; +1 при х > Ц вЂ” при х < г. /х1 Указание. Искать решение ввиде ~~ — ~. 14.5Т. а при х < йа; )3 при х ) ٠— при $а < х < 18. Глава Ч КРАЕВЫЕ ЗАЛАЧИ ЛЛЯ 'УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Пусть Я вЂ” гладкая поверхность, ограничивающая область С б Л", и и, — внешняя нормаль к Я в точке х с Я.
Функция и имеет нраоильдн ную нормальную производную — на Я изнутри Я, если существуег дп 1пп ди(х') дв(х) дн , +ь дп, дп, дп и'еоо)-н ) равномерно по всем х б Я. 1. Внутренняя задача Лирихле для уравнения Лапласа: найти гармоническую в С С йз функцию и с С(С), принимающую на Я заданные (непрерывные) значения ио П. Внешняя задача Пирихле: найти гармоническую в области С1 — — Вз~б функцию и б С(С1 ), и(оо) = О, принимающую на Я заданные (непрерывные) значения ио .
П1. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в С С п~ функцию и б Сф), имеющую на Я заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и) . 1Ч. Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в Сь функцию и с С(С)), и(со) = О, имеющую на Я заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и'~. Задачи 1, П и 1Ч однозначно разрешимы. Решение задачи П1 определено с точностью до произвольной постоянной, причем ( и„ЛЯ=О 5 — условие ее разрешимости. Аналогично ставятся задачи 1-1Ч в Лз, за исключением того, что для внешних задач от решения требуется лишь ограниченность при (х( — + со.
Задачи 1 и П однозначно разрешимы. Решения задач 1П и 1Ч определены с точностью до произвольных постоянных, причем и1 аЯ = О 3 — условие их разрешимости. 184 Гв. У. Краевые задачи дев урввпеиий эвеиппьичееиого иьипа З 15. Задача Шъ"урма — Лиувилля Р ассмотрим краевую задачу 1и =- -(р(х) д'(х))'+ й(х) д(х) = Дх), (1) аьд(а) — азд'(а) = О, (2) 1д,д(6) +,б,д'(6) = О, где аз+ аз ф О, я+Я Ф О, р б С ([а,Ь)), р(х) ф О, д б С([о,Ь]), У б С(а, Ь) П 1 г(а, Ь). Обычно в физических задачах выполняются условия а,аз > О, 1дь19з > О, р(х) > О, д(х) > О.
Область определения Мс оператора 1 состоит из функций д(х) класса Сз(а, 6) П С' ([а, Ь[), ди й оз(а, 6), удовлетворяющих граничным условиям (2). Задача о нахождении тех значений Л (собственных значений оператора Х), при которых уравнение 1,д = Лд имеет ненулевые решения д(х) из области определения Мс (собственные функции, соответствующие этим собственным значениям), называется задачей Шпьдрма-Лиде илля. Если Л = 0 не есть собственное значение оператора 1, то решение краевой задачи (1) в классе Мс единственно и выражается формулой ь д(х) = / С(х, с) Д() ос, в где С(х, С) — функция Грина краевой задачи (1)-(2) или оператора Ь. Функция С(х, с) представляется в виде 1 / дь(х) дз(С), а < х < ~, " (дь(~) дз(х), ~ < х < Ь, где дь(х) и дз(х) — ненулевые решения уравнения Ьд = О, удовлетво- ряющие соответственно первому и второму граничному условию (2), Й = р(х) ю(х) = р(о) ео(а) ~ О, х й [и, 6[, иэ(х) = дь(х) дз(х) д[(х) дз(х) — определитель Вронского.
Краевая задача где 1' б С(а,6) й 1а(а,6) при условии, что Л = 0 не есть собствен- ное значение оператора о, эквивалентна интегральному уравнению ь ь д(х) = Л / С(х, () д(6) ц6+ /С(х, 6) 1(4) ц6. е а Х 15. Задача Шазурма-Лиувияая 185 Этот метод иногда можно применять и к задачам с вырождением, когда р(х) обращается в нуль или бесконечность или у(х) обращается в бесконечность на одном из концов отрезка [а, 6].
у(ц = р(ц; у(о) =о, 15.1. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О, Ц в следующих случаях: Ц Ху=-р", р(О)=р(Ц=О; 2) Ьу= -у", у'(0) =у(0), у'(Ц+р(Ц = 0; 3) Х,ут-у", у(0)=йу'(О), й>0, у(Ц=О; 4) Ху = — уа — у, р(0) = у(Ц = 0; 5) Ху = -уа — у, у(0) = у'(0), 6) Ху = -ум+ у, у(0) = у(Ц = 0; У) Хр = -ра+ р, у'(О) = у'(Ц = О. 15.2. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (1,2) в следующих случаях: Ц Ху = -хара — 2хр', у'(ц = О, р(2) — О 2) Ху = — хуа — у', у'(ц — 0 р(2) О.
3) Ху= -х уа-Зх у-ху, у(Ц = 0 р(2)+2у'(2) =О. 4) Хр = — хвр" — 4хзу' — 2хзу, у(ц+у'(ц — О (2)+3 ~(2) О 15.3. Найти функцию Грина оператора Х, на интервале (О, — ) в следующих случаях: Ц Ху= — (совах ° у')', у(0) =О, у( — )=0; 2) Аи= — ( Р ), р( — )=О; 3) Хр = — совах уа+езп2х у', у(0) = у'(0), у(-) +у'( — ) = О. 15.4. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О, Ц в следующих случаях: Ц Ху = — (1+ хз) ра — 2ху', у(0) = у'(0), у(Ц = 0; 2) Ху = — (1+ ха)уа — 2ху', у(0) = О, у(Ц+у(Ц=О; 3) Ху = — (3+ хз) уа — 2ху', у(0) = у'(0), у(Ц = 0; 4) Х,у= — (х+цзуа — 2(х+цу+2у, у(0)=у(ц=О; 5) Ьр= — ( — ")+ з, Р(0) =О, У(Ц=О; 6) Х,у= — (4 — хз)уа+2ху', у(0)=у(ц=О; 7) Ху = — (ху')'+ — у, р(0) = р(Ц =0; 8) Х,р = Уа+ з Р~ з У У'(0) =У(Ц=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
