В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение зависит только от !х/ и г; подстановкой из(е,в) = еи(е,в) свести задачу к задаче Коши для уравнения колебаний струны и воспользоваться формулой (12).); 14) д(а$ — !х)) 12.61. Указание. Воспользоваться формулой (10) и задачей 11.18. 1) Р е ш е н и е. из = 1'~ + 1'~ + Уз, где !о> !ц К~ = дв У = 4'в д(1) = ( (*!) ~акр( — (*, )) — акр( — (*~,(*!))1; Ъ;"' = д * [и1(х) . 6(1) — -'и,(х) . Ю(1)~ = (1 — -') 4'; 158 Гз.
1К Задача Коше сг 3) В(1) е'( — 1+х+$) — х — — + 2; 2 4) в(в) — '(В- 'г в,-з)в — '+' *""в в' )а — 1 2аг+ 1 2аз+ 1 аф 1, +.(.—.в),— "(. г -з)). Ь 12.62. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.21. ц В,") (в()вх-Р) — в в( 'вз:*х)~ ... з в(в-)*р; с-(х( ) "' '*" ) ()в.('О- )з е)В+ о -.'- г ) Св (гвв'-(*-О')вг х-с с с ( с-г сг) з) в(в) (г -юг - .в - /в.(з)в — Сх) а- в) '(' В ~ а~; о о 4) —,~Ю( +1)+В(х-1)+ в(с) Г в )) в(* - З) (в.
(гввх:С') — в '("' в )) В -с ! l 12.63. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.22. ц -', -'в(в — )*рв -'вр — ),))(г,(Ввз:,з)в,-'з( ' с-)х) г) -',в(в-)*)).-' ) () в.(вг(в-~~-Р)в,; о с з) вр)(зв г) в( С) - в (зввх:С')а) -с У(') = б'х (ио(х) б'(с)] = — х (б(х) . б(1)) = — = Ь б(ас — )х)) )' Ь(х-ас) ~ — 2. б' где 4'(х, 1) определяется формулой задачи 11.18; сг 2) д(1) (е' — 1) (х + 1 — 3) + 31 — х1 + — + 2 + В(х + 1) ес — В(х — 1) — д(1 — )х)) е(' х) ~з; Га.
1У. Задача Коши 160 ив ш а~Ли+ Дх, В), и)а=о = О. является решением задачи Коши 6 ив — — а~А«, 0 <1< —,; 4 =о = ио(х). Решения задач 13.5-13.8 можно нахсцить по формуле Пуассона, но иногда удобнее применить метод разделения переменных или восполь- зоваться результатами задач 13.1-13.4. 13.5. Решить задачи (и = 1): 1) Ш = 4«аа + в+ е', и«-о = 2; 2) ив = и„+ Звз, и!с=о = ьйп х; 3) ив =и„+е сснх, ип=о =созх; -в 4) ив =и„+е'вшх, «и=о = зшх; 5) ив=и**+вше, и!с=о=е *; 6) 4ив = и„, 1= = '**; 7) ив=и„, и!с=о = хе *; 8) 4ив = ишо и!с=о = зш хе * .
13.6. Решить задачи (и = 2): 1) ив = Ли+ е', и!1=о — сов х вш у; 2) ив = Ьи+вш$вшхвшу, «и=о =1; 3) ив = Ьи+совФ, «4=о = хуе * 4) 8ив = Ьи + 1, ««=о = е (~ ">; 5) 2«в = Ьи, и!г-о = сов ху. 13.7. Решить задачи (и = 3): 1) ив = 2Ь«+Всовх, 2) ив = ЗЬ«+е', 3) 4«1 — — Ьи+в1п2в, 4) ив = Ьи + сов (х — у+ в), 5) ив=Ли, и!с=о «и=о и!о=о ив=о и~с=о сову сов в; в1ц (х — у — «); о 4 вш2в+е * сов2у; е -(а+з- ) .
сов(ху) вша. 13.4. Пусть ио Е С (В"), а ряд,> — „, Ь~ио(х), 4 > О, и все раз=о ". ды, полученные из него почленным дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно в каждой конечной области. Показать, что функпия а $ и(х,$) = ~~~ †, Ь ио(х) в=о 41о. Задача Коши длл уравнения теилоироводноееаи 161 13.8. Решить задачу Коши 14!=о = ио(х), х Е В" и! — — Ьи, для следующих ио. и 2) ио = е !и!'; 1) ио=соз л,хь; к=! 3) иода ~~ха)е ~в~; д=1 5) ио = ехР— 2 хд 4) ио = ьйп 2 хд)е ~*~; ь=! Если решение и(х, 1) классической задачи Коши (1), (2) и функцию Дх, 1) Е С продолжить нулем при $ < О, то и и(х, $) удовлетворяет в В"+! уравнению (в обобщенном смысле) и! — — а~Ли+ Дх, 1) + ио(х) б(Ф).
(4) Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником Р(х, $) 6 У'(В"+'), Р = 0 при 1 < О, называется задача о нахождении обобщенной функции и б У, обращающейся в нуль при 1 < 0 и удовлетворяющей в В"+! уравнению теплопроводности и! = а Ли+ Р(х,1).
(5) Если существует свертка б'в Р, где б'(х,!) = „екр ~— б(!) ( !х!д ) (2а!/я!) ( 4адз) — фундаментальное решение оператора теплопроводности,то а Под род. В.С. Вдвдимировд есть решение обобщенной задачи Коши (5) . Это решение единственно в классе обобщенных функций и(х, 1), для которых существует свертка б'в и. Свертка 1е = б'и Р называется обобщенным о!силовым иошенииалом с нлоелносо!ью Р. В частности, если Р = ио(х) б($), где ио 6 У'(В"), то свертка Ъ'!~! = б(х,1) *ив(х) б(1) = б(х,с) * ио(х) (если она существует) называется обобщенным иоверхносн!ным елеиловым нотенииалом с ила!анас!лью ио.
Тепловой потенциал 1е удовлетворяет уравнению (5). Обозначим через М класс всех функций, локально интегрируемых в В"+', равных нулю при Ф < 0 и ограниченных в каждой полосе О<1<Т, х6Вн. б И. Задача Коши дав уравнения тепаопроводнооти 163 13.13. Показать: 1) если 1 Е Сз(1 > 0) и все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу М, то У = б'* 1 Е Сз(Ф > 0) П 0 С' (Ф > 0) удовлетворяет при 1 > 0 уравнению У, = азЬУ + Дх, г) и начальному условию У~ = 0; 2) если иа(х) — непрерывная и ограниченная функция, то УКО = 4 в ио = С (г > О) й С(г > 0) удовлетворяет уравнению У, = азЬУ® и начальному условию 60 !в=+а = иа(х)' 3) при выполнении условий 1), 2) функция и = У+У~о1, где У, У<а1 определяются формулами (6) и (7), есть решение классической задачи Коши (1), (2).
У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (8). 13.14. Найти решение обобщенной задачи Коши ив = и„+ ио(х) . б(1) для следующих ио.. 1) В(х); 2) 9(1 — х); 3) 9(1 — (х!); 4) 9(х)е *; 5) 9(х)(х+1); 6) 9(х — 1)х. Показать, что найденные функции и(х, г) при 1 > 0 принадлежат классу С и удовлетворяют уравнению ив — — итп а при 1 — + +О непрерывны во всех точках непрерывности функции ио(х) и в этих точках удовлетворяют начальному условию и~~-ве = ио(х) .
13.15. Найти решение обобщенной задачи Коши ив = и„+ 1(х, 1) для следующих 1: 1) 9(1 — 1)е', 2) 9(1 — и) соз1; 3) 9(1 — 1)х; 4) 9(Ф вЂ” 2)е', 5) 9(г)д(х); 6) 9(Ф) ° 9(1 — ф). Показать, что найденные функции и(х,1) принадлежат классу С(Л~), удовлетворяют начальному условию и~~-а — — О, а в точках непрерывности функции Дх, г) принадлежат классу С . 13.16. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теплопроводности (х Е В ) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениеями классической задачи Коши (1), (2): 1) ушд(г)х, ио=х; 2),1 = 9(1) х, иа —— хз; 3) 1 = 9(1) 2х1, ие = ха+ха, а = 1; 4) у = 9(1)Зхзгз иа =е', а=1; Гя.
уу. Зодочо Коши 164 ио = !х!" и = ~,х»', »ьа в ио = ехр ~ ~: х» »»а в ч ио = Е х»ехр~ х х» »»и »=1 3) У = В(1) е, 4) У=О, сов 2 х» ехр ~ х» 5) г'=О, 5) ~ = 9(Ф) ~Л, ио = ойх; 6) У='— '; в(г) ,Л' ио = хе'1 7) у = 9(1) 1пг, ио — — хв1пх, а= 1; 8) у =9(1)хсозх, ио =хсовх, а=1; 9) у =9(1)е*, ио= В(х)х, а=1; 10) у =9(1)хе*, ио =9(х)хг, а=1. 13.17.
Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е 1» ) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1) (2): ц у — 9(1) хуе', ио 2) У=В(1)(*'+У') " =*,+У ' 3) У =9(1)4хУ, 4) У = В(1) е ов У 5) ~=0 ио =х сову; ) у 9(1) ху ™о — сову. 13.18. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е 1»~) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) у = 9(1)хуе*, ио =хезсозг; 2) у = 9(1) ху сов г, ио = (х + уг) соз з, а = 1; 3) у =9($)хугсовг, ио=хуггз; 4) У = 9(1)(хг — 2уг+гг)ес ио = х+уг+гз.
5) у = В(1) созгз!п3х сов4уез', ио = з!п3хсоз4уе4', а = 1. 13.19. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е В") с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): ц 1 = 9(1)(х(, 2) У = В(1) Е х» »»а 9 е8. Задача Коши доя ураонения шеноонрооодноетн 165 Уравнение ие — а и„— Ьи, — си = У(х, 1), где а,Ь, с — постоянные, 3 заменой э(у, $) = е "и(у — 61,1) сводится к уравнению теплопроводности. и1е=о 1, 6=0; с=2, 6 1, Ь=О; с~О; с=О; сф1; с=1; а=2, 6 ио = е; е.
13.20. Найти решение задачи ие — а и„— Ьио — си = У(х, е), = ио(х) со следующими данными: 1) У=1 из=1, с=1; 2) У=с', ио=созх, а=сея 3) У=е, иошссих, а=Я, =0; 4) Уш1з1пх, ио=1 а=с= 5) У=О, ио=е *; 6) У = ш(1) 6 С' (Ф > 0), ио Е С и ограничена. 13.21. Найти решение обобщенной задачи Коши ие — ази„— Ьи, — си = У(х,$) + ио(х) Ю(1) со следующими данными: 1) У ш 9(1 - 1),, = 9( ), 2) У=9(1 — 1),,=д(1 — х), 3) У=9(е — 1)е', но =9(1 — )х(), 4) У = 9(1 — 1)ее, ио =д(х)е*, 5) У = 9(1 — 1) е*, ио — — хд(х), =с= — 2; 6) У = 9(1) 9(х), ио = х. Исследовать гладкость полученных решений, как и в 13.14, 13.15. 13.22.
Решить обобщенную задачу Коши ие — а и„ вЂ” Ьи, — си = У(х, 1) + ио(х) 5(1) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши ие — ази — Ьие — си = У(х, 8), иЬ о — — ио(х): 1) У = 9(г) хз, но=ха, а=Ь=с=1; 2) У= —, 3) У = 9(1) 1ее, ио = хе*, а=2, 6= — 1, с= — 2; 4) У=д(1)хе*, ио =хе'+з)ех, а=с=1, Ь= — 2; 5) У=9(г)е*созгз1пх, но =е'созх, а=1, Ь= — 2, с=2; 6) У = 9(1)х, ио = х зшх, а = 6 = с = 1. 13.23. Пусть и(х, г) — решение задачи Коши ие = а сЪи, и~е=о = ио(х), где ио Е С(Н") и (ио(х) / < Ме ~~*~, Б > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
