В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002)
Текст из файла
УДК 517 ВБК 22.18 С23 Авторы: В. С. ВЛАДИМИРОВ, А.А. ВАШАРИН, Х.Х. КАРИМОВА, В. П. МИХАЙЛОВ, Ю.В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН Сборник задач по уравиеииим математической физики / Под ред. В.С. Владимирова. — 4-е изд., стереотип. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003.— 288 с. — 1ЯВН 5-9221-0309-1. Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет. В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в когорых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. Второе издание — 1982 г.
Для студентов фкзико-математических и инженерно-физических специальностей вузов. Ил. 4. Библиогр. 8 наев. 1ВВН 5-9221-0309-1 Ос ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003 СОДЕРгКАНИЕ Предисловие к третьему изданию Из предисловия к первому изданию Основные определешш и обозначения Глава 1. Постановки краевых задач математической физики . 3 1. Вывод уравнений и постэловки краевых задач ............ 3 2.
Классифиющзш уравнений второго порядка................ Глава П. Функциональные пространства и интегральные уравнения .. 3 3. Измеримые функции, интеграл Лебега..................... 3 4. Функциональные пространства............................. 3 5. Интегральные уравнения Глава 1П. Обобшенные функции..............................
зб. Основные и обобщенные функции.......................... з 7. Лифференпирование обобщенных функдвй................. 3 3. Прямое произведение и свертка обобщенных функций..... 39. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста . 3 10. Преобразование Лэлласа обобщенных функций ............
311. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов. Глава 1Ч. Задача Коши "312. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического тида . 3 13. Задача Коши для уравнения теплопровацностн....,....... 3 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гуров ...... Г л а в а Ч. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа . 3 15. Задача Штурма-Лиувилля 31б. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона. 3 17. Функция Грина оператора Лапласа......................... 318. Метод потенциалов.
3 19. Вариационные методы Г л а в а Ч1. Смешанная задача. 3 20. Метод разделения переменных 3 21. Лругие методы Л о и о л н е н н е. Примеры решений некоторых типовых задач .. Список литературы ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИ1О Третье издание сборника задач по уравнениям математической физики не отличается от второго (1982 г.) по содержанию. Авторы лишь исправилн отдельные неточности в формулировках задач и устранили опечатки.
Во втором издании было добавлено небольшое число задач (в основном в главу 1Н) к первому изданию сборника (1974 г.). Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского физико-технического института за конструктивную критику, за предложения и замечания, которые способствовали улучшению сборника и позволили устранить неточности и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны Т.Ф. Волкову, Ю.Н. Дрожжинову, А.Д. Кутасову, В.Б. Лидскому, А. Ф.
Никифорову, В. И. Чаянову. Аешоры Январь 2001 г. ИЗ ПРЕПИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗПАНИЮ Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнения математической физики». Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет юучать с единой точки зрения наиболее интересные задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре высшей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы: «Уравнения математической физики» В. С.
Владимирова и «Уравнения в частных производных» В.П. Михайлова. Настожций «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. Помимо классических краевых задач в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения.
Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов ю различных областей современного анализа. Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям.
Этот сборник рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой. 1974 г. А в шоры ОСНОВНЬХЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. х = (хюхз,...,х ), у = (уыуз,...,уп) — точки и-мерною вещественного евклидова пространства В", х1»хз" »хп) ( 1(х) йх = ~у(хм хо,...,хп)аахм..йх„. и" 3. а = (аы аз, ..., ап) — мультииндекс (ау > О вялые); а(=а !а !...а ! х =х»'х '...х'„"". г " и.
и 4. (х, у) = х1 уз + хо уз + ... + хпуп ! =~п= ~*,*1=,Я+*Г+-+**. 5. У(хо, .В) = (х: !х — хо! < В) — открытый шар с центром в точ- ке хо радиуса В; В(хо! В) = (х: !х — хо! = В) — сфера Ул = У(О; В), Вн = В(О,В). 6. Множество А будем называть строго лежащим в области 0 с В" и писать А с С, если А ограничено и А С С. 7. Функция 1(х) называется локально интегрируемой в области С, если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти 6' Ф С. Функции, локально интегрируемые в В", будем называть локально интегрируемыми функциями. В~»~( ) д У(хохм ",х ) Ях 16»1 бх»» 9. С" (С) — класс функций у, непрерывных вместе с производными В~~, !а! < р (О < р < оо), в области О С В".
Функции !' б Со(С), у которых все производные Ю»у, !а! < р, допускают непрерывное продолжение на замыкание С, образуют класс Со(С); С(С) = Со(0), С(С) = Со(С); функции у е С" (О) при всех р образуют класс С»»(С). 10. Равномерная сходимость последовательности функций (!ь) к функции у на множестве А обозначается уь(х)::ф 1(х), Й вЂ” > оо. 11.
А 0  — объединение множеств А и В; А Г!  — пересече- ние А и В; А х  — прямое произведение А и В (множество пар (а, о) (о б А, о й В)); А! — дополнение В до А. Основные абознанвннв н определанна 12. Наситпелем непрерывной функции /(х) называется замыкание множества тес точек х, в которых /(х) ф О.
Носитель функции / обозначается вирр /. Если измеримая на области С функция /(х) об- ращается в нуль почти всюду в С/С', где С' а С, то / называется финипгноб в С функцией; функция, финитная в Вй, называется фи- нвгпна6. д д дг дг 13.
Ь = — + — +... + — — оператор Лапласа; Пв = — -аза,— д*', дх', " ' дх'„ дг2 воиновой оператор; П, = П; — — а Ь вЂ” оператор теппопроводности. д г 14. Г+ = (х, $: а1 > (х() — конус будущего. е 15. Ф(С) = — /е * ~гЫг. /йл л~ 1Се ' Л' ~'~1, (х! <е, 16. ыв(х) = ~ где С, = е "", О, 1х( > е, н г = /е гЛ' * 1бх", ы, — ядро усреднения, «шапочка». о 17. С вЂ” плоскость комплексного переменного. /1, х>0, 18. 6(х) — функция Хевисайда: д(х) = ~ (О, х< 0. глаз 19. о„= / Ив = — площадь поверхности единичной сфе- Г(н/2) я1 ры Яг в Я".
20. В Сл(С) введена норма 1Лс.(с1 = ~~' ~~У /(~)( )а)бр 21. Совокупность (измеримык) функций /(х), дпя которых (Д" интегрируема на С, обозначается через Хр(С). Норма в Ьр(С) вво- дится так: 1 1/в пь ... = (/в~ н~ !1Пь (с) = вга1 зпр)/(хН, Р = оо. веС В Ьг(С) вводится скалярное произведение (/,9) = / Удбх, /,У 6 Ьг(С). 22.
Пусть р(х) — непрерывная положительны функция в облас- ти С. Совокупность (нзмеримых) функций Дх), для которых функция Основные обозначения и онредеоентиг 23. Цилиндрические функции: а) функции Несселя ( — 1) Ух ~зь+" ~- Г(я+ +ЦГ(й+ц Б! <*< б) функции Неймана гги(х) = —. (,7„(х) соз яи — у-и(х)], и ~ и 1 зш яи гг' (х) = — ~ " ( 1)н — ) 1 ГдГ (Х) оду (Х)1 я~ ди ди в) функции Ханкеля О,' (х) = А,(х) + ъИ„(х), Н(з)(х) — г„( );К ( ).
г) функции мнимого аргумента у (х) =е 'мгзо„(гх), К„(х) = — е'"'~ гз( 1(ех) 2 р(х)Ц(х)1з интегрируема на С, обозначим через Ьз,р(С); Йз,о(г ) гильбертово пространство со скалярным произвеяенйем (Л р)ь,,,(С) = /ИИ*. Глава 1 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАЛАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ $1. Вывод уравнений и постановки краевых задач Условимся в следующих обозначениях: р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная); То — натяжение струны, мембраны; Š— модуль Юнга; Й вЂ” коэффициент упругости упругого закрепления концов струны, ртержня или края мембраны; Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.; 7 = ср/с„— показатель адиабаты; р, ре — давление газа, жидкости; гл, пзо — масса; д — ускорение силы тяжести; ы — угловая скорость; Й,Й(х),Й(х,и) — коэффициент внутренней теплопроводности; а — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теплообмена);  — коэффициент диффузии.
Приведем несколько примеров на составление уравнений. Пример 1. Задачи о поперечных холе баниях с т р у н ы. Струна длиной ! натянута с силой Те и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени 1 = О точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить задачу для определения малых поперечных колебаний точки струны при 3 > О, если концы струны: а) закреплены жестко; б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения и; в) закреплены упруго, т. е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему; г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам. Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь. 10 Гл.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
