В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 46
Текст из файла (страница 46)
41 « Используя условие (10), получаем В = О, А = — 4/Л4. Поцставляя т«(1) = —, — —, в)пл„1 41 4 Лз Л4 в формулу (9) и используя (4), находим искомое решение зада- чи (1) — (3): и = хг+ 4 з — „е (Л„1 — вшл„г) вшл„х, 1 « (13) и «~о где Л = — + ии. « Задача 6. Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения параболического типа и, — иее = 1(х+ 1), 0 < х < 1, $ > 0 (1) при начальном условии и~и«о = 0 (2) и граничных условиях Т„(0) = О, Т„'(0) = О. Подставляя о(х,г) из (9) в (5), получаем (Ч««'Я + Л„Т«Я) в1п Л«х = 2й «=о Пля нахождения функций Т«(1) разложим функцию 1 в ряд Фурье по системе функций (8) на интервале (О, 1): 1 = ~~~ а„вшл„х.
(12) 283 5 й. Меепод ревдееених переменных ие)еие = 1, и),иг = Х~. (3) Р е ш е н и е. Функция ев = хег удовлетворяет краевым условиям (3), уравнению ше — ге„ии 2х1 и начальному условию ез)еие = О. Позтому функция О = и — ХЕ (4) удовлетворяет уравнению Ое — О„= (1 — х) 1 (5) и условиям (8) »=О Так как аи ие 2~(1 — х) совЛ„хбх = —,, 2 Лг ' О то из (9) и (10) находим Т„'(г) + Л»Т(1) = ~~ . » Решением уравнения (11) при условии Ти(0) = 0 является функция Т„(1) 2Л-О(е-х*.е+ Лг1 1) (12) Из (4), (8) и (12) находим решение задачи (1)-(3): и = ххг+2~ Л„е(е ~"~+Л~г — 1) совЛ„х, к и=в где Л» = — + яп. 2 О!еие = О, Ое)е=о — О, О! =г = О.
(6) Применяя метод разделения переменных для решения однородною уравнения Ое — О,е = 0 при условиях (6), положим О = Х(х) Т(1). Получим задачу Штурма — Лиувилля Хн(х) + ЛгХ(х) = О, Х'(О) = О, Х(1) = О, собственными значениями которой являются числа Ли = — + яп п и = О, 1, 2, ..., а собственными функциями — функции Х„(х) = сов Л»х. (7) Решение задачи (5), (6) ищем в виде О(Х, Е) = ~~> Ти(1) СОВ Л»Х. »=О Подставляя о(х, х) из (8) в уравнение (5), получаем ~~ь (Т„'(г)+Лг,Т„Я) совЛ»х = (1 — х)й (9) »=О Разложим функцию 1 — х в ряд Фурье по системе функций (7) на интервале (О, 1): 1 — х = ~~> аи сов Л»х.
(10) 284 ЛЪноененне 33. Интегральные уравнении с вырожденным ядром Задача 7. Решить интегральное уравнение гг ггг(х) = Л ( (хв1пу+ усовх) уг(у) гзу + Ов!пх+ Ьх при всех допустимых значениях а, Ь, Л. Решение. Обозначим С1 = / в1пу ег(у)г(у, Сз = ~ур(у)Ф; -л з тогда уравнение (1) примет вид Зз(х) = ЛС1х+ ЛСз совх+ авшх+ Ьх. Из (2) и (3) получаем С1 = /вгпу(ЛС1у+ЛСз сову+авшу+6у) г2у, Сз = / У (ЛС1 У + ЛСз сов У + а вгп У + ЬУ) ф, -л откуда находим (2) (3) (5) С1 = ЛС1 ° 21г+ак+21гЬ, 2кз 2ггз (4) Сз = ЛС1 — +а ° 2в +Ь вЂ”. 3 3 Систему (4) запишем в следующем виде: С1(1 — 21гЛ) = ая + 2кЬ, 2 з — Л вЂ” С1 + Сз = 2Огг + —. 3 3 Определитель 11(Л) системы (5) равен гз(Л) = 1 — 2ггЛ. Если 13(Л) ф О, 1 т.е.
Л ф —, то система (5) имеет единственное решение при любых а 2я' вк+ 2яЬ 2язЛ(ее+ 2к6) 2кзЬ 1 — 2кЛ ' 3(1 — 2яЛ) 3 1 Подставляя С1 и Сз из (б) в (3), найдем при х ф — единственное 2к решение интегрального уравнения (1). 1 Пусть Л = —, тогда система (5) примет вип 21г' С О=(а+26) з 2,гзЬ (7) — — С1+Сг = 2агг+— 3 3 Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие 285 3 4. Варнаиианные задачи а+2Ь = О. (8) Условие (8) является необходимым и достаточным условием разре- 1 1 шимости уравнения (1) при Л = —. Здесь — — характеристическое 2а 2х число интегрального уравнения гр(х) = Л /(хв1пу+усовх) 1а(у) г1у.
Общее решение однородной линейной системы Сг ° О = О, — — Сг+Сз =О, соответствующей системе (7), имеет вид 3 где С вЂ” произвольная постоянная. В качестве частного решения системы (7) можно взять С,'=О, С,'=2 Поэтому общее решение системы (7) имеет вид ггз зз Сг = С Сз = — С+ах~2 — — ~.
3 3~' (9) Подставляя Сг и Сз из (9) в (3), найдем все решения уравнения (1) 1 при Л = — при условии (8). Эти решения можно записать формулой 2гг уг(х) = (А — -) х+ ~ — + а~1 — — )~~ совх+ ав1пх, 2) ~ г '1 б!~ где А — произвольная постоянная.
3 4. Вариационные задачи Задача 8. Найти минимум функционала з)=(~~а.г+,'" ~а. (1) С + вз среди функций, принадлежащих классу С (С), где С = (1 < )х) ( 3), х = (хм ха). Решение. Известно, что существует функция ие(хыхз) Е б С'(С), дающая минимум функционалу (1). Функция ие(х) является решением краевой задачи 2 Ьи = —, и)~,~-г —— и~~,~=з = О; г записав лвлласиан в полярных координатах, получим 288 Яопо вконпо (ги„)' =2, н~~,~, =и~~,~ з = О.
(2) 4 Решением краевой задачи (2) является функция оо = 2(г — 1) — — 1п г. !пЗ Так как оо не зависит от ог, то 8оо г )8гайоо)~ = ~ — '~ = (2 — — -) . Тогда ггз хщ= О1(2 — — -) -.'-~к — о — — ~ ~ -) ~ф о з з 16 16 1 16 = 2я / (4г — — + — — + 8г — 8 — — 1п г) й = 1пЗ 1пг3 г 1пЗ 1 з 16 16 1 16 1 / 1 = 2я / (12г — — — 8+ —, — — — 1п г) й = 32я ( — — 1). 1пЗ 1пг3 г 1пЗ 1 11пЗ 1 1 Итак, минимум функционала (1) равен 32з. ( — — 1). ~1пз СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функ- ции.
— Мс Наука, 1974. Беклемишев Я. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб- ры. — Изд. 8-е. — Мс Физматлит, 2000. Ваадимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е.— Мс Наука, 1986. Ваадимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физи- ки. — Мс Физматлит, 2000. Михайлов В. П. Лифференциальные уравнения в частных производ- ных. — Изд. 2-е.
— Мс Наука, 1983. Никольский С. М. Курс математического анализа. — Изд. б-е. — Мс Физматлит, 2000. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.-СНбс Физматлит. Невский Лиалект. Лаборатория Вазовых Знаний, 2000. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — Изд. 3-е. — Мс Наука, 1989. Учебное издание ВАШАРИН Анагполий Алексеевич ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич КАРИМОВА Хуршит Хусниевна МИХАИЛОВ Валентин Петрович СИДОРОВ Юрий Викторович ШАБУНИН Микаил Иванович СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Редактор Е.Ю. Ходам Корректор: Л.Т. Ворьлш Оригинал-макет: Л.К. 77опмоео ЛР 7О 071930 от 06.07.99 Подписано в печать 31.10.02.
Формат ббх90/16 Пумага офсетная Д»1. Печать офсетная Угл. печ. л. 16. Уч;изд. л. 19,6. Тираж 3000 зкз. Заказ 7О 7074 Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 Е-ты1: бвтасгЬпв'к.го Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099 Москва, П7убннскио пер., 6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
