В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Задача сводится к разложению некоторых функций в ряд по системе функций .7«(д„", т/Н) (еп = 1, 2, ...). В силу (36) коэффициенты а«, разложения а)=Й г ('-„'') ««=1 определяются формулами и озуз ( (М) / если: 1) У(1) =82+1; 2) У(1) =81п1+с(жй 20.22. Найти решение смешанной задачи 1 ии = и«з + — и«, 0 < х < 1, и! =з = д(1) и!ь«о = ио(х), )и! -о! < оо, если: 1) д(е) = 81п е, ие!а«о = из(х)> ио(х) = — [1 — — ~, 2 зо(2) ио(х) = —, до(2х) Хо(2) ' и(.)=О; ие(х) = О; 2) д(8) = со821> 20.20. Решить задачу о свободньсс колебаниях однородной круг- лой мембраны радиуса В, закрепленной по краю, в следующих слу- чаях: 1) начальное отклонение определяется равенством и~а«о — — А,Уо(~— ""), где до — положительный корень уравнения Д~(д) = 0; начальная скорость равна нулю; 2) начальное отклонение и начальная скорость зависят только от т, т.е. и)е-о = у(т), и~(е-о = г(т); 3) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная скорость равна нулю.
20.21. Найти решение смешанной задачи 1 иее = и„+ — и* + у (8) Ло(азах), х где да — положительный корень уравнения,уо(д) = О, 0 < х < 1, и)*=з = и!и«о = ие!8=о = О, )и1е-о! < со, В 99. Метод роэд7ененне переменных 251 3) 9(1) = 1 — 1 ио(х) = Уо(7ддх) — 1, где Удд — положительный корень уравнения Уо(7д) = О, ид(х) т 1.
20.23. Найти решение смешанной задачи им + У(Ф) = и„+ — и„О < х < 1, 1 и(,— д — — 9(С) и(с=о = ио(х), ие~е-о = ид(х), если: ио(х) = 1 — —, .Уа(х) ,Уо(1) 9(е) = ио(х) =1, 2) У(В) = вднх, если: 1) ио(х) = Яд(Удох) + Уд(Удтх), ид(х) = 0; 2) ио(х) = Уд(удех), ид(х) =,7д(р х). Здесь ~ц, и Уд — два различных положительных корня уравнения Уд(7д) = О. 20.27. Решить смешанную задачу ип = и„+ — и, — — + е Уд(7дех), 1 и е х где Уде — положительный коРень УРавнениЯ,7д(7д) = О, О < х < 1, ид(х) = О; 3) у(Ф) = -2сов21, 9(Ф) = ид(х) = О, ио(х) = — 1 а — 11+ 2 ~ Уо(2) +,Уо(7ддх), где Удд — положительный корень уравнения,Уо(7д) = О.
20.24. Решить смешанную задачу 1 и + — и = нее+и, 0 < х < 1, (и1*=о( < со, и( — д тсов21+вдп31, ,7о (хд/3) З.Уа (2хд/2) Уа (д/3) Уа (2д/2) 20.25. Решить задачу о колебаниях однородной круглой мембра- ны радиуса В, закрепленной по краю, если зти колебания вызваны равномерно распределенным давлением р = ро вшадд, приложенным к одной стороне мембраны.
Предполагается, что среда не оказывает со- противления и что од ф ~", где 7д (и = 1,2,...) — положительные корни уравнения Уо(уд) = 0 (нет резонанса). 20.2И. Решить смешанную задачу 1 н пи=не + — и —, 0<х<1, )и(,=о! < оо, и(,=д = О, и(е=о = ио(х), не~в=о = ид(х), Гж 71. Смеисаиная зодочо 252 !и!е=о! < оо, и!е=с = и1с=о = ис!с=о = О. 20.28. Решить смешанную задачу 1 исс=и, + — и,— —, 0<хс1, х * хг' и!с=о = О, !и1,-о! < оо, и1,— с = зш2$ созз, ,Ус(х) 3 Ус(Зх) ис1,=о = — + — —.
2,Ус(1) 2 Ус(3) ' 20.20. Решить смешанную задачу 1 4и иа —— ие,+ — ие — —, 0<я х хг' и1= 1<, и1.= =о, <1, если: 1) У(С) =0 2) У(С) =созг. 20.31. Решить смешанную задачу 1 9и ии — — и„+ — и, — —, х хг и!е-с — — О, 0<к<1, ис!с=о = Уз(Уссх)> !и! =о! < о где ссс — положительный корень уравнения Уз(д) = О, и!с=о = ио(х), если: 1) ио(х) = 0; 2) ио(х) = Уз(Уссх).
20.32. Решить смешанную задачу 1 9и ии = и„+ — и* — — + У'(г),Уз(Сссх), 0 < х < 1, х хг !и!.=о! < оо, и!., = и!с=о = ис!с=о = О, где рь — положительный корень уравнения,Уз(сс) = О, если: 1) У(г) =е с. 2) У(1) С 1г ! ис!с=о = если: 1) ио(х) = из(х) = Уг(усзх); 1 3 2) ио(х) = — Уг(усох), ис(х) = —,Уг(сц,х). 1 2 Здесь сц, — положительный корень уравнения .Уг(Сс) = О. 20.30. Решить смешанную задачу 1 4и ии = и„+ — и, — — + У(С) Уг(Усгх), 0 < х < 1, ее е где усс — положительный корень уравнения Уг(,и) = О, !и1, о! < оо, и!.=с = и!с=о = ие! =о = О, 253 З" ЮО. Метод разделения нерененнмз 20.33. Решить смешанную задачу 1 (хи,),=ии, Осх<-, 4' 1и1,=о1< со, и)е д/4 —— О, и!д=о = 7о(27ддд/х), ид!д=о = О, где 7дд — положительный корень уравнения 7о(1д) = О. 20.34.
Тяжелая однородная нить длиной 1, подвешенная за один из своих концов (х =!), выводится из положения равновесия и отпус- кается без начальной скорости. Изучить колебания нити, которые она совершает под действием силы тяжести; предполагается, что среда не оказывает сопротивления. 20.35. Тяжелая однородная нить длиной 1, закрепленная верхним концом (х = 1) на вертикальной оси, вращается вокруг етой оси с постоянной угловой скоростью ад. Найти отклонение и(х, 1) нити от положения равновесия.
20.36. Решить смешанную задачу идд — — (хи ), О<х<1, !и!а=о! < со и*!*=д = О и!д=о = О, ид!д=о = 7о (7дьд/х), где 7дд — положительный корень уравнения,7д (дд) = О. 20.3У. Решить смешанную задачу идд = хи„+ и, + /(д) 7о (ддд/х), 0 с х < 1, !и!*=о! < со, и!ад = и)д=о = ид!д=о = О где ддд — положительный корень уравнения,7д(7д) = О, если: 1) 7(д) = д; 2) Дд) = зш 20.38. Решить смешанную задачу ии = низе+из — —, 0 < х < 1, !и!е=о! < со, и1, д — — О, и1д-о = О, ид1д=о = 7г(ддьд/х), где 7дь — положительный корень уравнения,7г(7д) = О. 20.30. Решить смешанную задачу 9и ии =хи,е+и,— —, 0<х<1, 4х' !и!*=о!< ос, и1 =д = О, и1д=о =О, ид)д=о = 7з(7ддд/х) где ддд — положительный корень уравнения,7з(7д) = О. 2.
Уравнения параболического типа, а) Задача о распространении тедди в тонком однородном стержне 0 < х С 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы х = 0 и х = 1 поддерживаются ддри нулевой температуре, приводится к решению уравнения теплопроводности ид = и иее (1) при граничных условиях 254 Га У1.
Смешанная задача и),— о=О, и),-1 = 0 (2) и при начальном условии иЬ=о = ио(х). (3) Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (1) в виде и(х,$) = Х(х) Т(1). (4) Подставляя и из (4) в (1), получаем два уравнения То(1) + а ЛТЯ = О, (5) Х"(х) + ЛХ(х) = О. (6) Зля нахождения нетривиальных решений уравнений (1) вида (4), удовлетворяющих граничным условиям (2), нужно найти нетривиаль- ные решения уравнения (6), удовлетворяющие условиям (2). 1(ля значений Л, равных (см. 3 20, п. 1) Л„=( — ",)' ( =1,2,...), и только для этих значений, существуют нетривиальные решения Х„(х) задачи (б), (2) и при этом Г2 .
явх Х„(х) = ~( — з1п —. Ч1 Значениям Л = Л„соответствуют следующие решения уравнения (5): Т (1) — а е (кекдб Ф 2 г . я их а = — ( ио(х) зш — ~(х и — 1 / о пьа б) Задача о температуре однородного стержня длиной 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно постоянные температуры и~ и из, сводится к решению уравнения (1) при начальном условии (3) и граничных условиях вида Тогда функции и„(х,г) = Х„(х)Т„(1) =а„е 1~"~Д1 'зш удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных а„.
Решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (3), ищем в виде формальною ряда и(х,г) = ~ ~и„(х,8) = ~ ~а„е 1"" Д1 'зш —. (7) а=1 пьа Из (7) и (3) находим ОО ! квх ио(х) = ~~~ а„з!и —, где г МО. Мепьод разделения ееремемнеее 255 и*]*=о — Ьг [и]е=о — щ] = О, ие]еая + Ьг [и],-е — иг] = О, (8) Х„(х) = — соз — х+ Ьгзш — х. И И и ю(х,г) = ~~~ А„е ' ""'Х„(х), е=1 где коэффициенты А„находим из начального условия (12), используя ортогональность функций Х„(х) на [О, 1]: А„= — у ио(х) ~ — соз — х + лг зш — х) Ах, Г /дв рп ~4п п — ])ф ]]г / о г ]]Ф„]]г = )( (Р"' соз ~" х+ Ьг з1п — "" х) е(х.
о гдейг>0, Ьг>0. Если лг = лг = О, то условия (8) принимают вид ие]*=о = ие]е=ю = О. (9) Условия (9) означают, что концы стержня теплоизолированы. Решение задачи (1), (3), (8) ищем в виде и(х, е) = о(х) + ю(х,е), где о(х) — решение уравнения (1) (ие(х) = О), удовлетворяющее гра- ничным условиям (8). Уравнение о"(х) = 0 имеет общее решение о(х) = Сгх+ Сг.
(10) Определяя Сг и Сг из условий (8), получаем (11) л +л +а 81' 1 Функция ю(х, г) удовлетворяют уравнению (1), начальному условию в]е=о = и]е-о — е]е=о = ио(х) — е(х) = йо(х), (12) где о(х) определяется из формул (10), (11), и следующим однородным граничным условиям: (в, — Ьгю)е о = (ю, + )егв)е=~ = О, (13) Решая задачу (1), (12), (13) методом разделения переменных, полу- чаем в„(х,г) = А„е ' ""'Х„(х), где Лг = "г",,и„(п = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Гл. 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
