В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Под «интеграломь / у(х) еЬ для финитной у 6 У' следует понимать число (1, и), где б б У, л: — 1 в окрестности носителя у (это число не зависит от выбора вспомогательной функции 9). 18.10. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плотностью до на сфере (х~ = В. 18.1Т. В точке, лежащей на оси б = 0 (О < И < я), найти потенциал простого слоя, распределенного на сфере г = В со следующими плотностями: 1) д пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 0 = я/2; д 2) дт в1п -; 3) ртео, 0<у<я, и дтез' о, я<ео<2я.
18.18. На круглом диске радиуса В распревелен простой слой с плотностью д. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска для следующих плотностей: 1) д=дотсопвз; 2) д=г; 3) дтгз; 4) д = д(<р) — непрерывная 2и-периодическая функция. 18.19. Найти потенциал простого слоя, распределенного с плотностью д на цилиндРе (х',+х,'=В',0<хз <Н) в точке, лежащей на оси хз для следующих плотностей: 1) д = до = сопев; ) И = Д(У) — непРеРывнаЯ 2з-периодическая ф 18.20. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью оо для сферы (х~ = В.
18.21. На сфере г = В распределены диполи с плотностью момента и, ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке оси 0 = 0 (О < 0 < и), для следующих плотностей: 1) и = сов 0; 2) о = в1п —; 3) итео, 0<1о<я, и иееез а, я<ео<2я; 218 Гл. У. Краевые задачи дев уравнений э.юннкгнческого глино 4) и = и(гр) — непрерывная 2к-периодическая функция; 5) и равна квадрату расстояния от плоскости д = —. 2 18.22, На круглом диске радиуса В распределены диполи с плотностью момента и, ориентированные вдоль нормали, направленной в сторону отрицательных хв.
Найти потенциал двойного слоя в точке, лежащей на оси диска, для следующих плотностей: 1) и=салаг; 2) и = и(г) Е С([О,Гг)); 3) и = и(гр) — непрерывная, 2л-периодическая функция; 4) и=г+гр, 0<гр<т, и и=г+2т — гр, я<гр<2т. 18.23. Найти логарифмический потенциал простого слоя для окружности радиуса В со следующими плотностями: 1) р=ро=сопв$; 2) и=сов уг, В=2. 18.24. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для окружности радиуса Я со следующими плотностями: 1) и = сопзФ; 2) и = в1пуз. 18.25. Найти логарифмический потенциал простого слоя для отрезка -а < х < а, у = 0 со следующими плотностями: 1) д = сопев; 2) р= — ро, — а<х<0, и д=до, 0<х<а; 3) р=х.
18.26. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для отрезка — а < х < а, у = 0 со следующими плотностями: 1) и = сопвс; 2) и=-ио — а<х<0, и и=ив, 0<х<а; 3) и = х; 4) и = хз. Пусть р(х) — финитная обобщенная функция. Свертки У = — 4яд'*р и У = — 4тдз*р, где ег '*' - е ' Рд 4к)х) ' 4к(х) — фундаментальные решения оператора Гельмгольца Ь + йз в Гсз, являются аналогами ньютонова потенциала. Потенциалы У и У удовлетворяют уравнению Гельмгольца Ьп + йзн = — 4яр. Так же определяются аналоги потенциалов простого и двойного слоев. То же для оператора Ь вЂ” йз.
Здесь аналогом ньютонова потенпдае -чм ла является У, = -4яд; е р, где 4; = — — — фундаментальное 4~(~) решение оператора г3 — йз в Ггз. 18.27, Пусть р — абсолютно интегрируемая функция и р(х) = О, х с Сг = Вз~б. Показать: 1) У,У и У, выражаются формулами З 18. Иетпод потвевциавов 219 (8) У(х) = ~ р(у) пу, У(х) = / р(у) тту, е ь) (7) У„(х) = / р(у) Ыу; 2) У, У и У, С Сг(Вз) П Соо(Ст) удовлетворяют в области Сг однородным уравнениям Ьи+ ттги = О и Ьи — ттги = О соответственно; 3) У и У удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда и(х) =0()х! ~), — ~тйи(х) =о()х! ~), д)х) )х) — т со и У,(х) — + О, )х) — + со. 18.28.
Для оператора г.'з + йг вычислить потенциал У для шара )х~ < В со следующими плотностями: 1) р=р()х)) бС(Ул); 2) р=ро= сопев; 3) р=е ~*). 18.29. Для оператора Ь+ Йг вычислить потенциал У для сфери- ческого слон Вт < )х) < Вг с постоянной плотностью ро. 18.30. 1) Для оператора Ь + ттг вычислить потенциал простого слоя Уто), распределенного с постоянной плотностью до на сфере; 2) для оператора Ь+ йг вычислить потенциал двойного слоя Утт), распределенного с постоянной плотностью ио на сфере. 18.31.
Для оператора Ь вЂ” Йг вычислить потенциал У, для шара т < В со следующими плотностями: 1) р=р()х)) ЕС(Уд); 2) р=ро= сопев; 3) р=е )*). 18.32. 1) Для оператора Ь вЂ” йг вычислить потенциал простого слоя У., распределенного с постоянной плотностью ро на сфере; (о) 2) для оператора т) — х вычислить потенциал двойного слоя У, г О)' распределенного с постоянной плотностью ио на сфере. 18.33. 1) Предполагая границу Я области С С Вз поверхностью Ляпунова, доказать, что — 4», хЕС, У')(х) = / Р*", т(В = -2», хб Ы, (9) О, хЕВз~С, где угол тр,т определен в начале параграфа; 2) предполагая границу Я области С С Вг кривой Ляпунова, доказать, что — 2», хЕС, Уг (х) = ) *"т(Я»= — тт, хек, (9г) 8 О, х б Вг~С, 18.34. Доказать: 1) подстановка и = о + Уз, где Уз(х) = — / — т(у, х е В, т У(у) з 4»,т' )х — у) 220 Га.
1г. Краевые эадачи Аис уравнения эа знпнзичеенаеа ганна сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона г3и = = -у к соответствующим внутренним краевым задачам для уравнения Лапласа, если у б Сз (С) П С(гз); 2) то же справедливо и для внешних задач при дополнительном условии, что у — финитная функция. 18.35. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Лирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.36. Найти стационарное распределение температуры внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса В при условии,что на границе поддерживается следующая температура ио.
1) ио = сопев; 2) ио = гйп у; 3) ио = сов у; г я я Зя 4) ио — — С=сопев при — -<у<-, и ио=О при — <у< —. 2 2' 2 2 18.37. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглого цилиндра 0 < г < Я при условии, что в цилиндре вьгделяется тепло с плотностью у(г,гр) и на границе г = В поддерживается температура и„(И, у) для следующих у и и,,: 1) У=Ус=сопев, ио =0; 2) ~наг, ио =0; 3) Угнг~ и,, =а; 4) У=е ", ио =огпу; 5) у'=вгпг, и,, =сову; 6) ~=огпу, ио =взп(у+ — ); 7) у = сову, ио = сов(у — -).
18.38. С помощью потенциала простого слоя решить задачу Неймана для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.39. Найти плотность диффундирующего вещества при стационарном процессе У(г,гр, з) внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса В при условии, что источники вещества отсутствуют и коэффициент диффузии Р = сопев, а на границе поддерживается заданный поток диффузии иг для следующих изг 1) из = сопев; 2) иг —— огпу; 3) иг —— сову.
18.40. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглою цилиндра радиуса В при условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью у(г,у) и на границе поддерживается заданный поток тепла из (В, гр) для следующих у и и,: 1) у =ус — — сопвс из = —— 7оВ, з Кз 2) у =г, и, = — —, коэффициенттеплопроводностий=1; 1 1п(1+ згз) 4) у=вшу, из =вшу, й=1; 5) 1 = сов гр, и, = сов у, й = 1. 18.41. С помощью потенциалов простого и двойного слоя найти стационарную температуру точек полуплоскости р ) О, если: Э И.
Метод по2пепциавов 221 1) на границе у = 0 поддерживается заданная температура ио(х); 2) на у = 0 поддерживается заданный поток тепла, т. е. — = и2(х). Источников тепла нет. 18.42. Найти распределение потенциала электростатического поля внутри двугранного угла при условии, что его граница заряжена до потенциала Уо = сопзФ для следующих случаев: 1) х>0, р>0, — со<2<со; 2) 0<у<ус ус<-, 0<т<оо. 18.43. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара ~х~ < Я. 18.44.
Найти стационарное распределение температуры в шаре т < Я при условии, что в шаре выделяется тепло с плотностью у и на границе т = Я поддерживается температура и,, для следующих 1 и ив. 1) 1'=,1о=сопзс, ио =0; 2) 1=т, и,, =о; 3) У=~/т, 18.45. Доказать, что решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара т < Я определяется формулой т П(т,д,~р) = — Я~и(р, В,у) о где и — интеграл Пуассона для шара, т. е. зл л и(Р,В,З2) = — ио(Я,ВыР2) 2 зшВ2пдддры о о где т — угол между радиусами-векторами точек (р, В, у) и (Я, Вы у2) дУ~ и ио — — — — — и)р=н. дп~ =и Указание.
Доказать, что если и(р,д,у), и(0) = 0 — гармоническая функция в области, содержащей начало координат, то и функ4р ция Шт,В,р) = -Я~ и(р,д,р) Р являетсягармонической. Далее воспользоваться условием разрешимости задачи, а именно / и„ио' = О. т=л 18.46. Доказать, что решение внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара определяется формулой л П(т, В, цз) = Я ~ и(р, В, р) Р где и(р,д,~р) — решение внешней задачи Дирихле для шара, т.е. 222 Г». )г. Краевые задачи д»я уравкекив з»»иккзичееквгв шика Краевые задачи для уравнений Гельмгольца Ьи + )ези = — у(х) и Ьи — кзи = -дх) в пространстве ставятся так же, как и для уравнения Пуассона. При этом решения внешних задач на бесконечности должны удовлетворять условию излучения (см.
формулу (8)) для уравнения Ьи+ )ези = -у" и обращаться в нуль для Ьи — Йзи = —,). 18.50. Решить задачу Лирихле для уравнения Ьи + йзи внутри и вне сферы )х~ = В при условии и))е~ д = о. 18.51. Решить задачу Неймана для уравнения Ьи + йзи ди! внутри и вне сферы )х~ = В при условии — ! = а. ди!)е)=Я 18.52. Решить задачу ди + йзи = -у(х), и))е) д = ио (х) внутри сферы )х~ = В для следуккцих У и ио: 1) у=уо=сопзз, ио — — О, й=В=1; 2) 1=1, ио =т/2ец1 "/4)зш1 — 1, Й=В»»1 18.53.
Решить задачу Лирихле для уравнения Ьи — йзи внутри и вне сферы )х~ = В при условии и)),)-л = а. 18.54. Решить задачу Лирихле для уравнения Ьи — йзи внутри и вне сферы ф = В при условии и)),)-л — — а соя 8, 0 < д 18.55. Решить задачу Неймана для уравнения Ьи — йзи ди ~ внутри и вне сферы ф = В при условии — ~ = а. ди 1)з)=л = О = 0 = 0 = 0 < я. = 0 зе е 3 Вз и(д,д,~р) — — ио (В,дпдз~), „з1пд1 Ю1 Йфы о о + дУ! ио = — ~ = ~4»=д.
ди 1,— и Указ ание. См. указаниек задаче 18.45. 18.47. Решить внутреннюю и внешнюю задачи Неймана для г ( В для ио — — ио —— а = сопзФ. 18.48. С помощью поверхностных потенциалов решить задачи Лирихле и Неймана для уравнения Лапласа для полупрострзвства хз >О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
