В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 31
Текст из файла (страница 31)
186 Га. 'е'. Краееые задачи даа уравнений зааинигичееноео агина 15.5. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О, -1 при 4/ условии ~у(О)~ < оо, у ( — ) = 0 в следующих случаях: Ц Ху = — (Вкгх у')', 2) Ху = — (16 х у')'. Л1 15.6. Найти функцию Грина оператора Х на интервале ~0, -) в следующих случаях: ~'2/ ц Ху = — совах уо+вш2х у', у(0) =О, ~д( — )) < оо; 2) Ху= — в1п х ун-в1п2х у', /у(0)! < оо, дИ = 0; ~2/ 3) Ху= — в1п х.уо-в1п2х у', ~у(0)~ < оо, у~ — )+у~ — ~ = О.
15.7. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О, Ц при условии ~д(0) ~ < оо в следующих случаях: ц Хд = — хгу" — 2ху+6у, д'(ц + зд(ц = о; 2) Ху = — уо+ — у, 2 д(Ц = 0; 3) Хд = -хгуа — 2ху'+2у, д'(Ц = 0; 4) Хд = — (ху')', д(Ц =0; 5) Хд = -хдн — д', д'(ц+у(ц =о; 6) Х,у хгдо 2ху'+ 2д, д(ц+д'(ц=о; 7) Ху = -хгди — 2ху'+ 2у, 2у(Ц+д'(Ц = 0; 8) Ху=-до+ )у, а>1, у(Ц=О; 9) Ху = — (хд')'+ (1+ х) д, у(ц = О.
15.8. Найти функцию Грина оператора Хд = -хедо — 4хгд' — 2хгд на интервале (1, 3), если у(Ц + д'(Ц = О, 2д(3) + Зу'(3) = О. 15,9. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О, Ц в следующих случаях: Ц Ху = — (е /гу') +е * /гу, у(0) = у(Ц = 0; 2) Хд = — е* уо — 2хе* у', у(0) = 2у'(0), д(Ц = 0; 3) Хд= -у" +(1+ха)у, у(О) = у'(Ц = О.
У к а в а н и е. Частное решение уравнения — уо + (1 + хг) у = 0 можно искать в виде у = е*~'>. 15.10. Найти функцию Грина оператора Х у = — (~Хху') + Зх в/яд на интервале (О, 2), если )д(0) ~ < оо, у(2) = О. 15.11. Найти функцию Грина оператора Х у = — (х+ Ц до — у', если ~у( — Ц) < со, д(0) = О.
15.12. Найти функцию Грина оператора Ху = — хгуо — ху'+ пгд, если ~у(0)! < оо, д(Ц = О. 15.13. Найти функцию Грина оператора Еу = -[(хг — Ц д']'+ 2д, если ~у(ц~ < оо, у(2) = О. 5 И. Задаче Штурме-Пидвимвя 187 15.14. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному урав- нению в следующих случаях: 1) Од зв — (1+е*)у" — е*у' = Лхзу, 0 < х < 1, д(0) — 2д'(0) = О, у'(1) = 0; 2) Ьу = — (ха+ 1)у" — 2ху'+ 2у = Лу, 0 < х < 1, д'(0) = О, у(1) — у'(1) = о; 3) Ьу = — Я+е2 у" — у' = Лху, 0 < х < 1, у(0) = = Лд'(О), у'(1) = О; 4) йу ж — (1 — хз)д" + 2ху' — 2у = Лд, 0 < х < 1, у'(0) = О, !у(1)! < 5) Ьу = — сов4 х у" + 4 в1п х сове х у' т Лху, 0 < х < —, 2у(0)— 2' — '(О) =, )у®) < б) Ьу = -х~у" — 2ху+(2сов х+1)у= Лу сов2х, 1<х<2, д(1) =О, д'(2) = 0; 7) Ьу=-умтЛу, 0<х<1, д'(0)=у'(1)=0.
15.15. Свести к интегральному уравнению нахождение решений -2ху" — у' = 2Лз~ду, 0 < х < 1, при граничных условиях !пп (з/х ° у') = О, у(1) = О. м->О 15.16. Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения -ху" + у' = Лд, 1 < х < 2, при граничных условиях у(1) = т у'(2) = О. 15.17. Свести к интегральному уравнению нахождение решений каждого из следующих уравнений при указанных граничных усло- виюс 1) -(1+ х ) д" — 2хд'+ Лу = О, д(0) = у'(1) = 0; 2) -е*у" — е*у'+ Лу = О, у(0) = О, у(1) + у'(1) = 0; 3) -у +Лу = 1(х), д(0) = ад'(0), Ь) О, у(1) = 0; 4) -хд" — д' + Лхд = О, !д(О)!< о, д(1) =О.
15.18. С помощью функции Грина решить следующие задачи: и 1) — — — —" = Дх), 1 < х <е, у(1) = О, у(е) — еу'(е) = О, 1+ х (1+х)з где е — основание натуральных логарифмов; 2) — змдм — 1хзу' — 2~тут~(*), 1< <2, у(1)=0, у(2)+д'(2) =О; 3) — — у" — — д' = Дх), -1 < х < О, 2у( — 1) + у'(-1) = О, 1 — х (1 — х)з !у(о)! < 4) — (1+ сов х) у" + в1п х у' = Дх), 0 < х < —, у(0) — 2у'(0) = О, д('-,) =О; 5) -у" + — у = Дх), 1 < х < 2, 2д(1) = у'(1), у(2) + 2у'(2) = О.
188 Га. К Краевые задачи даз уравнений зааиппзическоео типа 15.19. )(оказать, что краевая задача — до + д(х) у = ~(х), у'(а) — Ьу(а) = сз, эквивалентна трем задачам Коши: 1) д'+д = д(х), д(а) = — !з; 2) 1" — д(х) У = — Дх), У(а) = сз, 3) у'+д(х)у = т (х), у(Ь) = У к а з а н и е. Факторизовать оператор у'(5) + Ну(5) = с Ответы к В 15 х(1 — ~), 0<х<~, 1 ~(х+1)(2 — (), 0<х< 15.1. 1) 2)— Ц1-х), Р<х<1; 3 !(Р+1)(2-х), Р<х< ~(х+Ь)(~ — 1), О<х <~, 3) —— "+ 1 1(«+ й)(х — 1), «< х < 1; 1 ~вшх в!п(1 — (), 0 < х < (, 4) —, в«п1 (в!п(1 — х) в!п~, ~ < х < 1; (в!их+ совх)~ в!и«+ сов«), 0 < х < «, Гс«51+1 с4пх+совх)(в!п«+сов«), «< х < 1; ~с«31+! ~с«3 ! ) в!зхвЬ(1 — «), 0< х <«, вь1 ( вЬ«вЬ (1 — х), с < х < 1; ) (аз +с *)(е«+ ее «), 0 < х < с, 2(е~ — 1) ((е«+е «)(е'+ ез '), С < х < 1.
) 1 1 2 — 1<х<«, !п-, 1<х<с, 15.2. 1) 2) 1 1 «<х<2; )и —, «<х<2; 2 — !пи 1/1 2з 1<«<2, — ~ —,— -), 1<х<с, (,~з «<х< 2; — ( — — — ), С<х<2. «8х(1 — 18«), 0<х<с, 15.3. 1) «8 «(1 — «8 х), с < х < —; 4' В 16. Задача Штаурма-Лиуаиааа 189 — в!пх(ч/2в!и~ — 1), 0 < х < ~, 2) — в!п ~ (~/2 вшх — 1), ~ < х < —; ~(С8 х + 1) !з8 с — 3), 0 < х < ~, 3)— 4 ~(18 ~+ 1ИФ8 х — 3), ~ < х < —. к — (1 + агс$8 х) (агс18 С— 4 а+4 4 — (1 + асс!8 ~) (агс18 х— а+4 15.4. 1) -), 0<х<с, -), ~<х<1; хз(( — са), 0 <х <с, 8 4з!х — хз), ~ < х < 1. 15,5. 1) — сс8 с — с + (1 + — ), О < х < с, — с18 х — х+ (1+ — ), С < х < —, !и (~Г2 вш с), 0 < х < с, 2) 1п (~/2 в!и х), ~ < х < —; агс18х( — — агсг8~+1), 0 < х < ~, < 2) агсй8с (- — агс$8х+ 1), с < х < 1; 3) (1+ з/Загсз8 — )( — — агс18 — ), О < х < ~, "+2иЗ (1+ ~/Загсв8 ~ )(- — агс18 х ), С < х < 1; [(х — 2)з ~ [ !~ 2)з~ 0 < х < ~, 5)— [(4 — 2)з — — 1[ — — (х — 2)31 4 < х < 1! 5 х 4 2 ~ | ~ ~ з ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ? ~ ! ! ~ ~ 3 ! ~ ~ ~ ! ~ ! ~ ~! — — 1п — (1п — — 1п 3), 0 < х < ~, 1 2+х l 2+4 41иЗ 2 — х~ 2 — ~ 1 2+с / 2+х — — 1п — (!и — — 1и 3), ~ < х < 1; 4!иЗ 2 †~ 2 — х — ( —,— сз), 0<х<с, — ( —,— хз), с<х<1; 190 Гв.
'в. Краевые эвдач» д,ав уравиеиий элли»ига»гакаев »гиии -Сцх, 0<х<с, 15.6. 1) — Сд~, с<х<у 3) СК~+1, О<х<~, сс8 х+ 1, с < х < —. сад 6, О < х < с, 2) в ссдх, ~<х< —; г — о<*<~, в з' с<х<1, в (- — сг), 0<х<с, 2) — (- — хг), с<х<1; 15.7. 1) Š— (2~+ — г ), О < х < 6 — !п~, О < х < ~, х/ 11 - (2х+ — ), ~ < х < 1. 1 1пх 1 < х < 1~ Е 1 — 1п~, 0 < х < ~ — (С + 2С ), О < х < С, 5) 6) 1 — )пх, с<х<1.
в(х г2х-г) с<х<1. — хГг, О<х<6 — х'(~' — 11 '), О<х<6 1 1~ — г че< <1. — с'(х' — х~ '), ~<х<1; 1 — 2а е г' е'+~ ~ — Ф, 0<х<с, 9) 4 е'+Е ~ — ~й, с<х<1. 1 — 1<х<с, 15.8. — с<х<3. е~*+с )~г(Ф(х) — Ф(0))(Ф(~) — Ф(1)), 0 < х < ~, 15.9. 1) е~' +Е >~г(Ф(~)-Ф(0))(Ф(х) — Ф(1)), ~ < х < 1, х где Ф(х) = / е е ~где; — (2+1 'й) (~ 'в~2)~ 'в 0(вс 2) о о 1 1 -1 в +~ -"в) (~.-'*в~в) ~.-"в ~в*в 1; о о 1 З 18. Задача Штурма-Лиуаилаз 191 и — (Г" — с-), 0<х< с, зи — (х "— х"), с<х<1.
2и 15.12. х(1+ — 1п — + — (1пЗ вЂ” 1)], 1 < х < с, 8 4 — 1 4 г с+1 г ~ [1+ — * 1п — + — (1п 3 — 1)1, 4 < х < 2. з 15.14. 1) у(х) = Л( С(х„~)(зу(~) Щ, о х — 1п(1 + е*) + 1+ 1п 2, 0 < х < с, где С(х,() = 4 — 1п(1 + ез) + 1 + 1и 2, с < х < 1; à — Д1+ х агсй8 х), О < х < с, 2) у(х)=Л/С(х,с)у(с)Щ, где С(х,с) = ~ ( — х(1+~агсЗ8С), С <х<1; 1 3) у(х) =Л /С(х Р)Яу(Р)г(Р о ~ — 1п (е *+ Д+ е з*) + 1+ 1п (1+ ~Г2), 0 < х < С, где С(х,() = — 1п(е з+з/1+с зЗ)+1+!и(1+Я), С <х<1; з ~~-1п — — 1), 0<х<~, 4) у(х)=Л/С(хс)у(ф)с1с, где С(х с)= х~4Ь вЂ” "-1), ~<х<1; Ь 1 — 4 )' а/з зузх — +зкх+-, о< '<6 1 5) у(х) Л / С(хФОЬЫ)~К1 где С(х1 ) 3 о 8а+З8~+1, ~<х<-; 3 2' 2' Куз(х) уз(с), 0 < х < с, 3) где К = (е ' + / е ' й) Куз(() уз(х), С < х < 1, ии) = ~~' 1 -"а, им~ = ~~'(.— -1.-"а).
о а ((з 8зГ2~-з!з) 0 < ~ < х, 15 10 28г2 — (хз — 8~/2х згз), ~ < х < 2. 28~Г2 — 1п (4 + 1), — 1 < х < ~, 15.11. — 1п(х+1), ~ < х < О, 192 1'в. 'е'. Краевые задачи две ураеиеииа зевииеаичеекого ааааа б) у(х) = (Л вЂ” 1) / С(х, ~) сов 2( у (4) Щ, 1 ~(х — х г)(Я+4( в), 1<х<С, . С(*,)=-1 ((ф — ~ г)(х+ 4х г), ( < х < 2; 1 7) у(х) = (Л вЂ” а) ( С(х, с) у(с) е(~е, о ~ сов 1/ах сов 1/а(С вЂ” 1), 0 < х < С, где С(х,с) = — . а ) 0„ ~/а в1п е'а (сов 1/а(' сов 1/а(х — 1), С < х < 1, а ~ (ви)в, и целое. (2( — 1+Я), 0<х<~, 15.15.
у(х)=Л~С(х с)у(с)М., где С(х с) = ( 2(-1+1/х), С'«*1. г 1( в ц 1< <(. 15.16. у(х) =Л~С(х,С) У, еЦ, где С(х,С)= 1 — (се — 1), с < х < 2, ( агс18 х, 0 < х < С, 15.17. 1) у(х) =-Л~С(хС)у(С)Щ где С(хС)= ~ (агс18~, С<х<1; 1 ( (- е *+ 1) е е, О < х < с, 2) у(х) = — Л1 С(х,4) у(~) еЦ, где С(х,~) = ~ ~( .-+ ).-*, ~<.<1, 1 1 3) у(х) = Л ~ С(х, ~) у(~) И~ + / С(х, ~) ~(е) еК, (х + й), 0 < х < с, где С(х,с) = — (Я + й), 4 < х < 1; 1 '!пС', 0<х<С, 4) у(х) = — Л/ С(х,С)Су(С)Щ, где С(х,С) = ~ 1пх, с<х<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
