В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ВУз 1 дту (17) тйвд дд ~ дд ) втвт д дете Потребовав, чтобы функция У(д,тр) была ограничена на единичной сфере, и учитывая, что У(В, тр + 2я) = У(В, тр), будем искать решения уравнения (17), полагая У(В, <р) = РУ(В) ° Ф(у). Мы получим Ф" + рФ = О, Ф(ет + 2я) = Ф(тр), откуда 1т = тз (пт целое) и Ф«,(ет) = Ст«сов твр+ П в1ппзтр (19) — решения задачи (18).
Функция Ит(В) определяется из уравнения в,вб .-"В(- 'ИВ) ~ — — — "тб)~=~ она должна быть ограничена при В = 0 и В = тт. Полагая в (20) с = сов В и обозначая Ит(В) = Х(сов В) = Х(С), запишем уравнение (20) в следующем виде: (18) — (1 — ~з) ~~ + Л вЂ” , '" , Х = О, (2Ц Уравнение (21) имеет ограниченные на отрезке [-1, Ц решения лишь при Л = п(п+ 1), где и — целое. Частными решениями уравнения (21) при Л = п(п+ 1) являются функции р(т)(д (1 рз)«т/з " 1 «Ы) где Р„(с) (п = О, 1, ...) — полиномы Лежандра. Возвращаясь к переменному В, найдем искомые частные решения уравнения (20): Р~ ~(сов В) = в1п™ В (Р„(совВ)), еу (22) причем Р~ ~(сов В) = 0 при тп > и.
Функции Р„' ~(сов В), определяемые формулой (22), называются присоединенными полиномами Лежандра. Таким образом, частные решения уравнения (17), ограниченные на единичной сфере, имеют вид 200 Х'а. У. Краевые эадачи доя ураенение эеаиюпичееного ганна У„(В, у) = аоР„(соя В) + ~1 (аь соя Ьр + Ье яп Ьр) Р~~" 1 (соя В). (23) е=з Так как общее решение уравнения (16) имеет вид Я„(г) = А„г" + — „",, ге+' ' то искомые частные решения уравнения (15) таковы: и„(г, В, р) = 2„(г) У„(В, Я = (А„г" + — ", ) Ух (В, р), здесь У„(В, у) определяется формулой (23).
Рассмотрим внутреннюю задачу Лирихле для сферы радиуса Л с центром в начале ююрдинат: найти решение уравнения (15) при (24) Решение этой задачи (и других внутренних задач) следует искать в виде ь (.,В,р)=,' (-") У,(В,р), (25) а=о причем в случае задачи (15), (24) в качестве функций Уе(В, оэ) в (25) нужно взять те и только те функции, которые присутствуют в рязло- жении ДВ, ~о) в ряд по сферическим функциям Уь(В, ~р) У(В, р) = ~ У,(В, р). а=о Решение задачи (15), (24) в точке Мо(го, Во, уо) можно представить интеералом Пуассона зх х Вэ гэ и(го,до,уо) = — l l ДВ,з~) ~, о ... я1пВЙВйр, 4яЛ э э ' (Вэ — 2Кгосоз у+го~)~~~ о о где соз7 = соя В соя Во+ я!пВ зшВо соз(р — ро)- Решение внешней задачи Дирихле для сферы радиуса В (и других внешних задач) слелует искать в виде К а+1 и(г,д,у) = ~~~ Й Уь(В,оэ).
э=о Наконец, функцию, гармоническую в сферическом слое Н1 < г < Нз и принимающую заданные значения на границе этого слоя, нужно искать в виде г е хе1 и(г, В, р) = ~ ( г ) Уе(В, ж) + ~ ( — „') Уе(В 'р) я=о я=о где Уе(В,у) — сферическая функция вида (23). 201 В 10. Метод разделение переменнив Выпишем несколько присоединенных полиномов Лежандра и функ- ций 1'з(0, !г) в явном виде для й = О, 1, 2, 3: Рд1~!(созВ) = в!пВ; Рг! !(ссжВ) = 15в1пгВ созВ; Рг! ! (сов 0) = 3 в!п В сов В; Рз !(совВ) = 15вшзВ Рг (созВ) = зшВ; Р„(созВ) = —; зш 0; 0! . 15совг0 — 3 (н) (2~)! 1 о (О, 9~) = ао, Уд(В,у) = а1 ссеВ+ (Ь| сову>+ од в!пу) вшВ, Уг(0,!о) = аг(Зсозг  — 1) + (Ьг оси!г+ сг в!пср) з!пВ совВ+ + (Вг сов 2!г+ ег в1п2!г) зшг В, Уз(В,у) = аз(5созг — ЗсозВ)+(Ьзсоз!о+сов!пд) вшВ(15совг — 3)+ + (Взссе2!г+ егв!п2!о) в!пгВ совВ+ (/зсовЗу+ Воз!пЗ!о) з1пзВ.
16.20, Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы и такую, что: 1) и~„-1 = сов (2гг+ — ) вш 0; 2) и~„-г = (зшВ+з!п20) з1п (у+ — 1; б/' 3) и)„=д = в!пВ(з!и!е+вшВ); 4) и„)„-г = 3!пюВ в!п10!р, и(е о — — 1. 16.21. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса Н с центром в начале координат и такую, что: 1) и~, л = з!и (2!г + — 1 з!пг В сов В; б/ 2) и)„— л = з!и (З~р+ — 1 в!пзВ; 4/ 3) и(„-л = зшг В соз (юг — — ! + в!и В в!п!о; 4/ 4) (и+и„)!е — и = з!и В [~(2 сов(2!г+ — ) +2созгу1; 5) (и+ и„)!„мл = в!пВ(в!и!о+ сову созВ+ в!пВ). 16.22. Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и такую, что: 1) и„)„-г —— зш( — — !о1 з!пВ; 2) и!ты — — совгВ зшВ вш(!г+ — 1.
!4 / 3/ 16.23. Найти функцию, гармоническую вне сферы радиуса Я с центром в начале координат и такую, что: 1) и(„-л = в!пгВ совВ сов(3!о+ — 1; 2) и!,-л = з!п100!е з!и'~0; 4/' 3) (и — и,)!,-л = в!пВ сов — з1п ~~р+ — ). 2 1 б! 202 Ге. !т. Краевые задачи дае ураененив эееипп1инееноео 1пипа 16.24. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < т < 2 и такую, что и)„1 = Л(д,у), и),-2 — — /2(д,у), где: 1) /1 = в!пд вшу, Уз =О' 2) /1 = Зв!п2у вшгд, /2 = 3 сеид; 3) /1 — — 7вшд сову, /г = 7созд; 4) /1 — — в!и 0(3 — з1п2у), /2 = 4/1, 5) /1 — — 12в1п0 совг — сову, /2 = О; 6) /1 — — з1п2у з!пгд, 2 ° гд, 7) /1 — — сову з!п20, /г = зшу в!п2д; 8) /1 — — 31в!п20 в!пу, = 31з1п 0 сов 2у; 9) /1 — — совд, /г =сову(12вшд — 15вш 0).
16. 25. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < т < 2 и такую, что: 1) (Зи+ и„)(„-1 = 5в!п~ д в1п2У, и)т — г = — сов 0; 2) и(„-1 =з1пд зшу(5+ 6совд), и„!„-г — — 12зш20 з!пу; 3) и!т=д = 1, итДт-г = 15совУ(созгд вшд+з!пУз!п~д совд). 16.26. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1/2 < т < 1 и такую, что: 1) и!т=112 = О, и(т-1 — — 6созгу вш д; 2) и)т=172 = ЗОсоз у в1п д сов 0, и!т-1 = О. Ответы к 316 16.1.
1) — (1+тгсоз2у); 2) — (Зз!пу — тгз!п2у); 3 тг т 5 3 3) — + — соз2у+ — сов4у; 4) — + — т с<ж4у. 8 2 8 ' 8 8 16.2. 1) Атсозу+С; 2) — тгсов2у+С; ! тэ 3) — ~Зт з!и у — — вш Зу + С. 4 ! ЗВг Здесь С вЂ” произвольная постоянная. 16.3. 1) — з! р; Ат 4То е 7 т ~2~+1 в!п(2п+ !)у 2То Яг — тг = — вгс!8 . — То. п=о ~Я/ 2п+ ! и 2тЯзшу !пт 3 !пт Г 2 1 16.4. 1) и1 + (иг — и1) —; 2) — — — + 11 — — — т ) соз 2у. 1в2' 2 !в2 ~Зтг б ) А (тг Вгг) + и1 — иг+А(Вг — В1)/4 ! Вг 4 !вЯг — !пЯ1 т ' з 1б.
Менгад разде»ение пере»генных 203 16 6 (Дг гг) з1п2ей. 24 Ахв й й Аг вьв21» У к а з а н и е. и = о + го, где о = — — (х + р ) =— 12 24 частное решение уравнения Пуассона, а гв — решение уравнения ЛапА ласа, удовлетворяющее условию нг~,=н = — Ве зш 2ей. 24 х(а х'( х(ь-в) 16.7. А Ь . на в а, ггх зш — + В з1п —. ь Ь а Указание. Решение искать в виде и = о+нг, где с и ю— гармонические функции такие, что о~,=о —— Авш —, о(а-а = о(в-о —— хн хх о)в ь Ор гз(а гг гз)а а го)в ь Ог гз)в о Взгп а йпйй-.й. йнйп 16.8.
— 2 4щ ео вЬ Ь в1в Ь .=о (2„„1),Ь Й"+') ха Ь (2п+1 вх (2п+1 ггз 4во ~ ( ц» 2Ь 2Ь »=о (2» + 1) сЬ вЂ” ~- гга 2Ь » анеле:е 1баа 1 ~ 2а . (2гг + 1)ггх 7 в е (2 +1) (2+1) Ь Вш йа 2» й — коэффициент внутренней теплопроводности. У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения гЬи = —— Я Ь при условиях н)е=о = и)в=о = О, на)»»а = ив(в»ь = О. 16.11. 1) Е а» ~а Уо(р' — ), где 7г» (и = 1,2,...) — положи»=г вЬ п»а л и 2 тельные корни уравнения Уо(гн) = О, а„= ( гно(г) Уо ~ — ) Й" Яйдй(д.) l '1 Я У' вЬ сов е о 2) Е ап ь Уо(7г»-), где 7г» (и = 1,2,...) — положитель »»и Ь На„'. 1 Я) И И ные корни уравнения,7г(7г) = О, а» =, / гно(г) Уо (~— "г) Аг Яв.Уй(вг„) о (Указание. Краевые условия имеют вид )наг»о~ < оо, н)г=о = О, н ! =я — О, н! =ь — ио(г) ) и» ее 3) 2 а„— ~-,Уо(~— "-'~), где,и» (и = 1,2,...) — положитель(„), и ные корни уравнения 7ьУг(7г) — ЬгВУо(7г) = О а» = —,(1+ — 'й ) 7г» 204 Га.
У. Краевые эадани дае уравнений эееинн>нивского н>ина х [,7а(цн)) г )' гио(г),7а(»вЂ” "-'11сЬ (У к а за н не. Краевыеусловияиме1В/ о ют вил (и!„-е!(оо> и!,=о=О, (и„+Ь|и)!,=и = 0> и!, л = ив(>) ); л 4) — ц [> ( — >)! (7щ» — а) ~ — > ( — >), о .7е(4х) — функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргумента; ,с л 5) — г (> ( — >)! (7Я>> — а) — > ( — ') >У о з а н и е.
Краевые условия имеют вид и,!,=а = и ! =л = О, и! =и = н.(л- ) 16.12. 1) 2 а,7а~ — )> где 7>а (и = 1,2,...) — полой,л ~ В)' жительные корни уравнения 7о(7>) = О, ан =,, Ь вЂ” козф2а>7 лд17>(л.) ' фициент теплопроводности (У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения сзи = 0 при краевых условиях -Йи,),-а = д> и)„-л = = и),-л = 0.); аа(Л- 1 д /7ь>г1 2) ~,' а„,7е ~ — "), где 7сн (~ = 1,2, ...) — положитель- >ьЛ 1 а )' д ные корни уравнения 7>.7з(7>) — ВЛ1,7а(7с) = О, Ь1 — коэффициент теплообмена, а„= 2Ьз|Вз>7Ь '(Вяля+ 7>~) ~(,7з(7>„)! 11>„з (У к аз ан и е.
Краевые условия имеют вид (и„+ Ь|и) !„=л = О, — Ьи,!,=а = >7, и(,-» = 0.). 1 3) — ~ †) Рз(сов д) — †; 4) — — — ~ †) Рз(созд). 3 '1В) 3' 3 3 1В) 4 2гэ 16.14. — + Рз(сов 6). ЗВ(В+ 2) 2В' В' 16.15. 1) — — + — (Зсовзд — 1) + С, где С вЂ” произвольная постоянная; вольная постоянная; 71з 3) С вЂ” — — сов 6 где С вЂ” произвольная постоянная. 2 16.16. 1) Задача разрешима: и = Аг ом 6, где С вЂ” произвольная постоянная; 2) задача не имеет решения. В 16. Метод роэделение переззеннив 205 16.17. 1) — +; 2) — 1- — 1+ тг(Зсозг 0 — 1)~.
Зг Згз 3 (г 8 4 /8 81 / 4 2 128 1 3) — — — + ( - г — †) Р1(омВ) + ~ — гг — †) Рг(созВ); Зг 3 ~7 7гз) ~93 93гз) З2 /, 4) — (1 -) + — ( — — г) Р1(соз0) + — (гг — — ) Рг(совВ)! З1 г) 14Ь ° ) 9З~ ) 5) — — 5+ 4 ( — — 1 ) Рг(саз0). т 1гз 0 ( 0 ( —. 16.19. из+из + и1 — из ~ ( ц„з 5-7 "(2п — 1) (4 +3) х 2 2 -о 2-4 ° 6...(2п+2) Г 2 о+1 х Рг„+,(соз 0) (-) 16.20. 1) ггсоз(271+ — ) з!п20; 2) (гв!пВ+тгз1п20)в!П(91+ — ); 2 г1О 3) — — — (Зсоз20+ 1) +та!ПВ з!П)о; 4) 1+ — вш'о 0 в!и 10)2. 3 б 10 16.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
