В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1) ( — ) з!П(2(о+ — ) вш20 созВ; 2) ( — ) Б1п(3(о+ — ) з1пгВ) 3) (1-/)) вш~0 сов(2у — — ) + — в!пВ в!ну; 4) — + ( — ) ~ — (Зсов 0 — 1)+ — (2соз2оз — з1п2(р) вш 0 г Я г з ~Ы ~ з(2+Я) 2+21 Указание. (и„+ и))„-и = — Р (созВ)(2сов2~р — з!П2у) + —— (2) 2 — — Рг(совВ), и = А + ВтгРг(созВ) + гг(Ссов2(о + Рз!п21р) х 2 3 х Рг( )(совВ) ); 2 т .. гзсзпВ совВ оси)е тг Зсовз — 1 5) 3+я+1 з!Пзгвзпд+ щВ+2) 3 я(0+2) (У ганне.
(и+ и„)(„-д = вш71Р, (совВ) + — созуР2 (созВ) + —— (1) 1 (1) 2 2 3 — -Рг(совВ), и = А+ В( — )з!п(рвшВ+ С( — ) сов(рР2 (совВ)+ 2 /гЪ ~л) +Р ( — ) Рг(совВ) ). 1 .. /в 16.22. 1) — — з!пВвш (1- — у); 2гг Ь4 2) [ — Рз (совВ) + — Р, (сов 0)) в!и ((р + -); Лз В 1о1 16.23.
1) (-) з!пзВсозВ сов(З(о+ — ); 2) ( — ) в!П100уз!п'~0; 206 Гл. К Краевые задачи дла уравнение эллиннгическоео юаииа з) ~ — "(-") тГ< в),. ' (-") фа е(л (ж .-'-) (У к аз ан не. (и — ит))„— н = [-Рг0~(созВ)+-Ргб~(совд~~ зш(у+-), = (А(з) Р~'~~ а~В( — ) Р/1 6$~ ~ (е+-)). 16.24. 1) — ~-т+ — ) в1пу в1пВ; 1/ 81 71 тг) 12 / 1 1 / 98 Зт 1 2) — ~т — — ) совВ+ ~ — — — ) вш2у зш 0; Т ~ тг) (,31 ' 31 ) 3) 4 (т — — ) соз В + ~ — — т)) зш 0 соз у; тг 4) (14 — — ~1 Ра(совВ) + та(1 — Зсозг 0 — в(п 0 ° вш2у); 12 .
/4 т1 12/8 тг1 5) — сову в1пВ ~ — — -) + — ~ — — — ) сову зш 2В; 7 1тг 2) 31(тг 4) /8 1 . 1 г 1 / 8 6) [~ — сов2у — — вш2у) т + — ~ — — соз2у+ — в1п2у)(в1п В; 131 31 ) тг ~ 31 31 ( г/ 8 . 1 1 /32 8 7) [т ~ — — сову+ — зшу) + — ~ — сову — — з1пу)) з1п20; '1 31 31 ) тг 131 31 8) ~ — — т ) вш2В вшу+ (8т — — ) вш 0 сов2у„ /32 г1 ., / г 81 г ~тг ) .3) 12 яп  — 15 вшг 0 16.25. 1) ~ — — т) сов В+ ~т — — ) з1п 0 с4п 2у; 1тг т 2) (т+ — ) вшВ вшу+ Зт вш2В зшу.
3) 1+ — (т — — ) Р (созВ) сову+ — (т — — ) совуРг (созВ)+ 12/ 11 (ц 18 / з 1 1 (0 97 1 тл) + — ~т — — )в(п2уРз (созВ) ~Указание. ит(т-г =2Р (совВ) х (0 97 1 тл) х сову+ -Рг (созВ) в1п2у+ ЗРг (совВ) оиу, и = (ат+ — ) х (г) . (г) Ы 3 х в(пВ сову + С + — + ~~~ + — ) Рг (совВ) сову + ~Й + — ) х 4 / з " 1 (г) з т .4) з .) х Рг (сов В) в(п2у.). 16.26. 1) 4 — — + — ~ — — 32т ) Рг(совд)+ — ~32т — — )Р (созВ) сов2у 2 2/1 11 99 т 31(те ) (У к а з а н и е.
и(„-г = 2 — 2Рг (сов 6) + Р ~(сов 6) сов 2у.); з 17. Фумкиия Грина оператора Лопяоео 207 2) — ( — — г)совд+ — ( — — г )Р (совд) сов24р+ — (г — — ) х 12 71 8 /1 зт (з) 48 тз 11 7 1гз 4 127 1ге 4 127 1 г4) х Рз(сов В) (У к а ванне. и)„— 41г = -6Рз(совВ) + 6Рз(совВ) + + Рз (совд) сов2вз, и = (ат+ — )Р,(говд)+(сгз+ —,)Рз (совд) сов24о+ + (д з+ ~ )~ ( озд) ) 817. Функция Грина оператора Лапласа еруикииеб Грина (внутренней) задачи ((ирихяе для области С б Яз называется функция У(х, у), х б С, у б С, обладающая свойствами: 1 1) У(х,у) = 4я(х — у( + д(х, у), где функция д — гармоническая в С и непрерывная в С по х, при каждом у б С; 2) й(х, у) ~,ев = О при каждом у б С, где Я вЂ” граница области С. Для неограниченных областей С требуем, чтобы д(х,у) — + О при (х! — + оо.
Если С вЂ” ограниченная область и Я вЂ” достаточно гладкая поверхность, то й существует, единственна, имеет правильную нормальд~я ную производную — на Я при каждом у б С и симметрична, т. е. до У(х, у) = й(у, х), х б С, у б С; д(х, у) непрерывна по совокупности переменных (х, у) в С х С. Если решение внутренней задачи Пирихле для уравнения Пуассона ези = — 1(х), и~в = ио(х), где 1 б С(С) и ио б С(Я), имеет правильную нормальную производную на Я, то оно определяется формулой и(х) = — / *'" ио(у) 4Ьз+ / У(х,у) 44(у) 44у.
(1) з ди„ 5 с Пля ряда областей функцию Грина можно найти методом отврахееиий. 17.1. Построить функцию Грина для следующих областей в Лз: 1) полупространсгао хз > О 2) двугранный угол хз > О, хз > О; 3) октантхз >О, хз >О, хз >О. 17.2. Построить функцию Грина для следующих областей в В~: 1) шар (х) < Л; 2) полушар (х! < П, хз > О' 3) четверть шара (х) < В, хз > О, хз > О; 4) восьмая часть шара )х( < Я, хз > О, хз > О, хз > О. 1Т.З. Пользуясь методом отражений, построить функцию Грина для части пространства, заключенного между двумя параллельными плоскосткми хз — О и хз — 1 ° 208 Гл.
э'. Краевые задачи длв уравнений эллиатнческавв тина Ниже даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых могут быть найдены с помошью соответствующей функции Гринь из задач 17.1 — 17.3 и формулы (1). 17.4. Найти решение задачи Лирихле Ьи = — У(х), хз > 0; ифвэ=о = ио(х), для следующих у и ио. 1) У, ио — непрерывны и ограничены; 2) 1=0, ио = сов х2 собХ2', 3) ~ = е *' з1п х 2 соз хз, ио = 0; 4) У=О ио = й(хз — хз); 5) э = О, ио — (1 + х~2 + х22) б) У=2(хз+х~~+(хо+1)2) 1 ио = (1+хз+х22) 7) У=О ио = 1+1, х2 > О.
17.5. Найти решение задачи Пирихле Ли=О, хз>0, хз>0, и)я=ив(х), ио — кусочно непрерывна и ограничена. 17.6. Решить задачу 17.5 со следующими ио. 1) иа)ээ-Π—— О, иа)„-О =Е ~" ЗШ5Х2, 2) ио(э,=о = О, ио(э,=о = хз (1+ х, + хз) 2 2 Ю. 3) ио(ээ=о = О, ио(ээ=о = д(хз — )хз(). 17.7.
Найти решение задачи Лирихле для шарь 1х( < Гп Ьи = — ээ(х), (х( < я, и((э~=и = ио(х). 17.8. Решить задачу 17.7 для следуюших 1 и ио.. 1) у=а=сопз$, ио=О; 2) ~=)х)а, и=0,1,2,..., ио = а; 3) у=с~*~, ио=О. 17.9. Решить задачу Пирихле для уравнения Лапласа для полу- шара )х! < Я хз > О.
1Т.10. Найти решение уравнения Пуассона сзи = -1((х(), у Е Е С(а < (х( < Ь) в шаровом слое а < (х! < Ь, удовлетворяющее крае- вьпа условиям ищ= = 1, и(~эц=ь = О. Функцией Грина задачи Лирихле для области С С Гсз явля- СТЛСЯ 1 1 У(2, ~) = — 1и — + д(х, ('), 2к )э — Д где я = х + 2у Е с', (' = С + 20 Е С. У(2, ~) обладает всеми свойствами функции Грина в Нз (см. начало 2 17). Решение задачи Пирихле Ьи= -Дя), я Е С; и(я =по(э) в В (если оно существует) опре- .4 17. Фрнниия Грина оператора Логнгосо 209 делается формулой, соответствующей формуле (1) в Гсв. В случае, когда область С вЂ” синосвязная с достаточно гладкой границей Я и известна некоторая функция иг = иг(в), конформно отображающвл С на единичный круг ]го] < 1, функция Грина находится по формуле 1 1 иг(в) — гв(~) (~Ф0 2 и ) ( )]з ~(~~0 1 ( ) (ь) 17.11.
Найти функцию Грина для областей: 1) полуплоскость 1ш в > О; 2) четверть плоскости О < агя г < —; 3) круг ]х] < гс; 4) полукруг ]х] < Л, 1гпв > 0; 5) четверть круга ]в] < 1, 0 < вгя в < у 6) полоса 0 < 1гп в < я; 7) полуполоса 0 < )гп в < я, Не в > О. 1Т.12. Найти решение задачи Лирихле Ьи = О, у > 0; и]„— о — — ио(х) для слецуюцгих ио(х): 1) ио(х) кусочно непрерывна и ограничена; (1, хб(а,Ь], 2) ио(х) = д(х — а); 3) ио(х) = ~ О, хЕ (а,Ь]; 4) ио(х) = †,; 5) ио(х) = 2 6) ио(х) =, в; 7) ио(х) = сов х.
17.13. Найти решение уравнения Ьи = 0 в первом квадранте х > О, р > О со следующими краевыми условиями: 1) и]в = ио(х, у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция, где Я состоит из полупрямых (х = О, у > О) и (у = О, х > 0); 2) и] =о=О, и]в-о=1; 3) и] -о=а, и]„-о=Ь; 4) и],=о = О, и]„=о = д(х- 1); 5) и],-о = О, и]„-о —— 6) и]и=о = вшу, и]в=о = вшх. 17.14. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Ьи = О, 0 < у < я со следующими краевыми условиями: 1) и]в = ио(х, р) — кусочно непрерывная, ограниченная функция, где Я вЂ” граница полосы 0 < р < я; 2) и/„-о = д(х), и]„-, = 0; 3) и]„-о —— д(х), и]„- = д(х), 4) и]„=о = д(х), и]„ , = — д(х); 5) и/в-о = д(х), и]„- = д( — х), 6) и/„-о=совх, и]„-,=0.
1Т.15. Найти решение уравнения Лапласа ьги = 0 в полуполосе 0 < р < х, х > О, со следующими краевыми условиями: 210 Гл. У. Краевме задачи длл уравнений зллиптичееноео типа 1) и!в=о =1 и)в=о =О и(„- =0; 2) и)в=о = О, и)з=о = згпх, и)в=в = 0; 3) и!,=о = О, и!„=о — — СЬх, и)„-„= СЬх; 4) и)*=о = О, и)„=о = О, и)„= зЬх.
17.16. Найти решение уравнения Пуассона ези = -/(х) в круге )х! < Я пРи кРаевом Условии и)04 н — — ио(х) длЯ следУющих 1 и ио. 1) г', ио — непрерывные функции; 2) 7 = а, ио — — Ь; 3) Ут!х!", г«=1,2,", ио=О; 4) ~тз1п(х), ио=О; 5) г'=О, ио —— сову, где утехах, 0< у <2я. 17;17. Найти решение уравнения Лапласа 0 и = 0 в полукруге !х! < 1, Ьп х > О, при условии и)я = ио(х), где Я вЂ” граница полукруга, для следующих ио(х): 1) ио(х) — кусочно непрерывная функция; 2) ио! =з = зшу, ио)„=о = О, ио)рев =О, где г = )х!, у = агйх, 0 < у < 2я; 3) иа)е — з тО, ио! -о = 1, ио! —, =1; 4) ио! =г =сов, ио!о=о = ~/г, ио! —, =О. 2'.
17.18. Найти решение задачи Нирихле «Ьи=О, В.ех>0, !х — 5)>3; и!не =о = О, и!!в-Н=з = 1. Ответы к 3 1Т В ответах к задачам 17.1-17.10 введены обозначения Р « = (( — 1) Рь (-1)"Рз, ( — 1) Рз). 1Т.1. 1) — 2 4' .=о )* — у .! ' 1 ( цп~+пл« 3)— 4я „«=о )х — у «! 1/ Я 1Т.2. 1)— „где, как и всюду в задаче 17.2, 4 1, !х — у! !~)(~ — у')/" Ртн« = з Ртн«з )Ртн«)!Ртн«! = Н Г )у! 1 2) — 2( — 1)" ( г 3) — 2 (-1) "+" г 4) — ~ ( — 1) +"+" ( 4,,«=о 1)х — у „«! !у!!х — у'„«! ' В 17. Функция Грина оператора Пап «аеа 211 еа 1 17.3.— 4" а=-е (хг — уз)з+ (хз — уз)'+ (хз — (2п+ уз))з 1 (хз — уз)з + (хз — уз)з + (хз — (2п — уз))з У к а з а н и е (к задаче 17.4 и ниже).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
