В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 38
Текст из файла (страница 38)
диз )х — и) =и айВ Имеем «(х) = ., для внутренней задачи и «(х) 4я(йВ+ 3) язв йя ае '" для внешней. 4зг (сов й — йд вшйВ) 232 Гл. К Краевые задачи длл уравнемиа зллнпшичеепоео глипа 18.51. У к а з а н и е. Решение искать в виде потенциала простого слоя. оВ вшЙ!х! ! < аВ е' ~ ~ (в! (ЙВ сов Й — вшЙВ) ' ' )х! (юЙ — 1) ' 18.52. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2). ц зо (вш!х! ! !1 2) я цг о!4) вш)х! !х! ( вш1 /' !*! 18.53. См.
указания к задаче 18.50. аВ вЬЙ!х! аВ е ММ вЂ” —, (х(<В; —, !х(>В. В зз Й!х! сЬ Й)х! — вЬ Й!х! а( — ) совд, !х > В. !х!/ ЙВ+1 сЬЙВ-.ЬЙВ 'о' ' оВз вЬЙ)х! оВз ежов-Н) 18.55. — ! „„, !х! < В; — —, !х! > В. 18 56. 1) (е (1 — — ); 2) 1 — 2е вЬ!х! З г вЬ)х! /х/вЬ 1 ~Р !х! ' 18.57. и(х,у) = ио —. ле(Йг) уо(ЙВ) Указание. о есть решение задачи Ьи — Йзи = О, г < В, 3 19.
Вариационные методы (П) Пусть в ограниченной области 4,) С В" задано уравнение Пуассона — Ьо=у, (1) а на гладкой границе à — одно из граничных условий о(г =у (1) Оп !г (.-'"-~™)! = (П1) где о Е С(Г). Функция и е Н" (с)) называется обобщенным решением задами (1) при граничном условии (1), если ее след на Г равен у и она удовлетворяет при всех о е Н Я) интегральному тождеству ~(3гв41 и ° 8габ о) 4(х = ~ )и бх. (2) е Я Считаем, что функция д является следом на Г некоторой функции из Н~Я), а у Е .ОзЯ).
Функция и е Н" Я) называется обобщенным 333 .4 1У. Варианионные методы решением краевой задачи (1) при граничном условии (П1) (или условии (П)), где д б 1з(Г) и у б Ьз(9), если при всех э б Н Я) она удовлетворяет интегральному тождеству ~(йгади ° ягабэ)дх+ ~оиэдЯ = / уэдх+ / дэаЯ. (3) Я Г Ц г Если функции у,д, о достаточно гладкке (например, непрерывно дифференцируемые), то обобщенные решения являются классическими решениями соответствующих задач. Важную роль при ксследовании обобщенных решений краевых задач играет следующая Теорема Р исса. Пусть на гильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченный функционал 1(и).
Существует единственный элемент Ь ч Н такой, что !(и) = (Ь,и) (здесь через (Ь,и) обозначается скалярное произведение в Н элементов Ь,и). 19.1. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (1). Показать, что если и ч С'(Ц), то и(х) является обобщенным решением задачи (1), (1). 19.2. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (П1) (или (П)). Показать, что если и б С'(Ч), то и(х) юныется обобщенным решением задачи (1), (П1) (или (П)). 19.3. Если и(х) — обобщенное решенке задачи (1), (1) к и е б С Я) П СД), то и(х) является классическим решением этой задачи. 19.4. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (П1) (или (П)) и и е С~(Я) й С (ф, то и(х) является классическим решением этой задачи.
19.5. Доказать единственность обобщенного решенкя задачи (1), (1) при д = О. 19.6. Показать, что если функция д является следом на Г некоторой функции из Н'Щ (в частности, д Е С'(Г)), то обобщенное решение задачи (1), (1) существует. 19Л. Пусть в области Я задано эллиптическое уравнение Ци) = — 41э(рйгади) + д(х) и = у(х), (4) где р ч С~Я), пппр(х) = ра > О,д й С(ьв), у ч Хз®). Принадлежащая пространству Н'(ьд) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (4), (1), если при всех э(х) е Й1(9) она удовлетворяет интегральному тождеству /(рйгадибгайэ+ диэ) Йх = / уэдх Я Я и след ее на Г равен д.
Доказать, что пркнадлежащее Н" Я) классическое решение задачи (4), (1) является обобщенным. 234 Гл. К Крааеые ааоачи оая уравнения оааиппвическоео шипа 19.8. Показать существование и единственность обобщенною решения задачи (4), (1) прк д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.106. 19.9. Пусть в области ц задано эллиптическое уравнение Ь(и) = — ~~~ — (рб(х) — ) + д(х) и = Дх), (5) чука где вещественные функции р; Е С ф), р;.(х) = ру;(х) (з,д = 1,..., п) и для всех х Е (~ и любых вещественных (~ы ...,~„) справедливо неравенство 2 рб(х) Яр > 7а)Я~ с постоянной уа > О, д Е Сф), ьуэм У Е Ьз ф). Принадлежащая пространству Н~(с)) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (5), (1), еслк при всех и(х) Е Й~ ф) она удовлетворяет интегральному тождеству / ~Я р; (х) и,.
и,. + дни) Ых = / ~и дх а и ее след на Г равен д. Показать, что принадлежащее Н1 ф) классическое решение задачк (5), (1) является обобщенным. 19.10. Показать существование и единственность обобщенного решения задачи (5), (1), если д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4,112. 19.11. Обобщенным решением задачи (4), (1П) (или (П)) называется принадлежащая Н'Я) функция и(х), удовлетворяющая при всех и(х) Е Е Н~Я) интегральному тождеству /(рйгабибгади+ дни) ах+ ~ромина = / уидх+ ~рдийз.
г г Показать, что принадлежащее С'ф) классическое решение задачи (4), (111) (или (П)) является обобщенным. 19.12. Показать существование и единственность обобщенного решения задачи (4), (1П) (или (П)) в предположенкн, что у Е Ьзф), д Е Ьз(Г), п(х) > 0 на Г, д(х) > 0 в 9, причем либо о(х) Х О, лкбо д(х) р.- 'О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.117. 19.13. Пусть Хр(Я) и Й1Я) — подпространства пространств Ьз(Ц) и НгЯ), состоящие из тек функций из Ьз®) и Н1Я) соответственно, для которых ~~ах = О. Показать, что при д(х) ря О, 0 д(х) = 0 у Е Ьз®) существует единственное обобщенное решение залачн (4), (П), принадлежащее Йз ф).
У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.121. 235 З 1д. Вариационнме метподм 11Л1Й... уейщ !!У!!ьссос Кроме того, при любом тп 1!У!1'Й... уейс(я! !!У!!с~со> Рдм) с,сю =Е =Лс и 1пс со~ = рс. 1!У11й уел~о! 11УП„о, >1 11У11й сщ и ш1 з Низ+с~ с 1) ">гл' уен Кб ПУ1!й со) Рйи)ь,сю=л 19.14. Рассмотрим при У ч Ьз(~ с) Фунющонал Е (е) = ~(йгас(е)за — 2 /Уес(х Пусть р Е СД), д б С(сс), сг Е С(Г), пйпр(х) = ре > О, п(х) > О, д(х) > О и или д(х) ф О, или сг(х) ф О. Тогда (см. задачи 4.105 и 4.113) в Н Я) и Н~(с',>) можно ввести скалярные произведения, эквивалентные обычным, следующими способами: (У, д), = /!р(х)(дгас! У игас(д) + д(х) Уд] с(х, (*) (У,д)н =~(р(х)(йтас)У ангес)д)+дУд!с(х+ /рсгУдс(Я.
(ее) г Функция и ч Н~ Щ), на которой функционал ( ) !! !!Йс (У~ )ь2 рассматриваемый для е б Н'(Я), достигает своего минимального значении, есть обобщенное решение задачи (4), (1) при д ги О, если норма порождаетск скалярным произведением (*). Функции и Е Не(Я), на которой функционал Е(е) = !!е!1~нс — 2(У, е)в„ рассматриваемый длк е б Н (сУ), достигает своего минимального значении, есть обобщенное решение задачи (4), (П1), при д(х) = О, если норма !!е!!нс порождаетск скалярным произведением (е*).
Обозначим через Лс,..., Л„, ... расположенные в поркдке неубываник собственные значения, а через иы ..., и,„, ... — соответствующие собственные функции задачи — с(Ь (р(х) расс и) + д(х) и = Ли, х ч 9, и!г = О. Аналогично через рс, ..., и,„, ... и эс, ..., е,„, ... обозначим собственные функции задачи — с)1ч(р(х)Огас)п)+д(х)и=дн, хе Ю, Я+ .и)! =О. 236 Гв. К Краевые заЗачи овя дравпеиия эввиптпичееиоео гаипа на множестве функций э б Н~(Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н'(Я). Показать, что функция и(х), на которой функционал Е(э) достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (1), (1).
19.15. Рассмотрим при ( е Ьг(св), р б СЯ), д б С(ге), тшр(х) = = ре > О, д(х) > О функционал Ез(э) = / р~йгаг(э~~дх + / д(х) эзе(х — 2 / )э г(х Я Я Я на множестве функций э б Н'Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторои функции кз Н~Я). Показать, что функция и(х), на которой функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (1). 19.16. Пустьрсц е, у = 1,...,п, д,У вЂ” функции,введенныевзадаче 19.9. Рассмотрим функционал Ез(э) = / ~ ~ рцэепэ,,1 Ых + / дэзеЬ вЂ” 2/ ~э гГх Я на множестве функций э б Н'Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н~ (Ц). Показать, что функция и(х), на которой функционал Ез(э) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (5), (1).
19.17. Рассмотрим при у' б Ьз®), д(х) б Ьз(Г), ег е С(Г), о > О на Г, о (х) ф О, функционал Е1 (э) = / ~бгаг(э~~с~х+ / оэ~г(Я вЂ” 2 / ~э дх — 2/ дэйв, э б Н'Я). О г Я г Показать, что функция и(х), на которой функционал Е, (э) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (1), (П1. 1918. Пусть у и Хзф), д(х) б Ьз(Г), р Е СЩ д Е С(ег), о б С(Г), пппр(х) = ро > О, д(х) > О, о(х) > О и или д(х) ф О, или п(х) ф О. Рассмотрим на Н'(й) функционал Ез(э) = / р~бгадэ~здх+/ дэз(1х+ / ггрэздя — 2 /~э(1х — 2 / рдэ(1я Я Я г а г Показать, что функция и(х), на которой этот функционал достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (4), (П1) (или (П)).
Указание. См. задачу 4.117. 19.19. Рассмотрим при у б Ьз(ег), / у ах = О, рб СЯ), лип р(х) = = ре > О функционал 0 Е1 (э) = / р~бгай э~~Йх — 2/ уев Я Я з )Я. Ваэианионные негноды на подпространстве йг(4)) (определения множеств Хз((~) и Й'(с)) см. в задаче 19.13; см. также задачи 4.118 — 4.120) пространства Нгф). Показать, что функция и е Й'Я), на которой этот функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (П). 19.20. Найти функцию ее, реализующую минимум функционала 1 1 ( [о) +нз)ггх+2/ идх в классе Йг(0,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
