В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В случае, когда 1' и ио кусочно непрерывны и ограничены, а поверхность Я кусочно гладкая, постановка задачи Дирихле может быть обобщена таким образом„ чтобы решение ее также определялось формулой (1). 17.4. 1) — / У «2Я„+ — / 1(у) ~ — — г(у; 2а )х — у)з " 4«г ~)х — у) )х — уоог)«« з«=о зз>о 2) е '«з*зсовхз совхз, 3) (е «Гааз — е аз) в1пхз совхз,' 4) — + — агс$8 ' '; 5) [х, + хз + (хз + 1) ) о'2 аз б) (х, +хо+(хе+1) ); 7) -агс18 — '. «г хз 17.5. —" / ио(у), —,~) 48„+ фз )х у )зу з з,=о зз >о хз 1 1 '«.
) "'««( -«~ ~*-«.„~)" з,>о з;-о 176 1) е 4*' заз в1п5хз; 2) хз (хзз + хз + (хз+ 1)з) 1 хе+ х«1 хз — х« 3) -агс18 — + -агссд хаза «г хзз/2 Ь!=л Ь~<л где у' = уВз/~у~з — точка, симметричная точке у относительно сферы !ЫтД 17.8. 1) — (йз — (х/~); 2) а+ 3) ед — еЬ> — — (ел — 1) + — (еЬ) — 1).
Л )х) 17.9. и(х) = — ~ ио(уз уз)~ —, г1узлуз+ 11з / ' ~ ) )з ~у~з~ . .~з !М<кл аз=о 4зЯ / о(У)1 )х — у(з ~х у )3 з« Ь!=л з,>о где )х) < В, хз > О; у" и у" — точки, симметричные точке у относительно сферы )у) = В и плоскости уз — — О соответственно.
212 Га. 1Г. Краевые задачи дав уравнений зллиптического гаина 2 х 2 2) — агссд —; 3)— х у гг 4) — — — ассад ; 5) у'-х'+1 2 к 2ху 6) е вв(ах+ е *в1пу. ОР 17.14. 1) 2 — е*в1пу / з1, 1 ь=о" ез1* г1— 1 1 е * — сову 2) — — — агсс5 2 гг вгп у 2 1 ып 2х 4) — вгс$5 его у — — огс15 х х ез* — сов2У ' 6) сгх х вЬ (гг — у) 8Ьк 1+ 1 1 вш у — вЬ х 2 к 2в1пувЬх ' ио(5,Ьх)е г г(~; 2е* Гсов(у — йл) + 1 вьх 3) — + — агс15 — .
2 к вшу' ььх 5) — + — агс$5 —; 2 х ьду' вш х вЬ (гг — у) вЬ к Ф а 17.10. — — ~((х! — р) р1(р) г(р+ /(а — р) р1(р) мар†)х)(Ь вЂ” а) )х) )х)(Ь- а) о о ь — !*) ~(ь-р)рУ(р)(р. о 17.11. 1) — 1п —, где х = х + гу, г, = с + щ 1 (в-4 2х !в — г) ' 1 1„!"-~'!. 3 — 1 ! ! 1, ~(33~'- г~. и !в ЦДз Д 2„(вз ~г!!Дь (в~)з! г, 1ЪЫ=Ы 2гг )е* — ег! ' 2х !сЬ в — сЬ г,! 17.12. 1) — у у ио(5) д4 2) -+ — агсф —; 1 1 х — а гг ./ (х — 5)в+уз 2 гг У 1 1 у +(х — а)(х — Ь) ) у+ 1 2 гг у(Ь вЂ” а) ' хз+(у+1)з' 5) 6 (У 7) е "совх.
) хз+(у+1)з' ) (хз+(у+ЦзР' о 1 1 о оагсф — + Ьагсьд- ~; У х~. х у х(у+ 1) хо+(у+1)з) ' 213 Г И. Метод потенциалов »Ьх . хв!в2у+увЬ2х — явшу»Ьх 4) сЬх+»1пу' гг(сЬ2х+со»2у) К!=л !с!<гг ~12» где» = х+1у, г, = 6+(г1, С' = —; 2) — (Вг — тг) + Ь. 3) 4) в1п т — в1п В+ ~ — Ир; 5) — сов 1о. г вшр т l р К У к а з а н и е. В задачах 17.16, 2) — 5) воспользоваться формулой задачи 17.16, 1), где перейти к полярным координатам» = тего, г", = ре'В, О < 1о, д < 2я.
17.17. 1) — ' У -.К)(!'! —,'- !'! -'1ИИО+ 2я 1 !» — г,)в !» — г,!г,г !4!=г Гпге>0 1 + †" /ио(с' О)~ дсе х ~ !» — 6!» (6» — 1!в у где» = х + 4у, ь = с + уг11 2) твш р; 3) — агссб —; 4) Фсов —. 2 2г'вш гр У х тг — 1 2 17,18. — 1п —. 1и 3 !» — 4! $ 18. Метод потенциалов Пусть р 6 У (Я"). Свертка $п = * р, и > 3, называется п 1 п ! !и — » 1 ньютоновым погпенциалом, а Уг = 1п —:г р, н = 2, — логарифми(х! чесним потенциалом с плотностью р (определение свертки см. в 3 8).
Потенциал У„удовлетворяет уравнению Пуассона ,егУ„т -(н — 2) гг„р, и ) 3; ЬУ» = -2яр. Если р — финитная абсолютно интегрируемая функция в Вп, то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал У„называется объенным потенциалом (потенциалом площади). Пусть Я вЂ” ограниченная кусочно гладкая двусторонняя поверхность в Л п — нормаль к Я и ггб5 и — — (об5) — простой и двойной и д дп слои на Я с плотностями 1г и о (определение слоев см.
в 26 и З 7). Свертки У!о] и ! !е — » 5 214 Гл. У. Краевые задачи для уравнений эллиптического шипа называются поверхностными потпенциаломи простиого и двойного слоя с плотностями >э и и. Свертки Уз = 1п — * >эдв и Уз —— — !п — а — (идя), и = 2, (о> 1 (>) (х1 (х) дп называются, соответственно, логарифмическими поп>енциалаии пров>лого и двойного слоя. Если Я вЂ” поверхность Ляпунова и о й С(Я), то в Лз предельные (>) (>) значения потенпигла двойного слоя Ъ+ > и У( > извне и изнутри 8 выражаются формулами Ъ~О~(х) = х2ко(х) + УО)х = х2ко(х) + /о(у) ~*"э ИЯв, (1) (х — у)э где у,„— угол между вектором х — у и нормалью пв в точке уй Я.
Если >э б С(Я), то потенциал простого слоя имеет правильные гду(в> гду(о>х нормальные производные ~ — ) и ~ — ) на Я извне и изнутри Я ~а )+ ~а ) (см. определение в начале гл. Ч), причем на Я с дУ(вГ( ОУ(в>х создав — ~ (х) = ~~ ~(*)+ — =~2 ~(*) ( ~(~) *", д8 (2) »Л Я где Ч>,в — угол между вектором у — х и нормалью эз,, Гау(о>1 Аналогичные формулы для Ъя (х) и ~ — ) (х) справедливы и ~ б ) в Яз с заменой 2в на к и (х — у(з на )х — у(. (4) 18.1. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = О вне а с Л". Ло а) объемный потенциал выражается формулой 1 ( ) = Г Р(") ду > З; (3) у)а Э с б) ӄ— гармоническая функция вне (7; в) Уз(х) = — ~ р(у) ду + 0( — ), (х) — + со.
Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.2. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = О вне С с Вг. Локгзатэм а) потенциал площади выражается формулой Уз(х) = / р(у) 1и — ду; с б) Уз — гармоническая функция вне С; В 1В. Метод поюемциаяов 215 3) р=!х); 6) р= е !'!; 9) р = сов )х!; в) Уз(х) = !и — ~ р(у) Ну+ О( — ), !х! — + со.
Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.3. Пусть Я вЂ” ограниченная кусочно гладкая двусторонняя по- верхность и д, и е С(Я). Показать: а) потенциалы простого и двойного слоя выражаются формулами з — ! „! в1 я (5) где угол <р,в определен в начале з 18; б) Уз и У вЂ” гармонические функции вне Я; [о> 00 в) Уз ~(х) = — /!з(у) ИВ+ О( — з) и Узд ~(х) = О( —,), )х/ — + со.
Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.4. Пусть Я вЂ” ограниченная кусочно гладкая кривая н д,и б б СД.'Д а) логарифмические потенциалы простого и двойною слоя выра- жаются формулами Уз (х) = /д(у) !и — оЯв, где угол у,в опралелен в тексте; б) Уз и Уз — гармонические функции вне Я; <о1 00 в) Уз~ ~(х) = !и — /д(~)Ив+О( — ), Уз~ (х) = О( — ), /х/ — + оо. Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.5. 1) Вычислить ньютонов потенциал Уз с плотностью бя„, 2) вычислить логарифмический потенциал Уз с плотностью бв„. 18.6. Вычислить объемный потенциал Уз для шара )х! ( В со следующими плотностями: 1) р= р()х!) Е С; 2) р= ре =сопев; 4) р= !х(з; 5) р= ~Дх); 7) р= з; 8) р=в!п)х(; 10) р = !и (1 + — ).
216 Гл. 1т. Краевые задачи для ураеиекие эллиатличеекого таила 18.7. Для сферического слоя Яд ( [х[ < Яз вычислить объемный потенциал Ъ~ масс, распределенных с плотностями: 1) р = ро = сопев; 2) р = р([х[) е С(Яг < [х[ < Яз). 18.8. Пусть масса распределена в шаре т < Я с плотностью р. Найти объемный потенциал 1тз в точке, лежащей на оси 0 = 0 (О < 0 < к) для следующих плотностей: 1) р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 0 = —; 2) р= соей; 3) рта в1пу; 4) р = р(<р) — непрерывная, 2з--периодическая функция; 0 «р < ( 2х. 18.9. Пусть масса распределена с постоянной плотностью ро в цилиндре (х~~ + хзз ( Яз, 0 < хз < Н).
Найти объемный потенциал в точквх оси хз > Н. 118.10. Найти потенциал площади для круга г < Я со следующими плотностями: 1) р=р(г) еС([О,Я)); 2) р=ро —— сопев; 3) р=т„ 4) р=тз; 6) р=е "; 6) р= 1 7) р= з/г; 8) р= в!пг; 9) р = сов т; 10) р=в1п<р, 0<у<2к; 11) р= сову; 12) р = р(у) — непрерывная, 2х-периодическая функция. 18.11.
Найти логарифмический потенциал площади для кольца Яз < г < Яз со следующими плотностями: 1) р= ро = сопв$; 2) р= р(т) б С([ЯыЯз)). 18.12. Пусть у([у[) непрерывна при [у[ < Я и у([у[) = 0 при [у[ > Я, у Е Яз. Доказать: а) объемный потенциал 1тз(х) с плотностью Я у[) зависит только от [х[ и 1тз(х) = ['[ ~ У([у[) бу, [х[ > Я; 1Ы<л б) длЯ того чтобы )тз (х) обРатилсЯ в нУль пРи [х[ > Я, необходимо и достаточно выполнение условия [ У([у[) бу = О (*) в) при условии (*) справедливо равенство /%*) д* = — —, / У(М)М'ау. Дать физическую интерпретацию полученных равенств. 18.13. Доказатзл если функции уг(х) и уз([х[) непрерывны при [х[ ( Я; х Е Яз, обращаются в нуль при [х[ > Я и удовлетворяют уравнению Ьуз(х) = В уз([х[), В И.
Метод потенциалов то потенциал Уз(х) с плотностью Щх)) обращается в нуль при )х! > В. 18.14. Доказать результаты, аналогичные результатам задач 18.12 и 18.14 для потенциала площади, а именно: 1) 1~(*) =1 — / У(Ы)бу, Ь~ > В; )х) !у~<Я 2) ( Ъз(х) е(х = — — /Яу!)!у!зе(у, если ~Яу() бу = О. 18.15. Распространить задачи 18.12-18.14 на случай, когда плотность у есть обобщенная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
