В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 39
Текст из файла (страница 39)
о е 19.21. Доказать, что для всех и Е С'([О, 1]) справедливо неравен- 1 ство / (и' + 2хе) г(х+ ся(0) + оз(1) > — —. Имеет ли место знак 270 о равенства для какой-либо функции? 19 22. Доказать, что для всех функций е Е Сг[0, 1[, о(1) = 0 имеет 5 2(0) 1,2 место неравенство ~ се)х < — + — + — ~~ о' гзх. Найти функцию из 24 4 4х' е о этого класса, для которой достигается равенство.
19.23.ха* ~ Г )))Г +) ) +2 х* х * )х), О= хЕЙг)гЭ) ),9 = (О < хг < гг, О < хз < )г). 1Е.Г4. Н. 11 ) )')Га~ )'+Г)*Г.)Х[. хЕЙ) Ох)<1) 1)х)<1 = (х1 х2). 19.25. Найти )п1 ) [8гаг)с[2))х, где х = (хг,хз), хг = хЕН)Ох)<1) )х)<1 = [х[ сову, хз = [х[ вшго, с))) ) — 1 = ~о(я — )р)(2я — )))), 0 < г)о < 2)г.
19.26. Найти 1п( / [8гаг) о[~ Ых на множестве функций е )х)<1 ч Н'([х[ < 1), х = (хг,хз), х1 = [х[ сов))х, хз = [х[вгп))), удовлетворяющих условию с[),) 1 = рз, — )г < со < )г. 19.27. Может ли заданная на окружности [х[ = 1, хг — — сову, хз = в1п )р, функция ф(у) быть граничным значением какой-либо функции из Н'([х[ < 1), если: хх а) г()()р) =в)ко)о, -з. «о < гг; б) г))(у) = ) 2 "сов2~"з); х=е в) У)фР) = 2: 19.28.
Пусть г',) — квадрат (О < х, < 1, 0 < хз < Ц. Доказать, что для любой у Е Н'(г )) имеет место неравенство 238 Гл. К Краевые задачи дае уравнения эааииеничеснога виню /~' А/! Л'~, Я Я и установить, что постоянная в неравенстве точная. 19.29. Пусть се — куб (О< хе < 1, 0 <хо < 1, 0 <хз < Ц. Дока- зать, что для любой функции у е Й (()) справедливо неравенство 1!У1Й, < —, 11~ас(У1Й,.
19.30. Пусть с) — кольцо (1 < 1х! < 2). Найти ~ е 1 ~ ек $У) +4ен*~. ~ У Н1, *=(*,*в. ген'Оз> ( у~м..=о ~<!е!<з ф=з 19,31. Пусть ьг — квадрат (О < хг < 1, 0 < хз < Ц. Найти функцию, дающую минимум функционалу ы ~~и ~ ) ~4« * « * ]а-:-2~« * з„)м~ «ен' ~ з ~о о в классе функций и е Н (Я), и!«и«о = и1,,=о = и1«,= = О. 19.32. Пусть Се — круг (1х! < Ц, х = (хм хе). Доказать, что для любой функции и Е ЙЯ) справедливо неравенство 11.1!., < —,', 11в-«-11'. 19.33.
Доказать, что для всех функций и Е Сг(0 < хг < 1, 0 < < хз < 1), удовлетворяющих граничным условиям и1*,=о = и1*;о = О, и1„=з = хз, и!ее-з = хз, справедливо неравенство 11 //(О~ад ) дх~с(*~ > —. оо Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функций? 19.34. Доказать, что для всех функций и Е С'(!х! < 1), х = = (хз, хз) имеет место неравенство 2 / хзхзи(х)дх < — + / (Огас(и)зах. 1е~<г ~«|<г 19.35. Доказать, что для всех функций и Е Сг(1х! < 1), х = = (хы хз, хз) имеет место неравенство / 1( ы )'+ ) ы -й. 3е3<з Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? З 1У. Ворнавионнне метноды 19.36.
Показать, что для всех функций е Е С1(~х~ < 1), х1 = = )х! сову, хз = )х~ вша, удовлетворяющих условию э~~,~-1 — — 8!п1р, где х = (х1, хз), справедливо неравенство / (2~х~~э+ (Ога«с)~) «х > — и. 1*)<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.37. Доказать, что для всех функций н Е С'(О < Х1 < 1, 0 < < хз < 1, 0 < хз < 1), х = (х1,хз,хз), удовлетворяющих граничным условиям М)~~=о = Х2хз) н)~2 — о = Х1хзг н)~1=8 = Х1хз~ и~„=1 — — хз + хз + хзхз, и(*,-1 — — х1+ хз + х1хз, н~;1 = х1 + хг + х1хг справедливо неравенство 111 Ц/ ~бга«и~' «Х1 «хз «хз > —.
ооо Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функций? 19.38. Показать, что для всех функций э б С1(~х~ < 1), х = (Х1,Х2,хз)~ х1 = ~х) соз~о 81пр, х2 = ф зшф зш9, хз = )х) с08д удовлетворяющих условию е(~,~ 1 = созд, спревелливо неравенство ( [2э+ (Огайо)~( «х > —. /о/<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.39.
Пусть (~ — квадрат (О < х1 < 1, 0 < хз < 1). Доказать, что для любой функции о Е Й~Я), удовлетворяющей условию 81пзх1 зшяхзе(х) «х = О, справедливо неравенство !ИЙ, < —,, 1!а 1 1Й,. 19.40. Пусть Ц вЂ” куб (О < Х1 < 1, О < хз < 1, 0 < хз < Ц. Дока- зать, что для любой функции с Е Н'((~), удовлетворяющей условию 81пях1 8ших2 81пяхзю(х) «х = О, Ц справедливо неравенство !И~с~, < —, ~~Ига«СП„. 19.41. Пусть Я вЂ” куб (О < х1 < л, 0 < хз < к, 0 < хз < я). Среди функций и Е Н' Щ), принимающих граничные значения 240 Гл. 1г.
Краевые задачи длл уравнения эллипгпичеенвео глина и!*,=о =и!*э=о =и'!в;о =и!э,= =и!„=. =О, найти ту, которал дает минимум функционалу Е(и) = ~(8гаг(и) дх+ 0вшхг в!пхзи(хг,хз, Я)г(хг Ихз. о оо 19.42. Пусть ч) — шаровой слой (1 < !х~ < 2), х = (хг, хз,хз). Среди фушгций и Е Н Я), принимающих граничные значения и!!,! з — — О, найти ту, которвл дает минимум функционалу Е(и) = / [(8гаг)п) + 2и~ г!х + ~ из г!Я. г2 )э!=г Ответы к 2 19 19.20.
— 1+ — с)г ~х — -). 2г/е / 1з е+1 2 в 19.21. Да, для — — — (и+1). 6 9 19.22. — х + —. э х+! 2 19.23. — —. 8 19.24. — —. 64' 19.25. 144гг Я й з 1 19 26 16я~ й — з г 19.2г. а) Нет; 6) нет; в) да. 2(1 ! 4 2(1+ !и4) в!в х г с!г хэ 19.31. — в!пхг в!пхз — 2 19.33. Да. 19.35.
Да, для функции ! ! 12 — 1 4 19.36. Да, для гз!пгз+ —. 16 19.37. Да, для хгхз + хгхз + хзхз. гэ — 1 19.38. Да, для гсовВ+ —. 6 19.41. — з!пхг вшхзвй (с/2хз). чГ2с!г (~/2я) 19.42. — + — — —. !х!э 5 17 б 9!х! 18 Глава Ч1 СМЕШАННАЯ ЗАЛАЧА з 20.
Метод разделения переменных 1. Ъ'равнения гиперболического типа. Изложим кратко существо метена Фурье или метода разделения переменных, рассматривая задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача сводится к решению уравнения дги г дги — =а— дгг дхг (1) при начальных условиях и!1=о = ио(х), — = и1(х) ди дг 1=8 (2) и граничных условиях и(л-е = О, и! — 1 = О. (3) Будем сначала искать частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие условиям (3), в виде и(х, 8) = Х(х) Т(1). (4) Подставляя (4) в (1), приходим к уравнениям Та(8) + а ЛТ(1) = О, (5) Х" (х) + ЛХ(х) = О, (6) где Л = сопзг, причем для получения нетривиальных (не равных тождественно нулю) решений вида (4) необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям Х(0) = О, Х(1) = О.
(7) Мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля (6), (7) (см. с. 184). Собственными значениями этой задачи являются числа Лз = ( — ) (к=1,2,...) (и только они), этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции Г2 . лйх Хз(х) = ~( — 81п —. При Л = Лг уравнение (5) имеет общее решение Га 'гГ1. Смешоииая задача Йяак . Ьгок Тк (1) = а» соз — + Ьк з1п —, г поэтому функция Ьгак .
»такт . Ьгх ик(х,1) = Хк(х)Тк(1) = (аксая — +Ькз!и — ) зш— 1) 1 удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (3) при любых ак и Ь». Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), ищем в виде ряда Ьгак . Ьгакт . »лх и(х,1) = ~~~ 1ак соз — + Ь» згп — ) з1п —. (8) ! Кка Если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать, то сумма ряда будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3).
Определяя постоянные а» и Ь» так, чтобы сумма ряда (8) удовле- творяла и начальным условиям (2), приходим к равенствам Ьгх ио(х) = ~~г а» зш —, к=г ш(х) = С вЂ” Ь»з1п —; йха . »ях 1 () »=1 формулы (9), (10) дают разложение функций ио(х) и иг(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1). Коэффициенты этих разложений вычисляются по известным формулам 2 г . Ьгх ак = — ) ио(х) з1п — г1х, -1) о (9) В задачах 20.1, 20.2 нужно найти с помощью метода Фурье колебания струны, предполагал, что внешние силы отсутствуют. 20.1. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение ио имеет форму: 1) синусоиды ио(х) = Аз!и — (и целое); ! 2) параболы, осью симметрии которой служит прямая х = —, а Л вершиной — точка М ~-, Ь); 3) ломаной ОАВ, где 0(0, 0), А(С Ь), В(1, 0), 0 < с < 1.
Рассмотреть случай с = — . 2 20.2. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если в начальном положении струна нахацится в покое (ио = 0), а начальная скорость иг задается формулой: 243 З" 30. Меепод рездееения переменных 1) иг(х) = ие = сопз$, х б [0,1[; (ио если х б [а,Р], 2) иг(х) = ~ ' ' где 0 < а < Р < 1; О, если х б [а,13), к(х — хо) Асов, если х б [хо — а, хо + а[, 3) из(х) = 2а 10, если х 6 [хо — а,хо+а), где 0 < хо — а < хо+а <1.
Уравнение (1) описывает свободные продольные колебания стерж- ня. В задачах 20.3, 20.4 требуется найти продольные колебания стержня, применяя метод разделения переменных. 20.3. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле- дующих случаев: 1) сдин конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = 1) свободен; 2) оба конца стержня свободны; 3) один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а другой конец (х = 0) свободен. 20.4.
Найти продольные колебания стержня, если один его конец (х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = 1) приложена сила Р (в момент времени 1 = 0 сила перестает действовать). 20.5, Найти силу тока 1(х, 1) в проводе длины 1, по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим сопро- тивлением можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при 1 = 0) равен нулю, а начальное напряжение задается ях формулой и[е-о = Ед з1п —.
Левый конец провода (х = 0) изолирован, 21 а правый конец (х = 1) заземлен. Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны 0 < х < 1, жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью р приводится к решению уравнения о"'и з д~и —, = а' —, + я(х, 1) (11) (у = р/р, где р — линейная плотность струны) при граничных условиях (3) и начальных условиях (2).
Решение задачи (11), (2), (3) шпут в виде суммы и = и+ее, где и — решение неоднородного уравнения (11), удовлетворяющее граничным условиям (3) и нулевым начальным условия и[и=в = О, Гл. И. Слвогаввох зодочо (13) ! дй(г) = — 1 д(С,Б) 81п — г1С (Й = 1,2, ...). о Решая уравнения (15) при нулевых начальных условиях ТЙ(0) = О, Тг,(0) = 0 (Й = 1,2,...), (16) находим ТБЯ, а затем определяем о с помощью формулы (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
