В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ответы к 820 20.1. 1) Ав1п — соз —. ггах х над 32й ~~ 1 . (2й+ 1) хх (2й+ 1) ггад нз ~- (2й + 1)з 4Л н и е. ис(х) = —,х(1 — х).); 2И1 1 . Ьгс . Ьгх йггад 8й ( — 1)" 3) Я вЂ” вгп — вдп — сов —; — 2 х хас(1 - с) з д йз 1 1 1 ' нз з О (2й + 1)з х в!и (2й+ 1) ггх (2й+ 1) хад / 11 27 соз гдпРис=-гд (Указание.
ис(х) = = — при О <х < с ие(х) = при с<х <1.). йх . ( — х) с — с З 80. Иепгод разделении перемени»гх 261 41ео ~~ 1 . (2й+ 1) хх . (2й+ 1) хо» »ха йхй 2) — о 2, 'вш — вгп —. ггзо» йе гг»а . Мхв 8Ах ' соз 1 ив 1 ггйх хйоо 3) — 2 в!и — в1п —. ггзо» 1 й(1 — (2ай)з/11] 203 1) ( ) 6 20.3. 1 ~, 1а»сов +6»в1п ~ вш »=о 1 2 где а» 1 /ио(х) вш 21 11х, 6» = 2 1 Уи (2Й+ 1) ггх 4 о о (2й+ 1) ггх Х В1П 21 е(х (Указание. и]х=о = О, и,],=1 = 0 и]е=о = = ио(х), иг]е=о = иг(х).]; 2) 1 / [ио(Ь)+1иг(()]гц+ ~„(а»сов — + Ьг,впь — ) сов —, 1 о ! 1 2 г йхх 2 г йхх где а» = — ~ ио(х) сов — г(х, Ь» = — ( и1(х) сов — г(х (Укао о з а н и е. и,]х=о = и,], 1 = О, и! г=о = ио(х) „иг 11=о = иг (х).)' 3) ~',(а„совЛпао+ Ь„вшЛ„аг) совЛ„х, где Л„(п = 1,2,...)— п=1 собственные значения, а Х„(х) = сов Л„х — собственные функции краевой задачи: Хн(х) + Л Х = О, Х'(О) = О, Х'(1)+ЙХ(1) = О (˄— положительные корни уравнения 16 Л1 = Ь/Л), 1 г 1 а„ Х р 1, и.(х) со Л„х (, Ь„ = Х ]]з Л 1, и,(х) со Л„х «*, о о г ]]Хп]] 2 ~1+ 1(Л, „.
Йз) ( й Указание. и,], о — — О, и,],-1 = — Ьи]х-г, Й = —, где Е— модуль Юнга, гг — площадь поперечного сечения стержня, 11 — ко- эффициент, характеризующий жесткость закрепления; и]1-о = ио(х), иг]е=о = иг(х) (2»+1) ггх (2»+Ц ггхг — ) 8Р1 е» вгп ж сов 20.4.
и(х,о) =, 2 ( — 1)»,, где а— Еххз» (2й+1 з площадь поперечного сечения стержня, Š— модуль Юнга. Рх Ои] Указание. и],=о = О, и,],-1 = О, и!г=о = —, — = О. 262 Га. и. Сменганнае задача СС ях . яаС 1 20.5. с(х,с) = -Еосс — сов — в!и —, а = —. )!( ь 21 гс ',/Хс' У к а з а н и е. Сила тока с(х, С) удовлетворяет уравнению ВСссс —— = с' „где  — самоиндукция, С вЂ” емкость, отнесенная к единице длины провода. Начальные условия имеют вид 4!с=о = О, сс!с=о = Еогг ях = — — сов — а граничные условия таковы: се! -о = 0 !),=! = О. 2Е 21' е г 4Рб ее ( Ц нп с 20.6. 1) Ьх(! — х) + —, ~', С (Указав г йз н и е. Решение можно искать в виде н = о + ег, где функция е = — бх(! — х) удовлетворяет несщнородному уравнению и нулевым граничным условиям, а функция нг удовлетворяет однородному уравнению, нулевым граничным и следующим начальным условиям: о1с=е = Ьх(х — !) ес(с=о = 0)! 2 ..
ге 4 2) — Св!пСв!пх+ 2 „, (сов! — соей!) вшйх. я аз я1 сн. У+Ц и 07 4А (2й+ цсйпмс — — вш ! (2~+ц (2й+ Ц на мв ш гесвмГга . вн ~щ 20.8. и(х, С) = д*(21 х) — 16дР ~~ г! в!и Н 2 а (йй+ Цз Указание. Звдача сводится к решению уравнения н = ази,е + д, где д — ускорение силы тяжести, при слацующих услоди! ди! виях: и!,-о —— — ( = О, и!с=о = — ~ = О. Решение этой задачи *= = Ъ!.=! = ' = = аС!с ! = можно искать в виде и = е + ги, где и = Ахз + Вх + С (А,В,С выбрать так, чтобы функция удовлетворяла негщнородному уравнению и заданным граничным условиям).
хс (-ц"21 . й * . йяс 20.0. 1) — + ')', вш — в!п —; ! (йя)з с с 2) С+1+х(Сз !+1)+ ( 2 (6(-Ц"+' 1! . с-Ц 12с ) + 2 ~ — ~ — 1~ в!пяйб+ ~ — -) в!пхйх. „,~(й) ~ (й) кз!з ) вгп 2А а ео ( Ц г нп С вш 20.10. А — а в!пыС+ — ~ мз — (йяа/С) з а У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения ин = ази„ при нулевых начальных и слецующих граничных условиях: н!,=о = О, н!,-! = А в!пыС.
Решение этой задачи искать в виде н = е + г», где В В«Л Метод разделение переменных 263 о = Х(х) вша)1. Функцию и подобрать так, чтобы она удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям. «3 8«')1 ~~ ( — 1) (2Й+1) яаз . (2Й+ 1) ггх где Š— модуль упругости, а — площадь поперечного сечения стержня. У к а з а н и е. Задача своцится к решению уравнения ии = ази»е при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и«,=о = О, и,«,-« = —. Положить и = о+ ю, где и = Ах (А выбрать так, чтобы «Р Егг функция и удовлетворяла заданным граничным условиям). з1п — хап»)1 20.12. и(х,в) = — + Еа») сое ы« (ЗЙ+1) «г 2Аагл оо ( 1)» — 21 ап Ш х .
(2Й + 1) )г« Егг«» (2й+ 1) я»)з — ((2й+ 1) яа/(21))з 21 У к а з а н и е. Задача сводитсЯ к Решению УРавнениЯ и«« —— ази»е при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и)е — о = О, А и«,-« —— — в1п«о«. Решение втой задачи можно искать в виде и = и + ю, где и = Дх) в1п о)1; Дх) выбрать так, чтобы функция и удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям. оо йях 20.13. и(х,«) = е г 2 (а»сов«з»1+Ь»в1п«»»1) в1п —, где »=1 з 2йз — «гз, « 2 г .
)гйх а 2 г . Йях а» = — ( ио(х) з1п — г(х, Ь» = — а» + — з« и,(х) вш — «(х. 1! 1 ', 1«з / о о У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения изг+2аиг —— = ази„(а > 0 мало) при слецуюпп«х условиях: и«,-о = и(,— « = О, и1«=о = ио(х), и«1«=о = иг(х) 20.14. 1) — г ) ) гф2Й+ цъ+~4ш); (2Й+ Цз Зе — г 1 2) — — 2 , '[сов (2й+ 1) 1+ — вш (2й+ 1) 1~ в1п (2Й+ 1) х; гг»=о (2Й+ 1)з 2Й+1 1 1» 2 1 .
2Й+1 2Й+1 3) 8е ' ~' (2й+1)' [( 1) н(2Й+1)1 в)п 2 «сов 2 "' 1 г 1 4) 1(1 — х) + 2 е ггз — [2совЛ»1+ — вшЛ»1 — 2~ вшяйх, (Й )з~ Л» 1 Л» = (йгг)з — —; 4' 264 Га. Ъ7. Сзгешаьная задача / 41 Йя . 1 . Йях lйяМЗ 5) (2 — х) 1+ Я ~ — — — вшЛзс~ вгп —, Лв = ~ — ~ — 1; ОР 20.15. 1) в1п2х сов2$+ Я(-1)" —,(1 — совИ) вшйх; ггз 2) — ~ св(-1+ е ггз( сов1зз$+ — в1пдзв)~ вш(21г+ 1)ях, где в=о 2дз 4 — з г — з з, РЗ вЂ” (2~г+ 1) Я 4' У к а з а н и е.
Искать решение в виде ряда и(х, з) = Я Тв(1) х х в!пЬгх. Замечание к 2). Можно искать решение в виде суммы и = 1 = е + ю, где функция е = — х(1 — х) удовлетворяет уравнению и 2 заданным граничным условиям. Тогда п(х,з) = — ~~ (сов1ззг+ — в1п,щс) е ~ вш(25+1)ях. (1-*) " / 1 . 1 — сг й=е гд„ 2016 1) 2хв+(2ес — е з — Зве г)совх; 2) 3+ х(1+вз) +(5йес — 8ес+ 41+ 8) в!пх; 3) х(1 + 1) + (1 е" 7' — ег!з + — ~ сов — х. ~5 5) 2 4) хг+ ~ — — — е + — е ) е в1пЗх; 1 гс 1 зз1 ЬО 6 15 5) хе+ (1 — е ' — йе ') сгжЗх; 6) — (е + е ) — — — — сов 2х; 1 зз -зг 1 8 4 2 7) — вш х(сЬ 31 — 1) + в1п Зх(сЬ Ф вЂ” 1); 1 8) хв+ (2е' — ез') е * вшх. 20.17. Асов свш — в1п —.
аязГ2 . ях . як у у у 20.18. ЗсовЯСвшх вш2у+ вш51вшЗх вш4у. (2/с+1)гга . (2141)ггу 16А~~~~ вгп Р сдп 20,19. ~~ ~„~„ц, сов яа1гз г $, где Ч В 20. ЬУеглод разделения леременных 2) 1+ — в!п31 ~1 — — ~; Уе(Зх)1 9 ~ Уо(3) ~ 20.20. 1) Асо — Р,7о( — "' ); 2) ~ (а„сов ~" а$+ Ь„в1п ~ аз),7о(р" ), где а. =,, ~гУ(г) Уоф) йг, Ь» =, ~гВ(г) Яо((В ) йг о о (р„— положительные корни уравнения,Уо(,и) = 0); (д»гг) 3) зу( ) и (*) где 7е„(п = 1,2, ...) — положительные корни уравнения Уо(7е) = О. ( 1 У к а з а н и е. Задача приводится к решению уравнения иге+ — и„= 1 / г 1 = — зим при условиях и)г=д = О, !и!е-о! ( Оо; и!ь»о = А(1 — — з)> аз А = сопвз, ие!ь»о = О.
При вычислении коэффициентов ряда (*) воспользоватьсяследующими формулами: / сУо(с) ас = хУ1(х), (гсздо(с) Ы~е = о о = 2хз,Уо(х) + (хз — 4х) 71 (х).). 20 21 Ц ( 1) ~ -4(2 з) „1+ -звз+ -4[ з 2)] 7 ( .) (У к а з а н и е. Решение можно искать в виде и = е + ео, где е = = (а1з + с) .7о(7евх) — частное решение неоднородного уравнения, ш— Решение однородного УРавнениЯ, ео!е=о = — е!ь»о еое)е=о = — ее!е=о )' 2) и(х,г) = (7е~~ — 1) '(сове+ з1пй — сов7евс — 7е„'вш7еьй) Юо(7еех) (Указание.
Решение можно искать в виде и = е + ев, где и = (а в1п е+ Ь сов $),7о (7евх) — частное решение неоднородного уравнения, ю = (А сов 7ее1+ В в1п 7ев$) Уо(7еьх) — решение однородного уравнения, и!е=о = о!ь»о юе!ь»о = ве1к=о ). 20.22. 1) — ~1 — — сов 21~; 2) — сов 21; 1 7 Уо(2х) 1 7о(2х) 2 ~ Хо(2) ~ Уо(2) 3) г — 1+ Яо(7ззх) сов7ззЬ. 20,23. 1) 1 — — ~ сов $; Хе(х) ,Уо(1) ~ 3) — ~ — 1 сов2Ф+,Уо(7е1х) соврза 1 1,7о(2х) 2 ~ Уо(2) Хо (хЛ) Уе (2х~Г2) Га.
*г'7. Смешанная задача ~ "й"), о ~1о(д 71) Уайет'~ . ааа) лз 1о~л)ип вша) + ар „) р3(о)эйэ — аэр3)1)(р )' где р — поверхностная плотность мембраны. У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения —, ии = и„„+ г и, + р зшыз, О < г < В, М=о! < соэ и'в=н = О, и))=о = и)~в=о = О. 20.26. 1) 1)(рзх) соврз)+ 1)(р х) совр З; 2) 1)(рвх) соарзз+р„,~1)(р,„х) а)пр)нз. 20 2Т. (1+рз) )(е' — соврз1 — р), 'в)прав) 1)(рзх). 20.28.,7) (х) в1п1+ 1)(зх) а!пзз. 1 1 21) (1) 21) (3) 20 29.
1) (созрзз+ рз) в)прзз) 1з(рзх)' 2) ~- соврзз+ — р в)прз)) 1)(рзх). /1 3 '12 2 20.30. 1) (р, з) — р, з в)пр)1) .7з(р)х); 2) (рз) — 1) )(сов) — совр))) 1з(р)х). 20.31. 1) р) 1з(р)х) в)пр)1; 2) (совр)Ф+р,)в)пр)$)1з(р)х). 20.32. 1) (рз(1+ рз)) )(в)прзз — рзсоврзз+ рзе )) 1з(рзх); 2) р з (2рзз+1 — Зз — р„)в)прзз — 2р зсоврзз) 1з(рзх). 20 ЗЗ Уо(2р))/х)совр)а У к а з а н и е. Полагая и = Х(х) Т(1), получить уравнения ХФ 1) Х" + — + — Х =О, (*) х х Тн+ ЛзТ = О. Уравнение (*) подстановкой )1 = 2ЛзГх свести к уравнению Бесселя ха()7) + 1 х'()7) + Х()7) = О, имеющему общее решение Х()1) = а1о()7) + йо()1).
" ( - /*7') 20.34. — ~ А„, соа Р", где А„= / ио(х) х ) (ра) 2И ' х 1о(р„.Г1) )(х, р„(п = 1,2,...) — полон)ительные корни уравне- н' ния .7о(р) = О. 7 80. Мзягод разделения израяеьнмз Указание. Задача приводится к решению уравнения ии = = аз(хи,)„0 < х <1, а = з7у, при условиях )и!,=о) < оо, и(я=! = О, и~!=о = ио(х) иг/г=о = О. СЮ / гх» 20.35. ~„(А„сов аА„1+ В„в!в а7г,Д,7о(1»„)~ — ), где А„= 1! - (), А„=, 7щ! !»(Р!7 )и, о ! Вп =, / и!(Х),70(7гп1Я г(х, "о ,и„(и = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения,7о(зг) = О. Указание.
Задача приводится к решению уравнения иг! —— = а'(хи,), +огзи, 0 < х < 1, а = /у, при условиях ~и~,-о~ < со, и) =! = О, и~»=о = ио(х), и!~!=о = и»(х). 20.36. —,7о (7г»»/х) вш !— "1. !г» 2 20.37. 1) (4д, ~1 — 81», з в!и — ' !) 7о(7г!»/х); 2) 4(1»! — 4) ' (вшз — 27!! ! згп ~— '=),7о(7»гз/х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
