В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 45
Текст из файла (страница 45)
грузие мехсохы 275 где а(г) Е С (г > 1), с3(г) Е С'(» > 1), а(1) = О, ах(1) + 2а'(1) = О, )3(1) = О. Доказать, что если функции а(г) и )3(г) финнтные, то и(х,1) = 0 для любого фиксированного х, (х( > 1, при достаточно больших 1. 21.27. Найти решение задачи исс=схи, Ф>0, )х(>1, хЕВз; ди ~ и!с=о = О, ис!с=е = Ос д— ! = д(1) дтс лх!=1 где д Е С1(1> О), д(0) = д'(0) = О. Доказать, что если д(Ф) — фннитная функция, то существует такая функция с(х), что (и(х,1)~ < с(х) е ', а для того чтобы и(х, $) = 0 для каждого фиксированного х, ~х~ > 1, при достаточно больших 1, необходимо и достаточно, чтобы ( есд($) с(1 = О.
е 21.28. Найти решение задачи асс=Ли, Ф>0, (х(>1, хЕВз; и!с=о = аДхО, ис/с=о = )3(/х(), — ") = О, где а Е Сз (г > 1),,д Е С' (г > 1), а'(1) =,д'(1) = О. Доказать, что если функции а(г) и )3(г) финитные, то существует такая функция с(х), что ~и(х, 1) ~ < с(х) е ', а для того чтобы и(х, 1) = 0 для каждого фиксированного х, ~х~ > 1, при достаточно больших $, необходимо и достаточно, чтобы / ге"[а(г) — с3(г)]с( = О. 21.29. Решить задачу е исс — — Ьи, $ > О, )х( > 1, х Е В ; и!с-е = О, исус-е = О, ~йи+ — )~ = д(1)~ х = сопзс. дик дл )х)=1 Решить задачи 21.30 — 21.36. 21.30.
ис — — азихх +,5(х,1), 1 > О, х > 0; и!с=о= е(х), и! =о=О 21.31. ис —— а~их„1 > О, х > 0; и(с-е = О, и(,=е = д(Ф). 21.32. ис = ази„, 1 > О, х > 0; ~!ьхе = о(х) 21.33. ис=ази„, 1>0, х>0; и(с=о = О, их(х=е = д(1). Гл. Сдд Сддеоданнае эадС«чо 27б 21.34. ид=и„, С>0, х>0; и]д=о = О (и — и*)]*=о = д(С). 21.35. ид — — аои„, С > О, х > 0; и]д=о = ио(х), (и, — Сси)],=о — — О, Сд > О. да дди 21.36. — + — = О, С > О, х > 0; дСо д д дн] и]с — о — — ио(х), — ! = О, дС и=о 21.37. Решить задачу ид = ао(х) ие* С > О, х ф О, гдеа(х)=априх<0, а(х) =Ьприх>0; иЬ=о = д(х), и] = — о = и[,=ео, ие],=-о = Ьие]е=~-о доо~ ],— = (С), д ] =0 Ответы к 221 С-е/« 21 7. 0 при х > аС; — аедсС д) )' е Сс д(т) д(т при х < аС.
21.3. -[ио(х+аС)+ио(х — аС)] при х > аС; 1 ад — е — [ио(х+аС) + но(аС вЂ” х)] — СУед1« нб (г ио(С) ессосСС при х < аС. 2 о ддд, г [д(д д"д) д(дд* дд"+дд')],, д) = д при х < О, С(х) = — а С д(т) д(т при х > О. 21.10. -[йо(х+аС)+но(х — аС)] + — / йс(~)с(с, где функции 1 1 2 2а е-«С йо(х), йс(х) четные, 21-периодические и совпадающие с функциями ио(х), из(х) при 0 < х < С. дд дд.
гд-дг(д (д — *- — д") дд(дд — ' — д д"+'д)], дф=д, «=о а а С < О, д(С) = д(С), С > О. 21.12. — [йо(х+аС)+йо(х — аС)] + — лС йс(С)дЦ, где функции 1 1 д 2 2а д йо(х), йд(х) нечетные, совпадающие с функциями ио(х), ис(х) при 0 < х < С, а ио(х — С), йд(х — С) — четные функции.
21.13. хо + хС+ Сз. СИ. другие мепсоды 277 21 14 4Сс+4Сгхг+ -хс+вуп2С в1пх. 1 6 1 21.15. 9хгг+ 27хз при х > -С; Се+ 27Схг при х < — С. 3 3 21.16. х + С + Сг + сов х сов С. 21.17, х+ С при х > С; 2С+ зсп (х — С) при х < С. 21.18. х+ 31+ е' — Зз1пгсов — при х > ЗС; 2х+ е' — Зсозг з1п — при х < ЗС. 3 21.19.
1+хС+Сге г*. 21.20. 0 при х>С; 1 — — е *- — [в1п(х — С)+сов(х — С)] при х< С. 1с. 1 21.21. 1 — х+2Сг при х > С; 2Сг — С вЂ” — (х — С)в+е' * при х < С. 21.22. хг -1- Сг. 21.23. 1) хг — 2Сг. 2) 2+ 2С вЂ” х+ Сг при х > 2С; хС вЂ” — хг + 2ес есг при х < 2С. 21 24 1) хз + Зхсг при 0 < х+ С < 2, 0 < х — С < 2; ЗхгС+ Сз при 0<х+С<2, — 2<х — С<0; 2) 2хз + бхсг при 0 < х+ С < 4, 0 < х — С < 4; (х + С) + 8(х — С) при 0 < х + С < 4, — 2 < х — С < О.
21.25. С, = Т+ —. а 21.26. — [(]х] + аС) а(]х] + аС) + ([х[ — аС) а([х] — аС)] + 2]х[ Се С+ос + — / ЯОЯ) с(~с при ]х] > 1+ аС; 2а]х] !е!-ас — [(]х[ + аС) а(]х[ + аС) — (2 — [х] + аС) а(2 — ]х] + аС)] + 2]х[ Сец+ес + — / И(С)аС при 1<]х]<1+аС. 2а]х] г-а+ос 21.27. 0 при [х]>1+С е -с-с с+с-(е) ]х] — е~*~ ' ' / е'д(г)сСт при 1<]х]<д.С-С, 21.28. — [(]х] + С) а(]х] + С) + (]х[ — С) а([х[ — С)] + 2]х] ~.
~с-с + — / ссу(с)сСс при ]х] > 1+ С; 2]х] (г~-с ~е С+с 2]х] — [(]х]+ С) о(]х]+ С)+ (2-]х[+С) а(2-]х].1-С)]+ 1 / у(д),ц 2]х] г — 1е(+с г-|о!+с — — е94 ' г / Сев[а(~) — СЗ(~)]с(~ при 1 < ] [<1+С ]х] 278 Гл. И. Смешанное задача 21.29. 0 при )х) > 1+1; 1 с+с-(е) ~х( — е(а+')0*) ' с) / е(~+с)зд(т) с(т при 1 < )х! < 1+ й. зззз. з / зСО( з( — з,,зз) — р(-~ ~С~))аз о оо 21.31. — з( с 2а~/й / тз/з '1 4а~ г) о зззг. — * / ЛО(,з(-~',е)з р~ З+,е~)а, о 21.33. — — /' а гд(С вЂ” т) ) хз з ехр ~ — — ~ сст. з/й / ~/т 1 4азт) о с 21.34. ' /д('-') -з*/(ез),( о с аз + — е* I д(1 — г) е' (г е а с(се с(т.
~/й .с о з/з+е/(зз/т) о о гззз. ' /,ло( .~з-сг .~ ..'(~з"сг .))а, г~/хс, о 2137 / е с сК при х<0; -з/(зачгС) /(гь,/с) )за — 1+ — с) е с с(~ при х)0. Ь+йа~ йа,/х 1 о Дополнение ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 3 1. Метод характеристик Задача 1. Найти решение задачи Коши для уравнения у ия„+ияя — — из —— О 2 (1) У в полуплоскости у > О, удовлетворяющее начельным условиям и~„-~ = 1 — х, из)„— з — — 3. (2) Р е ш е н и е. Сначала найдем общее решение уравнения (1) в полуплоскости у > О. Для этого приведем уравнение (1) к каноническому виду.
Характеристическое уравнение -уз охду + (ох)Я = О распадается на два уравнения 4х = О, — узау + 4х = О, для которых х = С, Зх — уз = С являются общими интегралами. Следовательно, в уравнении (1) нужно сделать замену переменных ( = х, и = Зх — уз. Тогда ия = — Зу и„, и,„= — Зу ие„— 9у и„„, икя —— 9у 脄— буиэ и 2 2 3 4 уравнение (1) приводится к каноническому виду ие„= О.
Интегрируя это уравнение, находим и = Я) + д(п) = у(х) + д(Зх — уз) . Теперь воспользуемся начальными условиями (2): у(х) +д(Зх — 1) = 1 — х, -Зд'(Зх — 1) = 3. Решая эту систему, получаем у(х) = 2х + С, д(х) = — х — С. Следовательно, решением задачи (1), (2) является функция и(х,у) =2х+С+(-Зх+уз — С), т.е. и(х,у) =уз — х. Задача 2. Найти решение задачи Гуров для уравнения и„+ Зи,„— 4脄— и, + и„= О (1) во всей плоскости, удовлетворяющее условиям и~„-я = бх+ е*, и)„, = 1.
(2) Р е ш е н и е. Найдем общее решение уравнения (1). Характеристическое уравнение (4у)з — Зпхау — 4(<Ь)з = О распадается на два уравнения ду+ 4х = О, 4у — 44х = О, для которых у+ х = С, 280 Яононненне у — 4х = С являются общими интегралами. Заменой переменных 5 = у + х, и = у — 4х уравнение (1) приводится к каноническому виду 1 ис„— — и„= О. Интегрируя зто уравнение, находим и = У(О)е с~~+у(с) = у(у — 4х)е ~"+*~~~+у(у+х). Воспользуемся условиями (2): ДО)е *+д(5х) = 5х+е*, (3) Д вЂ” 5х) + д(0) = 1.
Решая зту систему, получаем Дх) = 1 — д(0), д(х) = х+ е*1з— — ДО) е '~з. Следовательно, и(х,у) = [1 — д(0)]е ~'~здз+х+ у+е~*+з~~з — У(0)е (*"з~~з. Учитывая, что из системы (3) при х = 0 следует равенство у(0) + + д(0) = 1, окончательно находим решение задачи (1), (2): и(х, у) = = х+ у+ е< +з11з.
Задача 3. Найти решение смешанной задачи для уравнения ии — 4и„= бхз (1) в области х > О, з > О, удовлетворяющее условиям . и[з=о = х, из[з=о = О, и],=о = 3 з з (2) Р е ш е н и е. Общее решение уравнения (1) имеет вид и(х, з) = = Дх + 2з) + д(х — 2з) + хзз. Из условий (2) получаем У(х) + д(х) = хз, х > О, ~'(х) — д'(х) = О, х > О, (3) У(21)+ ( 21) Зз З>0 з Из первых двух уравнений отой системы находим 1(х) = — х + С, з 2 д(х) = — хз — С, х > О. Подставляя найденную функцию Дх) в тре- тье уравнение системы (3), получаем д(х) = — хз — С, х ( О.
Следо- 3 з вательно, решением задачи (1), (2) является функция (.+21)з+ ( 21)з+ .Зз > 21 и(х,з) = — х+ 21) + — х — 2Ц~ + хЗ~, х ( 2С. Задача 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения им Оияж 2 (1) в области х > О, з > О, удовлетворяющее условиям и[з=о =х+х', из[с=о = -9х', (и — и,)! =о = зз — 1 (2) З д. Мепзод раэдееенпя переменных 281 Р е ш е н и е. Общее решение уравнения (1) имеет вид и(х, Ф) = = 1(х + 31) + д(х — 31) + 1з. Из условий (2) получаем дх) + д(х) = х + хз, х>0, ЗУ'(х) — Зд'(х) = -Охз .>О,' (3) У(31) + д( — 31) — у'(Зе) — д'( — 31) = — 1, 1 > О. 1 Из первых двух уравнений этой системы находим у(х) = — х + С, з 2 д(х) = — х+ хз — С, х > О.
Подставляя найденную функцию Дх) в 1 1 третье уравнение системы (3), получаем д'(х) — д(х) = С + — — — х, 1 откуда д(х) = Сзе' + — х — С, х < О. Из условия непрерывности функции д(х) при х = 0 находим Сз = О, т. е. д(х) = — х — С, х < О. 1 Следовательно, решением задачи (1), (2) является функция (х — ЗФ) +х+Ф~, х > ЗФ, и(х,Ф) = х+ 1з х<3$. 3 2. Метод разделении переменных (2) (6) Задача 5.
Решить смешанную задачу для неоднородною уравнения гиперболическою типа ин — ион=21, 0<х<1, Ф>0 (и при начальных условиях и1е=о = О, и4=о = х и граничных условиях и),-о — — О, и,(,-з — — С. (3) Р е ш е н и е. Подберем сначала такую функцию ю, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (3). Пусть, например, ю = х1. Тогда ши — ео„=О, ео)е=о =О, юе(е-о=х. Следовательно, функция о(х,Ф) = и(х,Ф) — хг (4) удовлетворяет уравнению ои — о =21, (5) однородным граничным условиям о),-о — — О, о,(,-з = 0 и нулевым начальным условиям и!е=о = О, ое!е=а = О. (7) Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения ои — о„= 0 при условиях (6), (7), положим и(х,г) = = Х(х) Т(1).
Приходим к следующей задаче Штурма — Лиувилля: 282 Явно««ение Хо(х) + ЛгХ = О, Х(0) = О, Х'(1) = О. Решая эту задачу, находим ее собственные значения Л„= — + кп, и = О, 1, 2, ..., и соответствующие собственные функции Х«(х) = в1пЛ«х. (8) Решение задачи (5)-(7) ищем в виде ряда о(х,1) = ~~~ Т«(С) в1пЛ«х| (9) «=о где (11) Так как 1 1 вш Л„хдх = —, то а„=~ вшл„хая = —, г 1 г. 2 21 l " л„' о о и из (11) и (12) получаем т„"я+л'„т.я = ~. Общее решение уравнения (13) имеет вид т„(1) = — „+ Авшл„г+ В сов Л„1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
