В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Смеогаимаэ задача 20.40. Лан тонкий однородный стержень 0 < х < 1, боковая по- верхность которого теплоизолироввна. Найти распределение темпе- ратуры и(х,г) в стержне, если: 1) концы стержня х = О и х = 1 поддерживаются при нулевой температуре, а начальная температура и)г-о — — ио(х); рассмотреть случаи: а) ио(х) = А = сопвС, б) ио(х) = Ах(1 — х), А = сопвС; 2) конец х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а на конце х = 1 происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, начвльнвл температура стержня и!г=о = ио(х); 3) на обоих концах стержня (х = 0 и х = 1) происходит теп- лообмен с окружающей средой, а начальная температура стержня и!в=о = ио(х); 4) концы стержня (х = 0 и х =1) теплоизолированы, а начальная температура и!г-о = ио = сопвС; 5) концы стержня теплоизолнрованы, а начальное распределение температуры задается формулой ио = сопвС, если 0 < х < —, «)С=о = О, если — < х <1; 1 изучить поведение и(х, С) при С вЂ” г со; б) концы стержня теплоизолированы, а 2«о — х Е если 0<х<- 2' и!С=о = — (1 — х), если — < х < 1, 2«о 1 где ио = сопвС; найти 1пп и(х, С) .
г->оа 20.41. Решить следующие смешанные задачи: 1) иг = «э,„О <х <1, и*!*=о = О, и,!эал — — О, и!г=о = х — 1; 2) иээ = иг+и, 0 <х < 1, и!*=о =и!,-С = 0„«(С=о =1; 3) иг = и,э — 4«, 0 <х < х, и/*=о =и!э= = О, и(э=о = х — ях. 20.42. Лан тонкии однородный стержень 0 < х < 1, боковвл по- верхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе- ратуры и(х, С) в стержне, если: 1) концы стержня поддерживаются при постоянных температу- рах и(,=о = иы и(,=г = иг, а начальная температура равна и!, о = = ио = сопвС„найти 1пп и(х, С); Ф-> оо 2) концы стержня имеют постоянную температуру и),-о = и),-г = = иг, а начальная температура задается формулой и(С=о = ио(х) = Ах(1 — х), где А = сопвС; нанти 1пп и(х, С); Ф-+оо 257 З ЯО.
Метод роэделення переменных 3) левый конец стержня теплоизолирован, правый поддерживается при постояннон температуре и~,-г = иг, начзльнзл температура А равна и)е-о = — х, где А = сопзФ; 4) левый конец стержня поддерживается при заданной постоянной температуре и~,-о —— иг, а на правый конец подается извне заданный постоянный тепловой поток; начальная температура стержня и~е — о = = ио(х). 20.43. Пан тонкий однородный стержень длины 1, с боковой поверхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, имыопгую нулевую температуру; левый конец стержня поддерживается при постоянной температуре и)е — о = иг. Определить температуру и(х, г) стержня, если: 1) правый конец стержня х = ( поддерживается при температуре и),--г = иг = сопзе, а начальная температура равна и)е-о = ио(х); 2) на правом конце происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю; начальная температура равна нулю.
В задаче о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при заданных температурах, зависящих, вообще говоря, от г, граничные условия имеют вид и)е-о = аг($), (8а) В этом случае решение задачи (1), (3), (За) можно искать в виде и = и + ю, где функция ю определяется формулой го = аг(В) + — х х (аг(е) — аг(е)).
20.44. Найти распределение температуры в стержне 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его правом конце х = 1 поддерживается температура, равная нулю, а на левом конце температура равна и~,-о = Аг, где А = сопзФ. Начальная температура стержня равна нулю. 20.45. Решить следующие смешанные задачи: 1) ие=иии, 0<х<1, ие)и-о=1, и!е=г=О, и~е=о=О; 2) ие = и„+ и+ 2з$п2х з!пх, 0 < х < я/2, и,(е=о = и~х= (г = = и)е=о = 0; 3) ие = и , — 2и, + х + 2й, 0 < х < 1, и1,=о = и~ =г = г, и!е=о = = е*з1пях; 4) ие — — ие, + и — х+ 2зш2хсозх, 0 < х < гг/2, и(е=о = О, ии)и=и/г 1 и)С=о — хз 5) иг = и„+ 4и+ хг — 2Ф вЂ” 4хге + 2созг х, 0 < х < Я, и, (,-о = О, и,),— = 2яг, и)е=о = 0 К Пое реи.
В.С. Влаеинироео 258 Гж Уй Смешаниак задача 6) иг — и„+2и, — и = е* зшх-Ф, 0 < х < т, и)о=о = 1+1, и),—, = = 1+ 1, иц=о = 1+е*вш2х. 20.46. Решить следующие смешанные задачи: 1) иг — и„— и = ХФ(2 — С) + 2 Савв, 0 < Х < т, ио ),-О = 1~, ио ),=э = = гг, иц=о = сов 2х; 2) иг — и — 9и = 4з)пп г сов Зх — 9хг — 2, О < х < т, и ) -о - — О, ио),-„= 2к, и)г=о = х + 2; г 3) иг — — и„+ би + 2Ф(1 — 3$) — бх + 2совх сов 2х, 0 < х < л/2, и,)*=о = 1, и), е/г = Ф~ + х/2, иО=о = х; 4) и~ — — ио, +би+ хо(1 — бг) — 2(г+ Зх) + з1п2х, 0 < х < т, ио)*=о =1, и,)о-„= 2тг+1, и)с=о = х; 5) иг = и,о+4и, +х — 41+1+с г*совгтх, О < х < 1, и),-о = г, и), г = 21, и)в=о = О.
(16) 20.47. Пан однородный шар радиуса В с центром в начале координат. Определить температуру внутри шара, если: 1) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а начвльная температура зависит только от расстояния от центра шара, т. е. иц=о = ио(г); Задача о распространении тепла в однородном шаре радиуса В с центром в начале координат в случае, когда температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки от центра шара, приводится к решению уравнения теплопроводности — =а ~ — +- — / ди г /дги 2 ди1 дг (,д" ° д / (14) при начальном условии иц=о = ио(г).
(15) Если на поверхности шара происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, то граничное условие имеет вид (и„+Ьи)~, л — — О. Полагая и = ти, получаем — =а до г дго дг дг' ' (17) е) =о = О, ~ег+ (Ь вЂ” — ) о~( = О, (18) и)г=о = гио(г). (19) Таким образом, задача (14)-(16) приводится к задаче (17) — (19) о распространении тепла в стержне, адин конец которого (г = 0) поддерживается при нулевой температуре, а на другом конце (г = В) происходит теплообмен с окружающей средой (см. задачу 20.43).
259 З 80. Меепод разделение переменных 2) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, а и~е-о = = ио(г)' 3) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру и1 — — сопзФ, а и)е-о = ио = сопзС; 4) внутрь шара, начиная с момента ! = О, через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности д = сопзФ, а начальная температура и!е=о = ио = сопя!.
20.48. Лана тонкая квадратная пластинка (О < х < 1, 0 < 9 < !), для которой известно начальное распределение температуры и~е-о = = ио(х,у). Боковые стороны х = О, х = ! и стороны оснований д = О, 9 = ! во все время наблюдения удерживаются при нулевой температуре. Найти температуру любой точки пластинки в момент времени ! > О. Нахождение решений задач 20.48 — 20.52 требует применения бесселевых функций (см.
с. 249). В частности, задача о радиальном распространении тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса Н, боковая поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, приводится к решению уравнения (20) при граничном условии (21) и(„и=О и начальном условии и(е=о = ио(г). () Применяя метод разделения переменных, найдем, что решение задачи (20)-(22) можно получить в виде и(г !) = з а„3о/~— "' ) е !'""!л! о=1 где !е„— положительные корни уравнения,Уо(!е) = О, а коэффициенты а„определяются из начальною условия (22). 20.49.
Лан неограниченный круювой цилиндр радиуса Н. Найти распределение температуры внутри цилиндра в момент времени 1, если: 1) на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая температура, а температура внутри цилиндра в начальный момент равна и)е=о = А 7о ~ — (, где пь — положительньй корень уравнения /аег1 ~ л/' уо(,л) = О; 2) поверхность цилиндра поддерживается при постоянной температуре из, а начальная температура внутри цилиндра равна нулю; Га.
И. Смешанное эаггача 3) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окру- жающую среду, температура которой равна нулю, а начальная тем- пература равна и)г=е = ио(г ). 20.50. Найти решение смешанной задачи 1 1 иг = и,е + — и, — — и + 7(1),7д(7гзх), х * хз где 1гз — положительный корень уравнения,7д(7д) = О, О < х < 1, )и),=с) < оо, и), д =О, и!г=с = О, если: 1) 7(1) швдпд; 2) Д1) =е г. 20.51. Найти решение смешанной задачи 1 иг = и + иг + 1 7о(7здг) где 7гд — положительный корень уравнения,7с(7д) = О, 0 < г < 1, (и)„=с! < оо, и)„=д = О, и)г=о = О- 20.52. Решить следующие смешанные задачи: 1 1) иг = хи„+ и, — — и + 17д (1ззд/х), где 1гз — положительный корень уравнения,7д(7з) = О, 0 < х с 1, и~ -а =О !и),=с! с оо, и(е-д = О, 2) иг = хи„+ и, — — и, 0 < х < 1, 9 !и)е=с! < оо, и(е д = О, и1г=с = Хз ((зздгГх), где 7зй — положительный корень уравнения,7з(р) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
