В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 40
Текст из файла (страница 40)
За- метим, что решения ТБ($) уравнений (15) при условиях (16) можно представить в виде Тв(г) = / / д(бг'Г) вгп — ($ — г) 81п — И~ г(г. (17) 2 г Г . Йха , Йхб Й . / / Решение задачи (11), (2), (3) представляется в виде ЙБ'х / Йяаз . Йха$1 . Йхх и(х, 1) = ~~~ ТЙЯ вш — + ~~~ ~ай сов — + Ь» вш — ) вш —, 1=1 1=1 где функции ТБ(х) определяются формулой (17), а коэффициенты ай и ЬЙ вЂ” формулами г г . Йкх оз = — / оо(х) 81п ггх, о а ю есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (3) и начальным условиям (2).
Решение и представляет вынужденные колебания струны (эти колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы при отсутствии начальных возмущений), а решение ю представляет свобоцные колебания струны (они обусловлены начальными возмущениями).
Функцию о отыскиваем в вице ряда о(х,г) = ~~~ ТЙ(1) 81п () 8=1 по собственным функциям задачи (6), (7). Подставляя (12) в (11), получаем т' ~г," Х: ( —,) т Х~ Π— '* = го О 8=1 ' Разлагая функцию д(х, 8) в интервале (О, 1) в ряд Фурье по синусам д(Х,Б) = ~ дз(г) в1п— (14) и сравнивая (13) и (14), находим дифференциальные уравнения Йха ТБ'(Б) + ~ —,') ТЙ(1) = д,(Б), (15) где г е0.
Метод разделения иеременимх 20.6. Решить методом разделения переменных слецующие смешанные задачи: 1) им=и„+2Ь (Ь=сопзг, 0<х<С), и!,-о=О, и!-с =О, и!е=о = иг!е=о = О; 2) иге = и„+ созС (О < х < я), и),=о = и/,— = О, и!г=о = =ие!г=о = О. 20Л. Решить задачу о колебаниях однородной струны (О < х < С), закрепленной на концах х = 0 и х = С, поц действием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью р(х, С) = Арзшыг, Ьга ы ф — (Се = 1, 2,...). Начальные условия — нулевые. 20.8.
Решить задачу о продольных колебаниях стержня, подвешенного за конец х = 0 (конец х = С свободен), совершаемых под влиянием силы тяжести. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются по некоторому закону, приводится к решению уравнения (11) при граничных условиях вида и! =о=Сег(С), и! яя =Сег(С) (18) и начальных условиях (2). Решение задачи (11), (2), (18) ищем в шще и = о+го, где го = Сег(С) + — (Сег (С) — Сег (С)) — функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям (18).
Тогда функция о(х, С) удовлетворяет нулевым граничным условиям о!,=о = о!,=г = О, уравнению иге — а о„= ум где уг(х, С) = г = д(х, С) — (гоге — а~го ), и следующим начальным условиям; о!е=о =ио(х) — го!е=о, ое!е=о =иг(х) — гое!е=о (19) Мы пришли к задаче типа (11), (2), (3) для функции и. Замечание. Иногда удается найти функцию о, удовлетворяющую неоднородному уравнению (11) и заданным граничным условиям (18). Тогда, отыскивая решение задачи (11), (2), (18) в виде и = о + го, находим, что функция го удовлетворяет однородному уравнению (1), нулевым граничным и начальным условиям (19).
20.9. Решить следующие смешанные задачи: 1) и =ии, 0<я<С, и! =о=О, и! -г=С, и)е-о=ие)г=о=О; 2) иее = им, 0 < х < 1, и!,=о = С+ 1, и!,=д = Сз+ 2, и!е=о = =х+1, — ! =О. Ои! оС е=о 20.10. Решить задачу о вынужденных поперечных колебаниях струны, закрепленной на одном конце (х = 0) и подверженной на дру- Га 'г1. Смашаииая задача гом конце (х = С) действию возмущающей силы, которая вызывает Ьга смещение, равное Азшагс, где ас ф — (й = 1,2, ...). В момент времени С = 0 смещения и скорости равны нулю. 20.11.
Пусть стержень длиной С, конец которого х = 0 жестко закреплен, находится в состоянии покоя. В момент С = 0 к его свободному концу х = С приложена сила Я = сопзС, действующая вдоль стержня. Найти смещение и(х, С) стержня. 20.12. Решить задачу о продольных колебаниях однородного цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила Я = А вгп асС, направление которой совпадает с осью стержня (ос ф, й = 0,1,2,...). ая(2Сс+ 1) 20.13.
Решить задачу о свободных колебаниях однородной струны длиной С, закрепленной на концах и колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Начальные условия нулевые. 20,14. Решить следующие смешанные задачи: 1) исс=и — 4и (0<х<1); и! — о=и!х-С=О; и!с-о -— х — х, ис!с=о = 0; 2) пи + 2ис — — и„— и (О < х < я); и!,=о = и!ххя = 0; и!с=о = = сгх — хг, ис!с=о = 0' 3) исс+2ис = и„— и (0<х<сг); и,! =о=О, и!,—, = 0; и!с=о=О, ис!с=о = х; 4) исс+ ис = и„(0 < х < 1); и/,=о = С, и!а-г = 0; и!с=о = О, ис!с=о = 1 — х' 5) исс —— их, + и (О < х < 2); и!,-о = 2С, и!,=г = 0; и!сшо = = ис!с=о = О' 6) исс —— иа,+и (0<х<С)' и/,-о=О, и!,— С=С; и!с-о=О, х ис!с=о = —. Т' 20.15, Решить следующие смешанные задачи: 1) ии —— и +х (0<х<я); и!-о=и! — хшО; и!с-о=в1п2х, ис!с=о = О' 2) ии + ис = и„+ 1 (О < х < 1); и!*=о = и!*=г = 0; и!с=о = = ис!с=о = О.
20.16. Решить следующие смешанные задачи: 1) им — гс„+ 2ис —— 4х+ 8ессовх (О < х < я/2); и,!,-о = 2С> и! -„Сг = сгС; и!с-о = соя х> ис!с=о = 2х; 2) ии-и„— 2ис = 4С(апх-х) (0<я<я/2); и!,-о = 3, их! = Сг+ С; и!с=о = 3, ис!с=о = х+ з!пх; е0. Менсод разделения неременнмв 247 3) исс — Зис — — и„+ и — х(4+ с) + сов — (О < х < сг); и,! =о = Зх =1+1, и1,— = я(1+1); и!с=о =ис1с=о = х; 4) исс — 7ис = и,„+2и, — 21 — 7х — е ев!пЗх (0<х<сг); и1,=о = О, и1 = = хс~ и1с=о = О, ис!с=о = х; 5) им+2ис — — иеэ+8и+2х(1 — 41)+совЗх(0<х<х/2); и,!е-о = 1, сгС и!*= уг = — ~ и!с=о = 0 ис!с=о = х~ 6) ии = и„+ 4и + 2сйп х (О < х < х); и,),=о = и,1,— = 0; и!с=о = ис1с=о = 0; 7) ии = и„+ 10и + 2 вгп 2х сов х (О < х < г//2; и!, =о = и 1 = 7г = 0; и!с=о = ис!с=о = 0; 8) исс — Зис = и„+2и, — Зх — 21 (О < х < х); и1,=о = О, и1,=„= = хз; и!с=о = е ' вш х, ис1с=о = х.
дис — = ис(х,у) дс !с=о 20.17. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мем- браны (О < х < р, 0 < у < р), закреппенной вдоль контура, если сгх . сгу ди! и!с=о = Авш — вгп —, — ! = О. Р Р дс с=о 20.18. Решить следующую смешанную задачу: исс=с1и (0<х<я, 0<у<сг), и1,=о = и1,-э = и1„-о — — и!з-сг = О, и!с=о = Зв1пх в1п2у, ис!с-о = 5в1пЗх с4п4у. 20.19.
Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (О < х < р, 0 < у < д), закрепленной вдоль контура, ди! если и!с=е = Аху(х — р)(у — 4), — ! = О, дс и=о В задачах 20.17 — 20.20 требуется применять метод разделения переменных для изучения колебаний мембраны. Задача о колебаниях однородной мембраны сводится к решению уравнения ии = агс1си + / при некоторых начальных и граничных Условиях (см.
с. 14-16). В частности, задача о свободных колебаниях прямоугопьной мембраны (О < х < р, 0 < у < д), закрепленной по контуру, сводится к решению волнового уравнения при граничных условиях и1,=о = и!е-р — — и!р=о = и!в-я = 0 и начальных условиях и!с-о = ио(х, у), 248 Гл.
'г'Х. Смешанная задача Задача о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса В, закрепленной по краю, приводится к решению уравнения 1 дзи дзи 1 ди 1 дзи — — = — + — — + —— (20) а' дЗз дгз т дг гз дуз при граничном словии (21) У и),.— н = 0 и начальных условиях ди и)е=о = ио(т 'р) = и1(т,оз).
дй и=о Применяя метод разделения переменных, положим и(т,р,1) = Т(1) о(т,Оз). Подставив (23) в (20), получим уравнение для ТЯ Та(1) + а Л Т(1) = 0 и следующую краевую задачу для и(т, ф: дзи 1 ди 1 дзо — + — — + — — +Лзо = О. дт' г дг г' дуз (22) (23) (24) (25) 2я-периодической функцией от <р, т.е. и(т,~р) = и(т,аз+ 2з.), и что эта функция ограничена в центре круга, т.е. (о)г=о~ С оо. Кроме того, из условия (21) следует, что о)г-н = О. (26) (27) (28) Применяя метод разделения переменных к задаче (25)-(28) положим (29) (т,1р) = Ф(р) г( ) и из (25) найдем, что Фа(оз) + и~Ф(1р) = О, (30) га(.)+-'г'(.)+(Лз- — "')г(т) =О, причем в силу (27) и (28) должны выполняться условия г(В) = О, (31) (32) 1г(о)! < (33) Из (30) и (26) находим (и = и целое): Фа(~Р) = Аасозп~Р+ В„з1пп1Р.
(34) Уравнение (31) подстановкой Лг = х(г(т) = д(х)) приводится к уравнению Бесселя Из физического смысла задачи вытекает, что функция и(т, Оз) является З »0. Метод разде»а»из иераиеииыя 249 .2»+ г+(.2,2) 0 общее решение которого имеет следующий внд: 9„(х) = Сд.7„(х) + СзУ„(х), где 1„(х) и У,(х) — функции Бесселя 1-го и 2-го родов и-го порядка. Свойства функций,7,(х): ,7( )=О (35) при и ) -1 — вещественные и простые (кроме, быть может, корня (з = 0); они симметрично расположены на оси (з относительно точки (е = 0 и не имеют конечных предельных точек; и 0 (Фя 2) ( Х.7„( — ),7»( — е ) Нх = »з 772 (36) где рн и (з — различные положительные корни уравнения (35); 3) функция 7(х) при некоторых условиях разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по системе функций,7„(дах/71) (й = = 1,2,...), где (зыдз,...
— положительные корни уравнения (35). Вернемся к уравнению (31); его общее решение при и = и имеет вид Я„(г) = С„,7„(Лг) + Р„1'„(Лг). Так как в окрестности точки х = 0 функция,7„(х) ограничена, а функция У„(х) является неограниченной, то в силу (33) Р» т О, т.е. В„(г) = С„,7„(л1). (37) Из условия (32) находим .7»(ЛВ) = О. Полагал Ллтд, (38) пРиходим к УРавнению (35); пУсть (зз,(зз,...
— его положительные (»1 (») корни, т.е. ,7„((д "У) = О, (ш = 1, 2,...). (39) Тогда из (37) — (39) получаем, что функции (40) являются решениями задачи (31) — (ЗЗ). Функции ад~" ~( . арй(( ( ит(г, р, е) = А„соз + В„з(п 7( сов п(о+ (») 250 Га. Уй Смееааииае задача в силу (23), (24), (29), (34), (38), (40) являются частными решениями уравнения (20) и удовлетворяют граничному условию (21). Решение задачи (20)-(22) ищем в виде формального ряда и(т,уз,Ф) = ~~~ ~~~ и««(т>8з,е), «=о ««=1 где функции и„,„определяются формулами (41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
