В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 44
Текст из файла (страница 44)
20.38. — вш 7=" 1,7г(7г»./х). 'д» 2 20.39. — вш — 1,7з(7г!»/х). 2 . !г! 'д! г ! ( гяко1з ) . япх 2 г . зих 20.40. 1) ~ а„ехр! — !1 — 7! !»вш —, где а„=- !ио(х) зш — г7х; о если ио(х) = А = сопев, то ОО 2 — — '."Н"'"") )"'*""" »=о если ио(х) = Ах(х — 1), то 8А1» ч-~ 1 ( 7(2Й+1) яо1 1 . (21г+ 1) ггх „з Х (27,+1)з ~ ~ 1 /!)' ехр 7! 1)! в1п »=о ! 2) — ~„а„" з ехр ~- ( — "~ ! згп — ", где а„= ~ио(х) х о х з1п —" г(х, д„(п = 1,2, ...) — положительные корни уравнения Зязг = --, а = 7г7 > О (Указание.
Граничные условия имеют !г вид и),-о=О, (и, +7!и)~ =! = 0.); 268 Га. У1. Смошапиая задача о ные корни уравнения сф81г = — ~- — -г1, гг = Ы, ио(х) = и!г=о 1 ГН 2 ~а ггг" (У к а з а н и е. Граничные условии имеют вид (и, — йи) ~,-о = (и, + Ьи)),=г = О.); 4) ио (Указание.
Граничные условия имеют внл и,),-о = =и,(,-г = О.); 5) ио 2ио ~ ( 1)в 1 1 1(2й+Цяа1 1 (2й+ Ц вх ио г-гсо ' 2 ' гго 4ио ~~ 1 ) 12(2й+ Ц ка'1 )( 2(2й+ Ц ггх 1пп и(х,г) = —. с-гсо ' 2 20.41. 1) — Я екр ~ — ~ — к) 11 сов — ггх; 32 ( — Ц" ( г2+1 кг 1 2+1 вз „о(2п+Цз ( ~ 2 г' ) 2 4 ~~ 1 (2й+Цгг, (2й+Цях 8 1 3) — — 2, ехр1 — (2й+1)г) в!п(2й+1)х. в в=о (2й+ Цг 20.42. ц иг+ ' х+ — Я вЂ” ((ио — иг)(1 — ( — 1)")+ я„го /пяакг \ . ггпа + ( — 1) "(иг — ио) ) екр ~ — ~ — ) 11 вгп —, х 1пп и(х,г) = иг + (иг — иг) —; г-+ОО 1 ) 8А1' Д 1 1' /(2й+Ц ~,) .
(2й+Ц * 2 иг+— г екр~ ) гг в(п — 4иг ~„ехр1- ~ ( /(2й+ Ц ва1 ) . (2й+ 1) ггх ) Ф~вш 1пп и(х,г) =иг,. ) )' 4(А-иг) ~~ ( — Ц" ) 1'(2й+Цяа1 1 (2й+Цггх 8А ос 1 ) ((2й+ ц яа) )( (2й+ ц зх В Я0. Метод рюздееення нерессеннме 269 4) дх ~ ~ 4 (2н+1)нес+14/Ь1 1 /(2н+1)ню1 ) ~ ехрв( — ~ ~сгх х вш, где а„= — г'ио(х) гйп бх (Указа(2н+1) ях 2 г . (2н+ 1) в.х 21 ' " 1.г 21 о н и е. Граничные условия имеют вид и~«=о=им абие~,-с = я ). й й вЬ вЂ” 1 «=1 « низ Ь х ехр( — (аЛ„)з1) вш —, где Лз = ( — ) + ( — ), а„= / ио(х) х янх о х в1п — г(х (У к а з а н и е.
Задача приводится к решению уравпения 2 2 ис = а и„— Ь и (*) при граничных условиях и~,-о = иг, и~,-г = из и начальном условии и!с=о = ио(х). Решение этой задачи искать в виде и(х, С) = е(х) + +т(х,Ф), где е — решение уравнения азин(х) — Ьзо = О, удовлетворяющее заданным граничным условиям, а иг(х,1) — решение уравнения (*) при нулевых граничных условиях и начальном условии иг!с=о = ио(х) — е(х) ); ЬсЬ вЂ” (1 — х) + Ьгюой — (1 — х) ««( с + Ьс) й й 2иаз ~ Сс" Гс« ' х Ь ЬЫ+Ьсю н=с (ю Сс«+Ь) ю ' ю х ехр( — (авр~+Ьз) С)в1пгс„х, где сс„(п = 1,2,...)— 1 И+Ьсг +и положительные корни уравнения вя 1сс = — — (У к а з а н и е. ГраСс Ьс ничные условия имеют вид и(е — о = иг, (и, + Ьди)(е-г = О. Решение искать в виде и(х, г) = и(х) + го(х, Ф), где е(х) — решение уравнения авен(х) — Ьзо = О, удовлетворяющее краевым условиям е(е-о = иг, (ее + Ьго)(,-г = О, а иг(х,с) — решение уравнения (*) (см.
задачу 40.43, 1)) при условиях иг! =о = 0 (го,+Ьго)(«=с =О, ис/с=о = — е(х) ) 2ОА4. 41 — — — ~„— ~1 — ехр ( — ~ — ) 10 в1п —. 20.45. 1) х — 1+ — ~, 'с совЛьх, Ль = нс с=о (2Ь+ 1Р 2) Ссовх+ — (е вс-1) сов3х; 3) хФ+в1пяхе* ' -вс 4) х+Св1пх+ -(1 — е вс) в1п3х; 5) $хв+ — (есс — 1)+Ссов2х; 6) 1+1+(1 — е с) е*вшх+е* ~~вш2х. 20.46. 1) хгз + ее+ гйп1 — сове+ с з'сов2х; 2) хо + 2еос+ (21 — в1п21) сов3х; 270 Гл. '«7. Сл«ешаиная задача 3 ) х+ез+ — (ев' — 1) совх+ — (1 — е з') сов3х; б 3 4) хз!+я+ 2 — (1 е-а(з»-«)'«) в)п(2Ь Цх Сз«-« «(2Й вЂ” 1)з — б 5) 1(х+1)+е з* ~,, (1 — е !» «+4)«)вшЬях, азиз .)- 4 О, если й = 2тп, 20.47.
1) — 2, 'а„е ! "'/и) «вш ™~, а„= / тио(т) в!и — йт; В о я 2) 2 Е а„~/л" !а"а/Я) св!пд — ", а„= 1 (т)в!любит, )«„(и = 1,2,3,...) — положительные корни уравнения Фк)« = — —, И а = Ь — 1 (а > — 1); ЬВ« 3) и«+ 2(и« вЂ” ио) — ')'(-1)"а„е <л""/я) «»4п и-"-, /«„— поло- жительные корни уравнения Ф8 )« = — —, а = Ь — 1 (а > — 1), Ь— /л коэффициент теплообмена в краевом условии [и„+ Ь(и — и«)])„— я = О, зЯ +а /л„й+ (а+1))' д /За бт~-ЗВ~ 2В«» е )~л" /~) ' . )«т 4) ио+ — ( — !+ — — ) 1 в!и — ", ра (и = Ь),Я 1ОЯ т )„~ /«1 В = 1, 2, 3,...) — положительные корни уравнения й8 )« = )«(У к а з а- н и е. Задача приводится к решению уравнения (14) (с. 258) при гра- ничных условиях )и(т=о~ ( оо, ит( =я = — ~.
о1 20,48. 2 ~„о»е !' /') 0 +» )'вш ~— в!и — У, ) С 4 тт . 1ях . Йяу а и = — д ио(х, у) в)п — вш — «(х ду. )Л ' ! оо У к а з а н и е. Применить метод разделения переменных для урав- нения и« = а )3и прн условиях и(л=о = и(лся = и!в-о = и(вгы = О, и)«=о = ио(х,у). 20 49 1) Ае-( л /Я) «1 )/л« "~).
о( 2) 1+ 2 2 4'» ° е-(ла /и) Ф, где р„(т« = 1,2,,) — по»и д-1о(д-) ложительные корни уравнения,/о(р) = 0; г 21, СУ»уеие мееаады 271 Я 3) —, 2, "»",, е 1а""Ун1 ' 7о (»вЂ” "), а = —, ~ гио(г) х о х .Уо ~ — ~ й., где»„(п = 1, 2,3,...) — положительные корни уравне/»аг'1 ния».Уо(»)+ЬВ.7о(») =0 (Указание. Граничные условия имеют вид ]и]а — -о! < оо, (и„+ Сш) [„-и = 0.). 20 30 ц (1+»4)-г(е-аае+»гз1пС созС) 7 (»ьх)1 2) ( г ц-г( -е -а',е) а ( 20.51. [», гС+,и, (е "" — 1)] ао(»гг). Ц (10 -4 -«Сю(4+4 -гС 10»-4) 7 (» Ух). 2) -а ае/4 Уз (»„Я 221. Другие методы и(х,С) = 2 1.1. Доказать, что задача ии — — аи„, С>0, х>0; г и]е=о = О, иг]е=о = О, и]а=о = у(С) имеет единственное решение О, х >аС, д(С вЂ” — ), х<аС, если у Е С (С > 0), д(0) = д'(0) =ум(0) = О.
21.2. Доказать, что задача ии=аи„, С>0, х>0; г и]е=о = ио(х), ие]е=о = иг(х), и[,=о = 0 имеет единственное решение 1 а+ае — [ио(х+ аС) + по(х — аС)]+ — ~ иг(с) дс, х > аС, 2 2а а-ай 1 ае+а — [ио(х+ ос) — ио(ас — х)]+ — / иг(с) е(с, х < ас, 2 2а г аг-а если ио Е С (х > 0), иг Е С (х > 0), ио(0) = иоа(0) = иг(0) = О. Показать, что это решение можно получить из формулы Даламбера (с. 137), если функции ио(х) и иг(х) продолжить нечетным образом для х < О.
21.3. Доказать, что задача ии — — а и„, С>0, х>0; г и]с=о = О, не[и=о = О, иа]а=о = у(С) имеет единственное решение Гл, У1 Смемсаммал задача 272 О, х > а1, и(х,1) = — а / д(т)с(т, х< ос, о если д Е С (1 > 0), д(0) = д'(0) = О. 21.4.,Показать, что задача асс=ага„, Ф>0> х>0; и[с=о = ио(х) ис[с=о = ссс(х), их]х=о имеет единственное решение =0 1 х-~-ас — [ио(х+ас)+ ио(х — ас)]+ — / ис(с)ас, ".
ас — [ио(х + ас) + ио(ас — х)] + 1 2 х > ас, и(х,с) = Г х-~-аС ас-х + —,' [ 7 ° сс>а+ с' >асс'~. о о х < а1, имеет единственное решение х+аС и(х,1) = — [й(х+аС) +йо(х — аг)]+ — / йс(4)сК, х-ас где функции йо(х), ис(х) — нечетные, 21-периодические и совпадаюшне с функцикми ио(х), ис(х) при 0 < х < 1, если ио Е Со[0,1], ис Е С [0,1], ио(О) = ио(1) = ис(0) = ис(1) = иоа(0) = иа(1) = О. еспи ио Е С (х > 0), ис Е С (х > 0), и>о(0) = и>с(0) = О. Пока- зать, что это решение можно получить из формулы Лапамбера, еспи функции ио(х) и ис(х) продолжить четным образом для х < О.
21.5. Доказать, что задача ии =аги„, й >О, 0 <х<1; и]с=о = О, ис]с=о = О, и].=о = д(1), и], с = 0 имеет единственное решение а=о с (д(1), 1>О, '(о, с<о, если д Е Сг (с > 0), д(0) = д'(О) = да(0) = О. 21.6.
Показать, что задача асс=а и „Ф>0, г и]с=о = ио(х), ис[с=о = ис(х), и],— = 0 у ус. другие меосе>йе 273 инст- О, =О, =О, ис[с=о = 2 одах, ие[х=о = 1 В задачах 21.7-21.23 требуется доказать, что существует ед венное решение поставленной задачи; найти зто решение. 217.
им=ага, С>0, х>0; и[с=о = О, не[с=о = О, (и — Ри)]с=о = д(С) д Е С' (г > О) > д(0) = д'(0) = О. 21.8. и,с=аги„, С>0, х>0; и[с=о = ио(х), не[с=о = 0 (ие — Ри)! =о = О> ио 6 С (х > 0), ио(0) — (Уио(0) = О. 21.9. исс — — аги„, с > О> О < х < Ю; и[с=о = О, ис[с=о = О, им[*=о = д(С)> и,[,=с = д 6 С (г > 0)> д(0) = д'(0) = О.
2110. ии — — аги, с>0, 0<х<1; и[с-о = ио(х), и>[с=о = ид(х), и,! =о = О, ие[*=с ио 6 С ([0>Ю])> ид 6 С ([О>(]) ио(0) = ид (0) = ио(1) = и', (1) = О. 21.11. исс=аги С>0, 0<х<1; и[с=о = О, ис[с=о — — О, и[,=о = д(с), и,!*=с = О, д 6 С (с > 0)> д(0) = д'(0) = д"(О) = О. 21.12. ии=аги„, г>0, 0<х<1; с>[с=о = ио(х), ис[с=о = ид(х), и[*=о = О, и*[*=с ио 6 Сг([О,Ю]), ид 6 С'([0,1]), ио(0) = ио (О) = ид(0) = ио(1) = ид (1) = О. 21.13.
нес=и„, С>0, х>0; г г и]с=о = х, и>[~=о = х, ис,=о = С . 21.14. ии — — 4и„+16Р, $ > О, х > 0; 1 4 и[с=о = —,х, и[*=о = 4с . 21.15. 9ии = и„, С >О, х > 0; и[с=о = 27х, ис!с=о = О, и[,=о = с~. з 21.16. иге=и„+2, г>0, х>0; и[с=о = х+ созх, ис[с=о = 1, 21.11. исс — — и„, С > О, х > 0; и[с=о = х, не[с=о = 1, ие]с=о = соз а Гм Уй Сменсанная эасСача = 9и,э + ес, 1 > О, х > О; + х, ис~с=е = 4 — Зсоз — *, 3' =Зи, +2(1 — бсз)е з*, 1> О, х > О; 1, ис!с=о = х, (и, — 2и)1э — е = — 2+1 — 41~. =и„, 1>0, х>0; = О, ис~с=е = О, (и, + и)~э=о = 1 — соз1. =и„+4, 1>0, х>0; 21.18.
ии иЬ=е = 1 и,~э е = 2 — соз1 21.19. исс и!с=о = 21.20. исс и!с=о 21.21. им (и, + и)~ =е = 2 с . З, исссне = 0 и!с=о =1 — х, 21.22. им=и„, 1>О, х>0; и~с=о = х', ис~с=о = О. (ссс — и)1э=е = 21 — 1з. 21.23. 1) асс=и„— 6, 1>0, х>0; и~с=а = хз, ис~с=е = 0 (ис+ 2иэ)~э=е = — 41; 2) исс — — 4и„+2, 1> О, х > О; и'з=е = 2 — х, ис~с=е = 2, (ис + Зиэ)(,=е = Зс — е'.
21.24. Найти наибольшую область, в которой поставленная задача имеет единственное решение, и найти зто решение: 1) исс = иээ; и!с=о = хз, 0 < х < 2, и(э-е =1з, 0 <1 < 2; ис~с=е = 0 х 6 дз. и~~,~ д — — О, 2) исс = и„; и~с-о — — 2хз, иД-е = О, 0 < х < 4, и~у=эх =0 0 <я <1. 21.25.
Показать, что задача им =а~сан, Ф> О, ~х~ >1, хасс~, и(с=о = О, иссс=е = О, и)~,~=с = д(Ф) имеет единственное решение О, !х~ >1+а1, — д(1+ — с), 1 < ~х~ < 1+ аФ, если д 6 Сз(1 > 0), д(0) = д'(0) = д"(0) = О. Показать, что ес- ли д(1) — финитная функция, то и(х,1) = 0 для любого фиксирован- ного х, ~х/ > 1, при достаточно больших 1. В случае, когда д(1) ф 0 при 0 < 1 < Т, д(1) = 0 при 1 > Т, найти момент времени 1„в который через точку х, ~х~ > 1 пройдет задний фронт волны. 21.26. Найти решение задачи исс -— азЬи, 8 > О, !х~ >1, и~с=о = а(~хО, ис1с=о = )3()х~), З 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
