В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 29
Текст из файла (страница 29)
~14. Задача Коши дсе других ураанение и задача Гуреа 173 2. Задача Коши длн уравнения исс — — — сггн+ у(х, с). 14.13. Пусть и(х, с) Е Сс(с > 0). Доказать, что функция и(х, с) является решением задачи Коши ии = — Ь и; и!с=о = Р(х), ис!с=о =0 г тогда и только тогда, когда функция с ш(х,с) = и(х,с) +с~ Ьи(х,т) йт о является решением задачи Коши шс — — сЬш; ш!с=о = 'Р(х). 14.14.
Пусть функция ш(х, с) Е Сс (с > О) является решением задачи Коши шс —— сЛш; и4=о = сР(х) где ср(х) — действительная функция. Доказать, что функция и(х, с) = = Не ш(х, с) является решением задачи Коши ии = -с-'с и; и~с=о = сР(х), иДв=о = О. 14.15. Пусть функция Дх, с) б Сс (й > 0) является бнгармонической (с1~Г = 0) при каждом с > О. Найти решение задачи Коши исс = Ь~и+ Х(х с)~ и!с=о = 0 ис!с=о = О. 14.16.
Пусть ио(х) и ис(х) — бнгармонические функции. Найти решение задачи Коши шс = — с1 и; ~4с=о = ио(х), иДс=о = и,(х). г 14.17. Пусть функция ш(х, с) Е Сс(с > 0) является решением задачи Коши ш~с=о = ус(х), шс = сс1ш; где ус(х) — действительная функция.
Найти решение задачи Коши исс = — Ь'и; и!с=о =О, ис!с=о=у(х). 14.18. Пусть функция ы(х, с) Е Сс (С > 0) является решением задачи Коши шс = ссзш; ш~с-о = сР(х), где сР(х) — чисто мнимая функция. Найти решение задачи Коши иы — — — Ь и; и~а=о = ус(х), ис)с=о = О. 14 19. Пусть ио(х) ЕС"+г(В"), )х/"+~/ио(х)/ <М, )х)"+'!Ю ио(х)/ < < М, (сс/ < и + 3. Доказать, что решение задачи Коши Гл. 1у. Зассано Косаи 174 нсс = — аксаи, н!с-о = но(х), нс!с-о = 0 существует и выражается формулой У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задач 14.5 и 14.14. 14.20. Решить задачи: 1) нсс = — — + 61х; з. =О, ссс1с=о = х 4. дхс 2) нм = -с1зн + хУе', нс!с=о = О' 3) сссс = — сл и+ бх у з; 2 3 з 3.
ос[с=о = О; д'н 1 4) и~- — — д— „О< С < 4' и[с=о =созх, нс!с=о =О. дх" н1с=о х'у', О, в[с=о о[с=о 14.21. Пусть задача Коши (6), (7) поставлена корректно в классе 5'и э(п,1) =Р[и(х,с)] = ~ н(х,~)ес*"с(х, где н(х, С) — решение задачи (6), (Т). Показать, что функция е(п, С) при каждом с > 0 принадлежит классу .с.
и является решением задачи — = Р(п) и, э!с=о = Р[ио(х)!. (8) 3. Задача Коши для уравнения — = Р~й — )и. КлассиВн с. Вз вс ~ в*) ческая задача Коши для уравнения — = Р(с — ) н, С > О, х Е сс~, (6) где Р(п) = поп~ + аспсс с + ... + асс, ао ~ О, сс' > 2, с начальным (7) ставится в классе функций н(х, с) Е С(С > 0), у которых при С > 0 дн дссн существуют непрерывные производные — и —. дС дхсс ' Задача Коши (6), (7) называется поспсавлснной хоррехспно в классе .У' (определение класса,~ см. 3 9), если для каждой функции но(х) х,с".
существует единственное решение задачи (6), (7), которое при каждом С > 0 принадлежит классу р'и убывает при !х! — + оо вместе со своими производными, входящими в уравнение (6), быстрее любой степени !х! ' равномерно относительно Ф в каждом интервале 0 < Ф < 2' < оо. г Ц. Задано Коши доя дрягих уравнения и задача Туреа 175 (9) 4. Задача Коши для 14,26. Решить задачи: 1) ие + 2и, + Зи = О, 2) ие + 2и, + и = х1, 3) 2ие — — и, +хи, 4) 2ие — — и, — хи, 5) ие + (1 + х ) и, — и = 6) ит + (1+ 1~) и, + и = уравнения первого порядка. хз; 2 — х; 1; 2хе* тз. агсеб х; е *; и!е=о и~т=о и1е=о и1е=о и! с=о и!т=о О, 1, 14.22.
Пусть ио(х) Е Я'и Ве Р(о) < С < оо (А) при всех действительных о. Доказать,что функция и(х,Ф) = — т с ( 1 "' / ио(с)е"~йсйт 2я д является решением задачи (6), (7), принадлежит классу С (1 > 0) и при ~х~ — + оо убывает вместе со всеми производными быстрее любой степени ~х~ ~ равномерно относительно е > О. 14.23. Доказать, что условие (А) является необходимым и достаточным для корректности постановки задачи Коши (6), (7) в классе .т".
У к а з а н и е. Для доказательства необходимо показать, что если условие (А) не выполнено, то существует такая функция ио(х) Е .тт', для которой решение задачи (8) не принадлежит классу .К 14.24. Пусть задача Коши (6), (7) поставлена корректно в классе .К Доказать, что ее решение выражается формулой (9), которую можно записать в вице и(х,Ф) = / ио(с) С(х — ~,Ф) йс, (10) С(х,с) = — / е' ~ ~ '*"Йт. 1 Г (11) ° -2. l Указание. Воспользоваться оценкой ~С(х,$)~ < С1 ~т~. 14.25.
Пусть условие (А) выполнено, ио(х) Е С~+о(Ре~) и / ~ио (х)~дх < со, /с=0,1,...,И+2. Доказать, что решение задачи (6), (7) существует, выражается формулой (9) (или формулами (10), (11)) и функция и(х,Ф) ограничена при 1 > 0 вместе со своими производными, входящими в уравнение (6). Гл. 7у. Задача Коши 2х 7) и~=и,+ и, 1+ з 8) био+ хи, — Зхзи = О, и!с=о = 1; и) оап — — 5хз. 5.
Задача Гуров. Формулировку постановки задачи Гуров см. в книге: Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — Мл Наука, 1985. 14.27. Показать, что задача Гуров и,„=О, 0<у<ох, х>0, у>0; .~,~ = «(*), ~,=.. = д(*) имеет единственное решение и(х, у) = «(х) + д ( — ) — «Н, если функции «(х) и д(х) принадлежат классу Сз(х > 0) П С(х > 0) и «(0) = д(0). 14.28. Показать, что задача Гурса и,з- — О, х>0, у>0, и~„-о=«(х), и~ =о=д(у) имеет единственное решение и(х, у) = «(х)+д(у) — «(О), если функции «(х) и д(х) принадлежат классу С'(х > О) и С(х > О) и «(О) = д(О). 14.29. Показать, что решение задачи Гурса и,„=О, у>ах, х>0, а<0; ~4з=аа = О, и~~ — о = 0 не единственно.
Показать, что множество всех решений этой задачи имеет вид и(х,у) = «(х) — «( — "), где «(х) — любая функция из класса Сз(Гс'), равная нулю при х < О. 14.30. Доказать, что задача Гуров и,„=О, 0<у«р(х), х>0; и) о = «(х), и)„и~,) = д(х) имеет единственное решение и(х,у) = «(х) +д(у (у)) — «(у (у)), если функции «(х), д(х), у(х) принадлежат классу Сз(х > 0) П С(х > 0), «(0) = д(0), оэ(0) = О, ~р'(х) > О, х '(у) — функция, обратная к функции <р(х) . 14.31.
Пусть функции х(х), ф(х) принадлежат классу Сз(х > О) П ПС(х > 0) и зз(0) = чз(0). При каких действительных значениях а задача Гурса У Ц. Задача Коши доя других уравнений и задача Гуров 177 аи„+ ирр — — О, х > О, у > О, и!р=о = р(х), и!*=о = М(у) имеет единственное решение? Найти зто решение. 14.32.
Для каких положительных значений параметра Ь задача им=ага„; 0<г<Ьх, х>0, и)с=о = О, и!ь=ь* = 0 имеет только нулевое решение? В задачах 14.33-14.55 требуется найти решение поставленной за- дачи Гурса и доказать единственность етого решения. 14.33. и „+и,=х, х>0, у>0; ! =о=у, г г 14.34. и,„+хгуи,=о, х>0, у>0; и),=о = О, и)„о = х. и,„+и„=1, х>0, у>0; и!*=о = Р(у), и)р=о = ф(х), где функции у(х), гр(х) принадлежат классу С (х > 0) П С(х > 0) и р(О) = ф(О).
14.35 14.36. и,„+хи, =О, х ) О, у > 0; и!*=о = у(у), и)р=о = М(х), где функции 1р(х), гр(х) принадлежат классу Сг (х > р(О) = й(0). 14.37. 2и — 2и + и и = 0 О) Г$ С(х > 0) и — -х <у<0 г 4 г ,*~~ = х . 14.41. и р — с*и„„=о, у)е ', х)0; и)~=о = у, и)р=-в = 1+я . + „, у>)х); и)„-, = 1, и/„-, = (х+ 1) е*. 1438 2изз+изр иву+из+из Ох <у <як >О; 1 2 и!„=. =1+зх, и!„= ./г — — 1. 14.39.
и„+ би,„+ 5и„„= О, х < у < 5х, х > 0; и!р=, = <р(х), и!„-ьа — — гр(х), где функции уг(х), у1(х) принадлежат классу Сг (х > 0) й С(х > 0) и у(0) = гр(0). 1 14.40. и„+ уирр + — ир —— О, х>0; и!р — о — 0~ Га. 1К Задача Качги 178 уи +(х-у)и „вЂ” х脄— 0<у<х, х>0; и,+и„= О, и)„—, = 4х4 14.42. и)ахи„+ (х — у) и,„— уи и)з=а = О, г з у и„+иаз=О, у и)з-г = Зх+ 8, х>0; =О, 0<у<х, и)з —, = х.
14.43. 8<Зх<уз 0<у<2 и!за=за = 2у ° з 14.44. х и„— у и„„=О, и)ази =1, х>1; 14.45 у>х, и)заа = х. 1 14.46. хги„-уги„„+хи,— уи„= О, — < у < х, х и)з-а = х, и)з-г7, = 1+1их. х>1; 1 14.47. Зхгиаа + 2хУиаз — Угиз„= О, х < У < —, г и) — з — — у, и~ зз 4=у. 0<х<1; 14.48. Зхги„+ 2хуи,„— уги„з — — О, 1 < у < х, ах и)заа = О, и)з-г = сов —, х>1; и„— 2 вУа хиаз — соз хиз„— сов хиз — — О, г )у — совх! < х, х>0; и)у=а+зова = совх, и~ -а+сова = совх. 14.49. 14.50.
и,„— — (и, — из) = 1, 1 х у у<-х, х>2; г = 2+ 29+ — уг. 2 и)з-, = О, 14.51. и, — и„„+ — и, = О, у > 1+ )х); 2 х и)з —,+г = 1 — х, и~з-г, — — 1+ х. 4 2 14.52. и„- и„„+ — иа + —, и = О, у > х, х > 1; и)з=, = 1, и)аза = у. и(з-р, = О. и(з-, = О, и,„=О, хг<у<2хг, х>0; 14.54. 4 и!з,г — — х и)з-г,г — — х . г 1453. и,„=1, ах<у<Ох, х>0, 0<а<Д у Ц. Задача Коши д со других уравнений и задача Гуров 179 1455.
и,„=О, хе<у<хо, 0<х<1; и)о,с = О, и1х,е = х(1 — х). 6. Задача Коши для квазилинейнык уравнений, 14.56. Найти решение задачи Коши ис + ии, = О, С > 0; псе=о = э18пх, непрерывное для С > О, )х( + С ф 0 и непрерывно дифференцируемое при С ф (х!. 14.57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
