В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 24
Текст из файла (страница 24)
12.31. Показать, что для существования решения задачи Коши ии — — а~сап, х Е Я~; и!с=о = У(хс) + у(хз), ис!сьо = Е'(хс) + С(хг) достаточно, чтобы функции 1(хс) и д(хз) принедлежалн классу Сз(йс), а функции г"(хс) и сс(хз) — классу С (Я~). Найти это решение.
12.32. Показать, что для существования решения задачи Коши ии = а'С1 и, х Е И', и)с=о = У(хс) д(хз,хз), ис1с=о = 0 достаточно, чтобы фУнкциЯ д(хз, хз) была гаРмонической и 1 Е Сз (Йс). Найти это решение. 12.33. Доказать, что для существования решения задачи Коши ии = а~сап, х б Лз; и1с=о = а(!х!), ис!с=о ш,б(!х1) достаточно, чтобы а(с ) Е С (т > 0), б(т) е Сз(с > 0) и а'(0) = О. Найти это решение.
12.34. Локазать, что для существования решения задачи Коши ии шЬи, хай~; и!с=о = В(1 — 1х!)!х! (1 — 1х!)е, ис!с=о = 0 необходимо и достаточно, чтобы а > 2 и б > 3. Найти это решение. Результат этой задачи сравнить с достаточными условиями (5) (с. 137) в случаях 2 < а < 3, б > 3 и а = 2, 2 < б < 3. 12.35. Решить задачу Коши ии = иее, и!сыо = д(1 — !х1)(х — 1)з, ис!сио = О. 1т Построить графики функций и(х, 0), и (х, -), и(х, 1), и(х, 2). Решение задач 12.36-12.38 можно накопить по формулам (6)-(8), но иногда удобнее применить метод разделения переменных или вос- пользоваться результатами задач 12.27-12.32.
12.36. Решить задачи (и = 1): 1) исс = и„+ б; и!с=о = х, 2 2) исс = 4и*е + хй; и!с=о = х, г 140 Ра. 1Ъ'. Задача Коши исЬ=о ис!с=о ис!с=о ис !с=о исЬ=о ис!с=о = 1; г. ис)с=о =в ' ис!с=о = хуг; 3) исс = и„+вснх; и)с=о = всп х, 4) ии = и„+е*; и!с=о = вшх, 5) ии = 9иаа+вснх; и)с=о = 1, 6) исс = аги„+вшасх; и1, о = о, 7) исс = аги, +вспосФ; и1, о = О, 12.37. Решить задачи (и = 2): 1) исс = Ли+2; и)с=о = х ис!с=о = у; 2) ии — — с1и+ бхрс; и!с=о = хг — Рг, ис)с=о = хр; 3) ии = с1и+хз — Зхуг; и!с=о = е* сов у, ис!сс о = е" вспх; 4) ии = сзи+Фвспу; и!с=о = хо, ис)сео = вшу; 5) ии — — 2с1и; и1с-о = 2хг — уг, ис1с=о = 2х +уг; 6) ии = Зсзи+х +уз; и)с=о = хг, ис1с=о = уг; 7) исс = с1и+ ез*ас" и!с=о = ез'+с" ис1с=о = е~*+~з 8) ии = агс)си; и!с=о шоов(Ьх+су), ис1с=о =вш(Ьх+су); 9) ии = а Ьи; и!с=о = с., г 4 ис1с=о = с' ~ 4. 10) исс — — агс1и+гге', иЬ=о = 0 ис !с=о = О.
12.38. Решить задачи (и = 3): 1) исс = с1и+ 2хуг; и1сс о —- хо+уз — 2зг, 2) исс = 8Ьи+ 1гхг; и!с=о = Уг, 3) исс = ЗЬи+ бгг; и)с=о = хгуггг1 4) ии = сзи+ бсеачг вшу сове; и)с=о = е*+" сове~/2, и !с=о = ез"+4'всп5х; 5) ии=а с1и; — г и1с=о = ис1с=о = с. — 4. 6) ии =а с1и+г е; и)с=о = ссс!с=о = 0; г ос. 7) ии = агсси + сов х всп уес; иЬ=о = хге"", ис1с=о = вспхе"+', 8) исс = агЬи + хес сов (Зу + 4г); и1с=о = ху сове, ис1с=о = уге; 9) ии = а~с1и; и!с=о = ис1с=о = сове.
12.39. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с. 137) для су- шествования решения задачи Коши ии = а ссси; и1с=о = ио(х), иЬ=о = ис(х) г и пусть при !х1 > о > 0 пс!х1а < ио(х) < М!х1", сл!х!" с < ис(х) < М)х1 где а > О, 0 < ш < М. Показать, что для каждой точки хо су- ществуют положитесьные числа со, Сс, Сг такие, что при всех с > $о выполняется оценка б 1а. Задача Коши для уравнение гиперболического типа 141 СсС < и(хо 1) < Сг1 12.40. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с.
137) для существования решения задачи Коши ии = а~бси; и]с=а = иа(х), ис]с=а = ис(х) и пусть для сс > 0 1пп — = А, 1пп —, = В. иа(х) . щ(х) ]х]а ' 1,~, ]х] -с Доказать, что 1пп ' = С„и найти С„, и = 1,2,3. и(х, С) с с- 3. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения. Если решение и(х, е) классической задачи Коши для волнового уравне- ния (3), (4) и функцию Дх,1) й С($ > 0) продолжить нулем при с < О, то зта функция и(х,1) удовлетворяет в Лп+с уравнению (в обобщен- ном смысле) им — — а~в3и+ У(х, с) + иа(х) .
б'(с) + ис(х) б(с). Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником Р б У (ес"+с), Р(х,1) = 0 при $ < О, называется задача о нахожде- нии обобщенной функции и й У'(Вп+'), удовлетворяющей волновому уравнению свес = а с)ви + Р(х, 1) (9) и обращающейся в нуль при 1 < О. Решение обобщенной задачи Коши (9) существует, единственно и определяется формулой и ш ба е Р, (10) где бп(х, г) — фундаментальное решение волнового оператора, ве*,вв= —,'.в( -ьа. ев*,)= бз(хв1) =, бз (х).
все Свертка гп = бп е Р называется обобщенным волновым (запазды- вающнм) потениналом с плослностью Р. В частности, если Р = ис(х) б(1) или Р = иа(х) бв(е), то свеРтки р,"" = ~;(*,1) *].,(.) б(с)] = Р.(.,с) *и,(х), КР~ = Рп(х,г) *]ио(х) б'(С)] = (ба(х,1) ела(х))с называются обобщенными поверхносспымн волновыми (запаздьаваю- щими) поспенииалами (просспого и двойного слоя с плотноспсями ис и ио соослветсслвенно). Волновой (запаздывающий) потенциал ввп удовлетворяет уравне- нию (9).
142 Гл. 1г'. Задача Кодаи 12.41. Доказать, что если Р(х, д) Е У'(Рд"+д), Р = 0 при С < О, то свертка бя * Р существует в У'(Я"+д). 12.42. Доказать, что обобщенная задача Коши (9) имеет единственное решение в классе обобщенных функций из У'(гд"+д), обращающихся в нуль при $ < О. 12.43. Доказать: 1) К, и К, принадлежат классу Со" по д Е (О,оо); 2) 1гддд 1 и 141 удовлетворяют предельным соотношениям при (о1 [д) 1 — д+О до д ( х д ) У1 1(х, Ф) — д О, " ' — д ид(х) в У'(В"), ВРддд К, (х,1) — д ио(х), " ' — + 0 в У'(Я"). 12.44.
Решить обобщенную задачу Коши (9) (х Е Яд) со следую- шими источниками Р(х, д): 1) б(д) ° б(х); 2) б(Ф вЂ” до) б(х — хдд), до > 0; 3) б(1) ° б'(х); 4) б'(Ф) ° б(х); 5) б'(1 — го) ° б(х); 6) б(д) ° б'(хо — х); 7) ба(М) ° б(х); 8) б(д) бо(х); 9) б(Ф) а(х) б(х), где а(х) Е С и а(0) = 0; 10) б(д) Ях) б(х), где В(х) Е С и 13(0) = 1. Ниже при постановке обобщенной задачи Коши будем считать источником функцию вида Р(х, $) = 7(х,д) + по(х) б($) + ид(х) б(д), 1=0приФ<0. 12.45. Решить обобщенную задачу Коши со следующими источ- никами (х е Н ): 1) У = од(1) ° б(х), где од(1) Е С(1 > 0), од(Х) = 0 при д < О, ив —— = б(х), ид = б(х); 2) У = В(1) б(х), ио = б(х — хо), ид — — хб(х); 3) ~ = В(1)д б(х), ио = б(2 — х), ид — -б(3 — х); а = 1; 4) ~ = В(д) вшд.б(х — хо), ио = О, ид — — хб'(х); 5) ~ = ВЯ сове б(х), ио = О, ид — — хзб"(х); 6) у = В(д) е"' ° б(х), ио = б(1 — 1х1), ид — — 0; 7) 1 = — б(2 — х), ио = О, В(д) ид =б(Я-/х~); а = 1; 6) ~ = В(1) дд б(х), ио = С = солод, ид = В'(В-(х)); а = 1; 9) у = В(г) 1п1 ° б(х), ио = —,б(х), ид — — 0; а=1; б И.
Задача Коши для вравкекие гииерболичеекого адика 143 (13) 11) 1=0, ио = О, ид = Ва(2 — )х(); а аа 1; 12) У= —.б(х — 1), ио =О, ид =вшхб (х — дг); > 13) 1 =0(а( — (х(), ио =О, ид =О; 14) г' = 0(в)(ад+)В) ° хб'(х), ио — — О> ид = хба(х); а = 1. 12.46. Доказать, что если ид(х) — локально интегрируемая функция в йд, то 1>д (х, г) — непрерывная функция в 1д~ и выражается формулой Р;(')(,д)ш — '"' ~ .аб~. (11) а-ад 12.47. Доказать, что если ио(х) — локально интегрируемая функция в Вд, то 1г ' (х,$) — непрерывная функция в Дз и выражается формулой 1гд(')(х, $) = — (ио(х+ а$) + ио(х — а(Я.
2 (12) У к аз ан не. Воспользоваться тем, что 1>д = — [ед * ив(х)) в (ц В дд силу задач 8.35 и 12.46. 12.48. Доказать, что если 1(х, 1) — локально интегрируемая функция в Яв, равная нулю при $ ( О, то потенциал ггд(х, г) принадлежит С(Дв) и выражается формулой д +а(д- ) 1гд(х,() = — (' / Щ,т) г(се(т. о а-а(г-т) 12.49. Решить обобщенные задачи: 1) игг — — ави + В(х) б>(д) + 0(х) б(1); 2) игд = авива + 0(д) (х — 1) + х ° б'(д) + вд8п (х) ° б(С); 3) дди = ага, + 0(г) гх + — б(1); д/х 4) ии = и, + — +В( — х) б(Ф); В(х) С+1 5) идд = ива+0(1 — 2) 1пФ+ (х( б'(1); 6) ии = ави + 0(д) д>а+ В(2 — (х>() б'(1), пд ш 1,2,...; 7) идд = и, + 0(1) е*+д + 0(х) е * б(1); 8) ии = 9иаа+0(д — я) сове+В(х — 3) б'(Ф)+ Цх) б(1); 9) ии = и„+0(1)0(х); 10) ии =и, +20(1)0(х)х+е * б(д), а~О; 11) ии = и„+ 0(г — 1)(х + Ф) + (х/ ° б(Ф); 12) ии = и„+0(г' — 2)(+ В(х — 1) )пх б'(1); 13) ии = и,а + В(х) х>а ° б>(д) + В(х) х ° б(1), нд = 1,2, ...; 144 Гл.
1»'. Задача Кое»и 14) ии —— и„+ — +0(х) созх б(1); 0(1) 15) ии — — и„+0(1) /)х+0( — х) 6'(1)+В(-х)х 6(1); 16) ии =и„+0(х)е ~ ° б'(о)+хо 6(г); 17) ин = и»» + 0(Ф) 81п (х + Ф) + з1п х 6(1)) 18) ии — — и„+ 0(1 — !х/) 6(1). 12.50. Локазатгн 1) если ио е Сз(Л') и и1 Е С'(»1'), то потенциалы 7„'1 ) и Р~( ) принадлежат классу С~(1 > 0), удовлетворяют при 1 > 0 уравнению П,и = 0 и начальным условиям: $', )~-.).о = О, (Ъ; ), (~=.).о —— и1 (х), (о) (о) рд 1ь=ео = ио(х), ()"з ) )о»+о = 0 0) О) (У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (11) и (12).); 2) если у Е С1(1 > 0), то потенциал»1 Е С~(Г»~) удовлетворяет при $ > 0 уравнению П,и = Дх, Ф) и начальным условиям Рддр=+о = О, %)~!с=+о = 0 (У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
