В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ц / /(у) 8„; ~е-о|=и 2) Р е ш е н и е. В силу формулы (7) и определения двойного опоя (см. 17) 112 Гм. П1 Обобщенные фуннцнн (1 * — „двн,тд = (У(У) — „ЬвеТ), СС(0 д(У+ 0) = = (л» ( — >н(б >г)>е»>>)) =-1 л>) 1 ~д"„, >е>) Ф- и" !С!=д — — (л*-онч >* ~е> = — > > е~>>,~) !С!=д ~ ~Я" ~!С!вд 3) / )у)~аЯг = / )х — у)~ддг = )е-г/юя !г/=д ген = О (!х)г+Кг — 211)х! совд) Я~в1п де(д>(у> = 4хЯг()х!г+Дг).
оо 4) ™Ге 1~ !*0' — е (л+<е<!'11; 5) 2™ вшф~+)х)~)вшщх!; )х! 1 + ()х! — В)г ' )х- и! "' )х-у! 8) ~с>(у) — — сСЯ„; / и(у) — !и — й„. д 1 д 1 8.33. 1) Не существует; 2) д(С вЂ” )х!) —; 3) — д(С) (д(х + С) (х + С)г + д(х — С) (х — С) г — 2д(х) хг). 8.34. Р е ш е н и е. В силу задачи 6.27 1(у,т) = СС(т) 1(у,т) и д(С,С) = п(С)сС(агСг — Яг)д(С,С), так как тС(т) = 1 в окрестности вирр )(у> т) С (т > О) и д(С) и (азгг — )С!г) = 1 в окрестности впрр д(С > С) С С Г (à — область агСг — !Яг > О, С > О). В силу формулы (5) (д е 1> и>) = 1пп (д(б С) 1(у, т), ССг((, С у т) гг(( + у, С+ т)) = = 11ш (су(С)сС(а С вЂ” !Я )д(С,С) сС(т)1(у,т), пг (С, С; у, т) >С>(ф + у; С + т) = 1пп (д(С, С) ° )(у, т), 8(С) 8(т) х х сС (аг Сг — )С )г) дг Я > С; у > т) у>(С + у > С + т)) = = (д(С> С) 1(у> т)>п(С) с1(т) и (агСг — !С)~) Вг((+ у, С+ т)), так как СС(С) 8(т) и (аггг — !б!~) н>Я+ у, С+ т) Е У(В'"+').
С б. Пряиое произведение и свертка обобщенных функииб 113 Следовательно, 2) В(аС вЂ” ]х!)(С вЂ” — *); 3) В(аС вЂ” ]х!) (У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.35, 2).); 4) — В(аС вЂ” ]х!) —; а 5) В(С) (В(х + аС)(х + аС) — В(х — аС)(х — аС)]; 6) ад(С)'рв(х+ аС) + ы(х — аС)]; 7) В(аС вЂ” ]х!). 8.37.
Ц В(С)е'+' ', 2) В(С)х(ее — Ц; */(г /е) 3) В(С) — /т е * /гв(я = В(С) Ф( х ). 8.35. Ц Р е ш е н и е. В силу формулы задачи 8.34, ассоциатив- ности прямого произведения и формулы (Ц (да]и(х).В(СП 'р) = = (]д(С,С) ° и(у)] В(т),е/(С)е/(т)е/(а~Сг — ]С]~) ув(С+у,С+т)) = /(д(С С). и(у) в/(С) г/( в С' ]С! ) р(С+ у С)) Далее, в силу задачи 6.27 д = т/(С) д, так как зпррд(С, С) С (С > 0].
Следовательно, (д а (и(х) ° Ю(С)], вр) = = (дЯС) и(у)ве/(а С вЂ” ]С! ) вр(к+Свг)) = (д(х,С) ° и(х),аз), так кекс/(агСг ]с]г) вр(х+Р С) к Я()вСгаог). 2) В силу формул (2) и (6) и формулы задачи 8.35, Ц д*и(х) ВРВ(С) = дв — (и(х) б(С)) = — (д(х, С)*и(х)) = „' аи(х). 8.36. Ц Решение. В силу формулы задачи 8.35, Ц (1, вр) = (В(аС вЂ” ]х!) ° ав(т),т/ (а~С~ — ]х]г) вр(х, С + т)) = =/ 'в."в(//в~ в-1 Овыв-.'- ~ю а) в.= е'-ф/а =//вьв>(вьв'-ас / ~ов,)в,вв'. о е- ф/а 1 = В(аС вЂ” ]х!) / ы(т) вСт; о Гл.
1П. Обобгионнвле вбунниии 114 8.43. Р е ш е н и е. В~~~~ (х) = У-зуг * В = У' г~г ь В = фг ь В = (Угуг * В)о = = ~,( 'в', / л ) = —,(гвв*в /'-) = в (в(*в — '). о 8.44. Р е ш е н и е. ВсзУг1(х) = Узбг з В = — з ув гввх — ~с(( = В(х) — 1У вЂ”. В(х) 4х Гх 8.45. Р е ш е н и е. 'в*в = в-ч ' в = Аг* ° в = вв г * с = — [ — / — и).
щг) в в б УВ(х) У(0 бх ]С г/й г/х — С 8.46. — / — в(~г. В(х) У(с) сУй о 39. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Операция преобразования Фурье Р[иг] на функциях ьг из 5л саределяется формулой Оператор Р[вво](с) = / евввлбвво(х) в(х. (1) Преобразование Фурье Р[У] произвольной обобщенной дгунннии У из Я (л") определим формулой (Р[У),з) = (У,Р[д)).
(2) Р [У) = — „Р[У( — х)), У Е 5л (3) (обратное преобразование Фурье), является обратным для операто- ра Р, т,е. Р г[Р[У)) = У, Р[Р г[У)) = У, Справедливы следующие формулы (У, д б,Р ): РоР[У] = Р[(зх)~У), Р[РоУ] = (-гс)'"Р[У), Р[У(х — хо)) = ец" свР[У]г Р[У)(с+ со)] = Р [У(х) ей* вв)](с), (4) Р[У(сз)] = — „Р[У]Н, с ~ О, Р[У(х) . д(у)) = Р[У) Ю. Р[д](О), Р[У ь д) = Р[У] Щ (У или д финитна).
Преобразование Фурье Р, по переменной х обобщенной функции У(х,у) е,г'(В"+ ), где х 6 Я", у Е В, определим формулой б 9. Преоброзоеоиае Фррье обобоееимех хрнхчиб 115 (Р*йх,и)И6и) рЫ и)) = (У(х и) РМЫ и)Пх р)) (5) яе( Во+ й$ ) 9.1. 1) Пусть у(х) Е С" (В'), Й > О, и ~ [у1о1(х)] Нх < со, а < Й; доказать, что Р[/] е С[В'] и [(]~]Р[Щ)[ < о; 2) пусть у(х) е С (В ), Й > О и ]х] +];0 у(х)] < Ь, ]а] < Й, 1 > 1 целое; доказать, что Щ] ~ С'-'(В") и ]5]']РдРУ](Д] < 5, Р] <1- 1. 9.2.
Показать, что у = Р е[Р[у]], где Р з определяется формулой (3), для следующих у: 1) у(х) Е С(В"), [х["+Щх)[ < а, [Я"+']Р[у](с)[ < а, е ) О; 2) у (х) Е С~(В~), / ф"1(х)] Нх < со, а < 2; 3) /(х) б Со+~(Во), [Ро/(х)]]х[о+з < о, ]а] < и+1. Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1). 9.3. Д Рыа =ро1+~д1Р[Рд(* )В я 9.4. 1) Доказать, что если у Е,уе то и Р[у] Е 5е 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из .У' в Уе т.е.
что из уь — ~ у, Й вЂ” о оо, в 5е следует Р[~ре] — > Р[~р] в .К У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.3. 9.5. 1) Доказать, что если у Е .уе', то и Р[у] Е .у"; 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из .зе' в У", т. е. из уе — + у, Й вЂ” + со, в 5е' следует Р[Я вЂ” ч Щ] в .У'; 3) доказать, что если у — функция медленного роста, то Р[Щ) = 1ип / у(х) еча=1е(х в зе'; 1 ~<л 4) домазать, что если у е Ез(В"), то Р[у] е Ьз(В") и Р[Щ) = 1иц 1 У(х) еде'*1е(х в Ьз(В") Ячоо )е(<л (теорема Планшереля); 5) доказать, что если у и у Е Ьз(В"), то справедливо равенство (2 )"У,р) = (Р[У],РЫ); б) д~~ азатз., что ~ ~ ~ ~„(Во), з Р[~] ~ Р„(Во) П С(В-) выражается формулой 116 Гл. П1 Обобщеииме фрикции г'[1Я) = 1[ 1(х) едбо~дх, ]]г'[1]]]с 1д ~ < [Яс,~д.р К[1(С)] — о О, ]Я вЂ” + оо (теорема Римана-Дебета), У[1 о д] = К[1'] е[д],,(,д е ь,(я"); 7) доказать, что если 1 Е .о" и ~р б,д; то Ю Ю=ЮЛРЫ 8) пусть 1 е Ь|(В~) — кусочно непрерывная функция такая, что (1'(х)) — также кусочно непрерывна; доказать формулу обращения р / У[1](С) ч*аС ХбЯ~ 2 2я 9.6.
Доказать в оо(Д"): 1) Р[б(х — хо)] = еде*о). 2) Р[б] = 1; 3) 1[1] = (2я)"б(с); ) Р [б(х — хо) + б(х + хоЦ 2 ] — — соя хо,'„и = 1. ~б(х - хо) - б(х + хо) 1 ] оозшхос, в=1. 2$ 9.7. Доказать в до'(Д"): ц у[раб] ( да.
2) о'[ о] (2 )о( о)!а112об(~) 9.8. Вычислить преобразования Фурье следующих функций (и = 1): 1) д( — ]х]); 2) е '*; 3) е'*; 4) е "; 5) 1(х)=0 при х<0, 1(х)=й, й<х<й+1, й=0,1,... 9.9. Доказать (и = 1): 1) Е[д(х)е "] = —,, а> 0; 2) Р [д(-х) е"] = —, а > О; а+ зб' 4) г[ ]=2яе Щб а>0; 1оо+хо1 «-1 ~ 5) г" д(х)е "— ~= ., а>О,о>0, Г(а) ~ (а+ Що ' 9.10.
Воспользовавшись формулой Сохопкого (см. задачу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать: Ц .д'[д(х)] = хб(с) + б,У -; 2) Р[д(-х)] = тб(с) — 1.У -. 4' б 9. Преобразование Фурье вбобеаенных еЬрннчиб 117 9.11. Вычислить преобразования Фурье следуюших обобшенных функций (л = 1): 1) о®, йье1,2,.,.; 2) д(х — а); 3) 818пх; 4),У-; 5); 6) )х); 7) 8(х)хь, й=1,2,...; 8) )х~ь, й=2,3,...; 9) х"Пз-, й=1,2,...; 10) хьб, й= 1,2...; 1Ц х"б<~)(х), пь ) й; 12) йз —, где Я вЂ” определена в задаче 6.25; 1 1 г ) хг 13) Я вЂ”, где 88 — определена в задаче 7.10; 1 1 хз ~ хз 14) 2 аьб(х — й), ~аь~ ( С(1+ ~й~) 15) 8<111>(х) (определение дробных производных см. в 3 8).
9 12 Доказать, что У~Я вЂ” ~ = — 2с — 21пф, 11 )х~1 где 1 ее с = / Ии — 1 — 8и — постоянная Эйлера, и ./' и о 1 а Я вЂ” (х е Д~) определена в задаче 7.26. ~х~ 9.13. Доказать, что У~Я вЂ” ~ = — 28 1п)Я вЂ” 2хсо, 1 МР где обобщенная функция,У вЂ”, х Е Д, определяется формулой г !х!г' ( 1 ) у 81(х) — 81(0) Г ~(х) 3в! <1 /е$)1 1 ОО о 1 и 78 — функция Бесселя. 9.14. Решить в г" интегральное уравнение ( и(() сов ох е)х = 8(1 — х). о 9.15. Вычислить интеграл вшах вшвх хг о 118 1"л.
Ш. Обобщеннме фвнннии У к аз ан и е. Воспользоваться равенством Парсеваля и задачей 9.8, Ц. 9.16. Доказать, что 9.17. Доказать: 1) КЯ= — ' ~~В' [х[Й [Я ' 2) Й[[х[-Й) 2и-Йяибз ~ У [Й[Й-и ясли 0(ь(п Г(-Й) Указание. Воспользоваться формулой (2) при / = [х[ в я (яй) н ~р = е ~~! /з. 111 2яй' 9.18. Доказать, что Р Н = —, ь = с + 46. Ы 9.19. Вычислить преобразование Фурье обобщенной функции 1 4яй н' — бв, и = 3, определенной в з 6.
9.20. Методом преобразования Фурье доказать в 5~'(ВЙ), что: 1) у = себ(х) + сйбй(х)+ ... +с„Йб~и ц(х) — общее решение уравнения х"у = О, п = 1, 2, ...; ~п-1 ~и-1 н-1 2) ~ айх" + Я ЬЙВ(х)хи " Й+ ~ сйб<Й "')(х) — общеереше- Й=О Й=О в=и~ ние уравнения х"у<"'1 = О, и > пй. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24. 9.21. Доказать в 5" (А"+Й(х, Й)), где (х, Й) = (хй, ..., х„, $): 1);[6(.,Й)[= (В б(4); 2) Р,[ ' ~ = — Е,[у(х,с)]; 3) У~[9(ай — [х[)) = 29(4) вш —, а > О, и = 1; а41 4) Г, [Дх) 6(С)! = ЩЯ) б(Й), У' Е 5н (Д"). 9.22. Доказать в 5' (В"+и): Ц П,ПР.Щ,„У=й.[(1 ) ВдУ); Р [11оПВУ) ( ®ив [РРУ) 9.23. Доказать, что в,У'(Вз) й -1 Гйгй~ -айсвю1 б(Й) -ий/(Йа~б ) 2а/Д У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (3) и задачей 9,8, 2).
б У. Преобуаеоеание Фурье обобиеенньга функций 119 Ответы к з9 2) г/к -«*/(аа*). а 9.8. 1) 2 —; 4) / г((а -гг)/4) 3) / -г((~-а)/4, 9.24. Доказать, что в Я'(Д"+г) Р-г [8(1) -а')4)'е1 9(1) ( 1 )" -(а)'/(аа'г) 2ас/В У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.23. 9.25* Доказать, что в 5а'(гьз) Р( ~ [д(г) — ) = — д(аФ вЂ” ]х[). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.8, Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
