В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 1 5.18. 1) Ль — — —, з1пх+ соях, 1; Лз = — —, созх — яьпх; л л 1 2 2 2) Ль — — —, 1; Лз —— —, соя2х; Лз = — —, вп2х; 45 3) Ль — — — 45, Зх — 2; Лз = —, 15хз — 1; 8' 4) Л, =- Зхз~з+х з~' Л = — — Зхз~з — х з1' 3 3 8' 2' 2.... 2 5) Ль = — —, впх — зш4х, зш2х — з1пЗх; Лг = —, з!п2х+ я!пЗх, з1пх+ з1п4х. 5.19. а = — 12, Ь = 12, -12х + Сьх + Сз, где Сь и Сз — произ- вольные постоянные. 5.20. о = з/15 — 3, С[4з~~бхз + 3(1 — з/15)х~ + — — Зх, где С— произвольная постоянная.
5.21. Уравнение разрешимо при любом Л, зе ьр(х) = Л / соя(2х — у) у(у) ь(у+ 1(х). с Лап~ . 2ЛЬ 1 5.22. 1) з1пх + — + ах + Ь, если Л Зя — (о, Ь лю1 — 2Л 1 бые); при Л = — уравнение разрешимо в том и только в том случае, когда а = Ь = О, уь(х) = Сь впх + Сз, где Сь и Сз — произвольные постоянные; 2) „я1пх+ Ь, если Л ~ х — (о, Ь любые); при Л =— 2(о — 2ЛЬ) 2 2 2+ Лл л 'л уравнение разрешимо при любых а и 6 и ьр(х) = ~™ ип х + 6+ 2л + Сь соя х, где Сь — произвольная постоянная; если Л = — —, то уравл' пение разрешимо в том и только в том случае, когда ал + 4Ь = О и уь(х) = 6+ Сз зш х, где Сз — произвольная постояннзл; 3) „+ х+ ах, если Л ф — и Л зя — (о,Ь,с лю2Ло+ Зс 36 1 3 1 бые); при Л = — уравнение разрешимо, если о+ Зс = О, фх) = 3 = — Ьх + ах + Сь где Сь — произвольная постоянная при Л =— 2 \ 2 г уравнение разрешимо, если Ь = О и 1с(х) = ах — — (а + с) + Сзх, где Сз — произвольная постоянная; 3 5.
Иннгеераввнме уравнения вз 4), х +, х+ ах+ Ьх, если Л ~ х — (а,Ь 2Л(5о+ЗЬ) з 4Л (Ьо+ЗЬ) з ~/15 любые); при Л = — уравнение разрешимо, если За + 36 = О, и з/15 гн) = (* — — *) +е, 7-* +*), ~/15 где Сг — произвольная постоянная; при Л = — — уравнение разре- 2 шимо, если 5а + ЗЬ = О и гр(х) = а(х — — х /г + Сз х — гуг — х где Сз — произвольная постоянная; 5) — х+ х + Ь, если Л ф 3 и Л ф 5 (а,Ь любые); /5 г при Л = 3 уравнение разрешимо, если а = О, и гр(х) = Ь|- хз + 1) + Сг, 12 гле Сг — произвольная постоянная; при Л = 5 уравнение разрешимо, если 6 = О, и 1в(х) = Сзх — — ах, гле Сз — произвольная постоянны; з 3 б) х + ах, если Л ~ — (а, Ь любые); при Л =— ЗОЛо + 7Ь г/з 1 1 7(1 — бЛ) 7 уравнение разрешимо, если 5а+ 7Ь = О, и гв(х) = — - Ьх+ Сгхг/з+ + Сзхз/з, гле Сг и Сз — произвольные постоянные; 7) 2о + ЛЬ(4 — и) + 2 х+ 6х, если Л ~ — и Л ф— г 2 2 2 — Лк 2 — Л(4 — к) я 4 — гг (а,6 любые); при Л = — уравнение разрешимо, если айаг + Ь(4 — я) = 2 гг = О, и ~р(х) = х+ 6х + С, где С вЂ” произвольная постоянная; 2(гг — 2) 2 при Л = — уравнение не имеет решений; 4 — гг 5Л(14о+ 38ЛЬ+ 42с) д/3 28Л~о+ ЗОЛЬ+ 35 х' + + ах + Ьх, если 21(5 — 12Ле) 7(5 — 12Ле) 1 /5 1 Я Л ф ~-~ — (а, Ь,с любые)„при Л = -~ — уравнение разрешимо, если 15з/3 Ь + 71/5 (а + Зс) = О, и 1гг(х) = ахз + Ьх + с + Сг х~/~ + угГз) 'у' 5/' 1 /5 где Сг — произвольная постоянная; при Л = --~ — уравнение раз- 2 у' 3 решимо, если 151/3 Ь вЂ” 7з/5 (а+ Зс) = О, и 84 Га.
П. 1Ррккциамааькме красиграмскгеа и иммьеграаькме рраемемия Зг(х) =ах +Ьх+ с+ Сз х'7~в 'гг 5 1' где Сз — произвольная постоянная; 30(Ь 1) Л З ЗаЛ 36Л7(Ь вЂ” 1) 15 15 + 8Л 3 — 2Л (15 + 8Л)(3 — 2Л) ' 8 3 15 Л ~ — (а,Ь любые); при Л = — — уравнение разрешимо, если Ь = 1, и 2 8 гр(х) = — ах+ 1 — 20а+ С(х + 1), где С вЂ” произвольная постоянная; 17 3 3 при Л = — уравнение разрешимо, если а = Ь = О, и 777(х) = Сгх + Сз, где Сг и Сз — произвольные постоянные.
5.23. 1) Лг = —, 7771 — — х; Лз = --, грз — — Зх — 4х; гр(х) 3 1 2' ' 2' Зах 3 1 3 3 — 2Л' = —, если Л ф — и Л ф — — (а любое); при Л = — уравне- 2 2 2 ние разрешимо, если а = О, и гр(х) = Сгх (С1 — произвольная 1 постоянная); при Л = — — уравнение разрешимо при любом о и 3 2 гс(х) = — ах + Сз(Зх — 4х~), где Сз — произвольная постоянная; 1 Р> 00 з ах +Ьх 1 2) Лг= —, 7рг =х, иг =х, 7р(х)=,еслиЛуЕ-;при 2' ' ' 1 — 2Л 2' 1 Л = — уравнение разрешимо, если а = 6 = 0 и 7р(х) = Сгх + + Сох, где Сг и Сз — произвольные постоянные.
1 2игЛ76 5 24. 1) Лг= —, гсг = з1пх; 7р(х) = а+Ьсозх+ЛЬзх+ зшх, к' 1 — Лгг 1 1 если Л ~ — (а, 6 любые); при Л = — уравнение разрешимо, если Ь = О, и гр(х) = о+ Се!пх, где С вЂ” произвольная постоянная; 1 ах 2) Лг — — —, 7рг — — х; ьс(х) = + Ь+ 27гЬЛсозх, если Л ф 27г ' ' 1 — 27гЛ 1 1 — (а, Ь любые); при Л = — уравнение разрешимо, если о = 0 27г 277 и 7р(х) = 6(1 + соз х) + Сх, где С вЂ” произвольная постоянная.
5.25. 1) иг(х) = Л ~ г у(д)г(д + У(х), если 71(Л) ф О, где гз(Л) = 1 — Лз —; при Л = — уравнение разрешимо, 4' 7Г если 11+ юг = О, где ,71 = / 1(д) СОВЦГгу7,71 / 1(р) 81пда7у, о о 77 (х) Сг (зш х + соз х) + 7 1 зш х + 7 (х) 2 5 3. Мншегравннме уравнения 85 2 (С1 — произвольная постоянны); при Л = — — уравнение разреши- 2 мог если Гг,гз = ОГ и УГ(х) С2(я1пх сов х) Г1 н1пх + Г (х) Гг где С2 — произвольная постоянная; Лл вш (х + у) + — сов (х — у) Г3(Л) 4 1 — — Л + у(2х — 4ЛХ вЂ” 1) 2) Гр(х) = Л/ 3 Ду)ф+у(х), если ея(Л) фО, -1 4 1 1 где 25(Л) = (1 — 2Л)(1 — — Л/; при Л = — уравнение разрешимо, ес- ЛИ Г! 322Г где л 3) 1о(х) = Л / ( +совх)(ау+ Ь)г(у+ ах+ Ь = 1 1 +2ггЛЬсоях+Ь, если Лф — (а,Ь любые); при Л= — уравнение 2гг 2гг разрешимо, если а = О, ог(х) = Ь(сов х+ 1) + Сх, где С вЂ” произвольная постоянная; М(х,у;Л) = * ' " +совх; 2л 4) ( ) Л /' вшхншу+вш2хвш2уд ) 1 +д ) Л ~ 1 1 — Лгг я' 1 о прн Л = — уравнение разрешимо, если 2л 2л /2Г(у) яшуе(у = / гл(у) вш2уг(у =О, Гр(х) =Дх)+Сг вгпх+Сз вгп2Х, о о где С1 и С2 — произвольные постоянные; ншх вшу+вш2х н1в2у М(х,у;Л) = 1 — Лгг 5.26.
1) Ь = О, За+ 5с = О; 2) алл —, Ь=О, сле — —; 3 1 1Г1О' ' /1О' алл — —, Ь=О, слл —; 3 1 Лб' ' Ао' 1 1 ,61 = / Дх) г(х, ~2 = ~ ХЯХ) г(х, ог(х) = (х — -) ~1 + ~(х) + С, -1 -1 3 (С1 — произвольная постоянная); при Л = — уравнение разрешимо, 3 4 если 12 = О, Ог(х) = — — 11 + Дх) + Ся(х + 1), где С2 — произвольная 2 постоянная; 4 1 — 3 Л+у(2х — 4Лх — Ц М(х,у;Л) = 86 Гя.
11. 4гунниионаяеные нростярансг»ва и инигеераяьные уравнение 3) а = О, Ь = — †; 4) а = 6; 5) а = О, Ь = — 1; 6) а, Ь любые; 7) а,б,с любые; 8) 7а+5Ь=О. 5.27. — ( а < 3. 1 * 3 5.28. 1) Лг = 1, 1ог — — 4(хг+хг)+1; Лг = — 1, Уог = 4(хг+хг) — 1; 2) Л, =, грг = 1+ зг'3(хг+ хг); Лг = — уог = 4зг'3 — б 4згЗ+ б = з/3(хгг + хгг) — 1; 3 1 3) Лг = —, 1ог = —, где т = хг+ хгг + хз. 4х' 1+т' 5.29. Уравнение не имеет вещественных характеристических чисел. 3 3 5.30. Характеристические числа Л1 = — и Лг = — — соответству- 4 4' ющие собственные функции грг — — 1 + Зхгхг и 1ог = Зхгхг — 1. Если 3 Л=х- то 4' Л Г 4 1О(х1, х2) = — ((11 + 4Л12) х1х2 + — Л11 + 121 + 1(х1~ х2) ~ где 11 11 11 // 1(У1~У2) с(У1 с(уг~ У2 ~/ У1У21(У1>уг) г(У1 ггуг~ -1-1 11(Л) = 1 — — Л; при Л = — уравнение разрешимо, если 11 + Згг = О, 16 2 3 3 и уг(хг, хг) = — хгхг ~1 + 1(хг, хг) + С(ЗХ1 хг + 1), где С1 — произволь- 3 ная постоянная; при Л = — — уравнение разрешимо, если 11 — 372 = О, 3 и вг(хг, хг) = — — хгх211 + 1(хг, хг) + сг(Зхгхг — 1), где сг — произвольная постоянная.
5.36. 1) Л„= ( — +яи), у㻠— — в1п( — +яи)х (и Ог1 2) ) 2) Л„=игггг гго» = 21пяих (и = 1,2,...); 3) Л„(и = 1,2, ...) — положительные корни уравнения 18 зГЛ = = — зГЛ, 1о„= 21пз/Л„х; г 4) Л„= - - 12~ (и = 1, 2, ...), где гг„— положительные корни урав- 3 пения гя — — = 2 с18 гя, уг„= в1п р»х + и» сов гя»х; И 5) Ло = 1, 1оо = е*; Л» ж -игггг (и = 1,2," ), 1о» = гбпггих+ + ГГИ СОВ 1ГИХ; 87 В 5.
Интпеера ььнгае уравнение вгп 1ГЛ х сов 1/Л (у — 1) ъ/Л сов 1г'Л вш 1ГЛ у сов 1г'Л (х — 1) 1г Л сов 1ГЛ х< у, х > у. 6) Л„= (п = 0,1,2,...), уг» еевгп (п+ — ) кх; не(2»+1)2+4 Г 11 8(1+ее) ' ' ' ' " 1 2) 7) Л„=,, ~р„=вгпхпх (и =1,2,...). (пз.) 2 — 1 вгп 1 5.37 ° 1) Л» = —, уг„еевшнпх (п=1,2,...); Л» — — — ( — +нп), (1) (кп) (1) 12) 1 гн гр~ ~ = сов à — + хп) х (п = О, 1,2, ...); (2 2) Л„=1 — (п+ -), ср„=сов(п+ -) х (п= 0,1,2,...); 3) Л„= (и+ -) — 1, уг„=вш(п+ -) х (п = 0,1,2,...). 5.38. 1) Л(ц = ( — ), уг01 = вш(2п+ 1)х (п = 0,1,2,...); ЛР = — ( ), Вг„~ = сов(2п+1)х (п =0,1,2,...); Ло = —, Фо ее 1~ 2) Ло = — гро = 1; Л» =, уг» = сов(2п+ 1)х (п = 5.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
