В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Множество Йг(0, 2я) функций / е Нг(0,2я), для которых ге / /(х) й~ = О, есть надпространство пространства Нг(0,2я). Покао зать, что в Йг (О, 2я) скалярное произведение можно определить соотге ношением (/д)л,(о г ) = /г щдхс о 4.100. Пусть р(х) Е Сф) н р(х) > ро > О. Показать, что формулой (/, д)1 = / р/д 4х, /, д б Ьг Щ), определяется скалярное произве- Ю дение в Ъг®), зквиволентное скалярному произведению / Уд ах. а 4.101. Пусть р е Сф), р(х) > 0 в фхо и р(хо) = О, где хо— некоторая точка из О.
Тогда формулой для (/, д)г задачи 4. 100 определяется скалярное произведение в Ьг ф), не зквивалентное скалярному произведению / /д ах (Я вЂ” ограниченная область). 0 4.102. Пусть р е С(ьГ'1хо), где хо — некоторая точка из й' и р(х) > 0 для х Е Я'1х~, р(х) — + оо при х + хо, х Е Я. Показать, что в Ьг рЯ) можно ввести скалярное произведение / /дсЬ, не 0 зквиволентное скалярному произведению / р/д Их.
Ю 4.103. Пусть / Е Нг ()х~ < 1), х = (хм хо) и /(х)~~е~ г — — Ь(ог), хг = ~х) соя ог, хг = )х) зш 1о. Д жазать, что существует такая не зависящая от функции /(х) постоянная с > О, что /г"- '/" "'/ *") /е!<г о ~е~<г 4.104, Доказать существование такой постоянной с > О, что для любой / Е Й' Я) имеет место неравенство Стеклова //г 4х < с ~~8,аб ЯУ. Я 0 62 Га 11. Фуннционааьнмв пространства и инпьегра ььнмс уравнснив 4.105. Показать, что выражение ~(8гаоУ,8гайд) Их задает ска- Ю парное произведение в Й'Я), эквивалентное скалярному произведен (Уд+ (а ~ 1,8г ~д)) 4 Ю 4.106. Пусть р, д Е С(Я), р(х) > ре > О, д(х) > О. Показать, что скалярные произведения в Н~ Щ) У д) =~Уд+(8 ~1 дг ~д))с(х Я У д)1 =~Ыд+Р(дга41 8 ~д))б 0 эквивалентны.
4.107. Пусть вещественные функпии РО, Рц(х) = Ргч(х) ' Я— = 1,2, ...,и, и д принадлежат С(Я), д > О, и для всех х Е Я и всех вещественных векторов С = ф, ..., Сп) Е В" имеет место неравенство и п ~', РО(х) Ыу > 7О,ССь > Суеп гьы где настоянная 7е > О. Показать, что в Н (Я) можно определить скалярное произведение и уь) =~(Кьау.,ь,'-ьуь)г, °,зья эквивалентное скалярному произведению У д) = (Уд+ (8 41Лт ~д)) бх. 0 4.108. Пусть р,д Е СЯ), р(х) > ре > О, д(х) > до > О. Тогда скалярные произведения в Н~(Я) (у,д) =фд+ (8тай ~,8тайд)) бх, а У,д)1 =~(дй+Р(8 )У,8 абд)Их эквивалентны. Ю При решении задач 4.109, 4.113, 4.114, 4.118 полезна следующая Теорема. Лля того чтобы множество М с Н'Я) была компакзпкым в Ьз(Я), оастаточко, чтобы М было ограниченным в норме Нь Я), т.
е. чтобы срьлествовааа такая пастояккая с > О, д 4. Фдничиоиольные пространства что ]]и]]л1~р> < с для всех н б М. (Компаигпность М в Ьз озиачаегп, чпю нз любой бесконечной последовательности злементов нз М можно выбрать фундаментальную в Ьз подвое ьедовательиость.) 4.109. Пусть хв — произвольнел точка из Я, а У = 9 Г1 П (]х — хо] < г) при некотором г > О. Показать, что существует такая настоянная с > О, что для всех У б Нь Я) имеет место неравенство /ги < ° /иип'~ -:-/у*~ ~. р р и 4.110. С помощью результата задачи 4.108 показать, что скалярные произволения в Н Я) У,д)~ =/Уд+(а 41 дг ~д)]~ р У д)п =/Ыд+р(8 або 8 абд)]бх р зквивзлентны, если непрерывные в О функции р(х) и д(х) удовлетворяют условиям: р > ро > О, д(х) > 0 и д(х) д~ 0 в Я.
4.111. Если в условиях задачи 4.107 д(х) > до > О, то выражение и ~ [ К осу., ь, + уй) и р ив=1 можно принять за скалярное произведение в Н1 (Я), причем оно будет эквивалентным скалярному произведению / [(8гао 1, йгаб д) + уд] ах. р 4.112. Если в условиях задачи 4.107 д(х) > 0 в Я и д(х) ф О, то выражение ([Кйсь,~-дй)ь р ~ьб=г можно принять за скалярное произведение в Н1 (Я), причем оно будет зквнвзлентным скалярному произведению / [уд+ (8габ у, 8габд)] ах. р 4.113.
Показать, что существует такал постоянная с > О, что для любой Х б Н1 Я) имеет место неравенство /! .[Р. И ./! ь) р 1р др 4.114. Пусть хо — щюизвольная точка границы дЯ, а У = дЯ П й ([х — хв] < г3 при некотором г > О. Показать существование такой постоянной с > О, что для всех у б Н1(Я) справедливо неравенство 64 Гв. Н. Фрииннонааенме ироегиранеигва н нигиеера гение уравиеншг 4.115. Доказать, что если ег Е С(дЯ) и о(х) > О, то выражение (у,д)г = ~(уай),уайд)ах+/худое ч ео задает в Нгф) скалярное произведение, причем оно будет эквива- лентным скалярному произведению (у,д) = ~(уд+(8гайу,йгайд)]егх. Я 4.116.
Доказать, что если гг Е С(дЯ), т(х) > О, ег(х) ф О, то в Нг Я) можно задать скалярное произведение (~, д)~ = ~(уай), уайд) йх+ / ггуд ов, Я ага эквивалентное скалярному произведению (У,д) = ~[Уд+ (8гайУ,у ~д)]е(х. 0 4.11г. Пусть р Е С(ьГ), д Е СЯ), ег Е С(дО), р(х) > ро > О, д(х) > О в Я, гг(х) > О на дЯ, причем или д(х) ~ О, или ег(х) ~ О. Тогда скалярные произведения в Н~ Я) У д)~ = ~]р(8г (У кгЫд) + дУд] й*+ / Удйе, Я ео (У,д) = /(Уд+(8гайу,бгайд)]йх о эквивалентны. 4.118. Показать, что существует постоянная с > О такал,что для любой функпии Г Е Н'(Я) (д(Г Е С )имеет место неравенство (не- равенство Пуанкаре) /г*~ «.[(~га*) .~~~о югеа~.
Я 9 Я 4.119. С помощью результата задачи 4.118 показать эквивалент- ность скалярньпг произведений (у,д) =(Уд+(у 11,8г йд)] Ь, Я (~,д)г =((уайу,уайд)е(х+~усЬ ~дйх 0 о в пространстве Нг(Я). Фуннциональнмс пространсзпеа 4.120. Показать, что множество Н~Я) функций у Е Нг(Я), для которых / У <Ь = О, образует подпространство Нз Я). 4.121.
Показать, что в подпростралстве Й'Я) можно определить скалярное произведение (/, д)г = / (5гаг1 1, ягаг) д) гзх, зквивалентное скалярному произведению 0 (1,д) =~Уд+(5 ~1,5 ~д))4 . с2 Ответы к 34 4.0. шах (хг). 4.10. гпах(Дх)). 4.40. а) — х; б) — х; в) — + —. 3 3 16хг 3 6 7Г 16 16 я 4 8 4.41. а) — — — соя х; б) — зшх. 2 и За 4.42. а) 0; б) хз — хг. и-1 гри — Я сл(гри, сл) 4.51. с„= )~ег„— 2 сл(гр,сл)~~ 4.52. а) Ро, Рд, Рг, Рз, где Є— многочлены Лежандра (см.
4.21); б) ~( — (1 — х), ~( — х(1+х), ~ — (2 — 2х — 5х +5х ); г з. )/8 )г 16 )г 136 2 . г г8/. г 31 в) — з1п ях, а) — ~згп лх — -), совах; х 1 х хг — 1 — — + — д) ~~— е) г(1 —, ~1 — х, )~ — (4х — 1) — многочленЧебышевавторогорсда; ж) То, Тг, Тг, Ти(х) — многочлен Чебышева. 1 2хг 2хг 4.54. —, —, 4 55 ~з " Вх /й т 2а~Я' 2з/я ' 2~/~ ' 2~/к 4.72, зш 6 †4.
гб. Поппросгранство с базисными злементами 1 и соз —. 2' 3. Пол рол. В.С. Влааимироаа бб Гл. 11. Фуннииона ьные простаранстнва и июаегральные уравнения 1т+ 1 4.81. а < — 1. 4,83. а < 1/2. 00 4.84. 2, а (азь + озь) < оо. ь=т 4.85. Нет. $ б. Интегральные уравнения Уравнение тР(*) = Л У Х((, ) дт(у) т(у + Е(*) (1) О относительно неизвестной функции то(х) в области 0 С В" называется линейным интлегральнын уравнением Фредгольна (второго рода).
Известные функции М'(х,у) и 1'(х) называются ~драм и свободным членом интегрального уравнения (1); Л вЂ” комплексный параметр. Интегральное уравнение у(х) = Л/ М'(х,у) у(у) ду (2) О называется однородным интпегральным уравнением, соответствующим уравнению (1), а интегральное уравнение (здесь М"(х,у) = М'(у,х)) ф(х) =ЛУ~"(х,у)ф(у).у (3) С вЂ” союзным к уравнению (2), ядро М"(х, у) называется эрмитпово сопряженным ядром к ядру М'(х, у). Интегральные уравнения (1) — (3) иногда записывают в операторной форме 9 =лкд+у, з =лко, ф=лк'Ф, где интегральные операторы К и К' определяются ядрами а'(х, у) и М"(х, у) соответственно, т.е.
Кд = / М'(х, у) д(у) ду, К'д = ~ Л"(х, у) д(у) ду. С О Если при некотором значении параметра Л = Ло однородное интегральное уравнение (2) имеет ненулевые решения из Ьз(С), то число Ло называется харантперистпичесним числом ядра М'(х, у) (интегрзльного уравнения (2)), а соответствующие решения уравнения (2) — собставенными дтуннииями ядра а (х, у). Рангом (нратпностпью) характеристического числа Ло называется максимальное число линейно независимых собственных функций, отвечающих етому числу Ло. З 5. Интпеера.чьные уравнения Будем предполагать, что в уравнении (1) область 0 ограничена в В", функция / непрерывна на С, а ядро е'(х,у) непрерывно на 0 х С. В задачах 5.5-5.7 используются следующие обозначения: М = шах ).е'(х,у)), о = 1 е(у.
еео, уеб 6.1. Показать, что интегральный оператор К с ядром е (х,у) ограничен из Ьз(0) в Ьз(0), если / ~ Х'(х, у) ~ Их Иу = с < оо. схо 5.2. Показать, что интегральный оператор К с непрерывным ядром .а'(х, у) является нулевым в Ьз(0) тогда и только тогда, когда .6'(х, у) = О, х 6 С, у Е С. 5.3. Пусть ядро М (х, у) интегрального уравнения (1) принадлежит Ьз(0 х 0). Показать сходимость метода последовательных приближений для любой функции / Е Ьз(0), если )Л~ < 1/~с! (постоянная с взята из задачи 5.1). 6.4.
Пусть К вЂ” интегральный оператор с непрерывным ядром. Показать,что операторыКР = К(КР з), р= 2,3,..., являютсяинтегральными операторами с непрерывными ядрами др(х, у) и зти ядра удовлетворяют соотношениям Щ(х,у) =Ум'(х,4) д; К,у)ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
