В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 13
Текст из файла (страница 13)
5.5. Показать, что ядра ер(х, у), введенные в задаче 5.4 (они называются повелорнььнн (итерированными) ядрами ядра М'(х,у)), удовлетворяют неравенствам: )Мр(х,у)~ < МРоя ', р= 1,2,... 5.6. Показать, что ряд Я Л .6'+з(х,у), х Е О, у Е С, сходится ~о=о в круге ~Л~ < —, а его сумма зг(х, у; Л) (резольвенела ядра 6 (х, у)) 1 Мо 1 непрерывна в С х 0 х Уду1м„1 и аналитична по Л в круге )Л! < —. Мо 1 Показать также, что при ~Л~ < — решение интегрального уравМо пения (1) единственно в классе С(0) и для любой 1 Е С(0) представляется через резольвенту Я(х, у; Л) формулой зз(х) = у(х) + Л / М(х, у; Л) Ду) ау.
С 68 Гл. 11. Фднниивнальныв нросньранс»ьва и интегральные уравнения 5.'Т. Показать, что резольвента М(х, у; Л) (см. задачу 5.6) непре- 1 рывного ядра М (х, у) удовлетворяет при ]Л[ < — каждому из урав- М» лений: а) М(х,у;Л) = Л (гМ'(х,с)М(с,у; Л)сЩ+М'(х,у); С б) М(х,у;Л) = Л/.ЖЯ,у)М(х,(;Л)~Ц+М'(х,у); в) ОМ(*У'Л) =УМ(х,х;Л)М(х,у;Л)лх. В задачах 5.8 — 5.13 рассматриваются интегральные уравнения вида (е'(х, у) 1о(у) ду = 1(х), (4) о 1о(х) = Л[ М'(х,у) 1о(у) Ну+ 1(х), (5) о которые называются инпьегральнььни уравнениями Вольтерра первого и второго родов соответственно. 5.8. Пусть выполнены следующие условия: а) функции М' (х, у) и М;(х, у) непрерывны на множестве 0<х<у<а; б) Л'(х, х) ф 0 для всех х; в) 1 е Сь([0, а]) и 1(0) = О.
Показать, что при зтих условиях уравнение (4) равносильно уравнению 1'(х) 1 .л' (х, у) 1о(х) = — ~ * ' ьо(у) ф. о 5.9. Показать, что дифференциальное уравнение убб + аз(х) у~" ) + ... + а„(х) у = г'(х) с непрерывньвии козффициентами а;(х) (ь = 1,2,...,л) при начальных условиях у(0) = Со, у'(0) = Сь, ..., у1" ~1(0) = С„з равносильно интегральному уравнению (5), где » е'(х,у) = ~ а„,(х) »ь=ь У(х) = Г(х) — С„даз(х) — (С„ьх+ С -г) аз(х) — ... »-1 — С„ь ", + ...
+Сзх+Со а„(х). З 3. Иннееераеьные уреенение 5.10. Пусть е Е С(х > 0), е (х) = 0 при х < О. Показать, что обобщенная функция 4'(х) = д(х) +Я(х), где Я = ~~( .е'х.Ж'х ... х,Ж; та=1 н1 Оах есть фундаментальное решение оператора Воаътерра второго рода с ядром М'(х, у) (см. (5)), т.е. 4' — М'х 4'= 6. Показать, что при этом ряд для Я(х) сходится равномерно в каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра дУ(х) = /М'(х — у),У(у) Йу+ М'(х), х > 0 о (функция Я(х — у) является резольвентой ядра хе (х — у) при Л = 1). 5.11. Найти резопьвепту интегрального уравнения Вольтерра (5) с ядром д (х, у): 1) Л'(х,у) = 1; 2) Д'(х,у) = х — у.
5.12. Решить следующие интегральные уравнения: х 1) у1(х) = х + /(у — х) <р(у) оу; о 2) р(х) = 1+ Л / (х — у) д1(у) Йу; о х 3) ох(х) = Л /(х — у) ~р(у) Иу + хз. о 5.13. Показать, что если д Е С' (х > 0), д(0) = О, 0 < а < 1, то функция ~~~ /' д(у) у (Х у)1-а о удовлетворяет интегральному уравнению Абеля 1 (") Их = (х) у (Х вЂ” у)а о В задачах 5.14-5.30 ядро М'(х, у) интегрального уравнения является вырожденным, т.е.
Ф М (х, у) = ~ 1„,(х) д,„(у), т=1 где функции 1 (х) и д„,(у) (гп = 1,2,..., Ф) непрерывны в квадрате а < х, у < 6 и линейно независимы между собой. В этом случае интегральное уравнение (1) можно записать в виде 70 Га. 11. Функциомааьмгае мростарансньеа и интеерааьньье ураонетиг Вь(х) =~(х)+Л ~ с 1 (х), тан где неизвестные ст определяются из системы алгебраических уравнений. 5.14.
Решить интегральное уравнение 1 р(х) = Л1;4 (х,у) р(у) бр+У(х) а в следующих случаях: 1) Л'(х,у) = х — 1, Дх) = х; 2) М (х,у) = 2е*+", 1(х) = е*; 3) М'(х,у) =х+у — 2ху, Дх) =х+хз. 5.15. Решить интегральное уравнение 1 гр(х) = Л~Х(х,у)ьо(у) ггу+1(х) -1 в следующих случвлх: 1) М'(х,у) =ху+х~у~, 1(х) =х +ха; 2) М'(х,у) =хг1в+угув Дх) =1 — бхв; 3) М'(х,у) =хь+бхзу, Дх) =ха — хь; 4) Л'(х,у) оь2хув+бхзув, 1(х) =7хе+3; 5) М(х,у) ьехз — ху, Дх) =хз+х; 6) М'(х,у) = 5+4ху-Зхз — Зуз+9хзуя, Дх) = х. 5.16. Решить интегральное уравнение гр(х) = Л / М'(х, у) гр(у) гГу + 1 (х) в следующих случаях: 1) 5'(х,у) еевгп(2х+у), Дх) еея — 2х; 2) М'(х,у) =вш(х — 2у), 1(х) =сов2х; 3) М'(х, у) = сов (2х + у), 1(х) = вш х; 4) Х(х,у) = вгп(Зх+ у), 1(х) = совх; 5) М'(х,у) = огпу+ усовх, Дх) = 1 — —; 2х б) М'(х,у) = сова(х — у), /(х) = 1+сов4х.
5.17. Решить интегральное уравнение фх) = Л ~ М'(х,у)гр(у)Йу+ 1(х) в следующих случаях: 5 5. Инягеграаонгяе рроонення 71 1) М (х,у) =совх созу+сов2х соз2у, Дх) =совЗх; 2) гЬ'(х,р) = созх совр+ 2з1п2х 81п2у, у(х) = созх; 3) М'(х,у) = вшх вшу+ Зсов2х сов2у, Дх) = 81пх. 5.18. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции следующих интегральных уравнений: 2 1 1) 22(х) =Л ) (вш(х+р)+-]гр(у)г(р; о 2гг 1 2) гр(х) = Л ) ~совз(х+у)+ -]гр(у)йу; о 2 2 2 3) ггг(х) = Л ~ (х~у~ — †) гд(у)г4р; о 1 г1 гг Г =г1' ~(-) г (-) ~ г(гГгг; о 5) гр(х) = Л) (зшх зш4р+з!п2х вшЗу+ + 81п Зх з1п2у+ вш4х 81пу) гр(р) г(р.
5.19. При каких значениях параметров а и 6 разрешимо интегрвльное уравнение 1 гр(х) ж 12) (хр — — + -) гр(у) 1(у+ах + Ьх — 2? я+р 11 2 2 3) о Найти решения при этих значениях а и 6. 5.20. При каких значениях параметра а разрешимо интегральное уравнение 1 ог(х) = Л5 ( (у(4х — Зх) + х(4рз — Зу)) ог(у) г(у+ ах+ — ? 1 о Найти решения при этих значениях а.
5.21. Выяснить, при каких значениях Л интегральное уравнение [о(х) = Л / сов(2х — У)гго(у)г1У + )(х) о разрешимо для любой у(х) Е С([0, 2я]), и найти решение. 5.22. Найти решения следующих интегральных уравнений при всех Л и при всех значениях параметров а, Ь, с, входягцих в свободный член этих уравнений: гг 12 1) гр(х) = Л ) (у 81пх + сову) гр(р) г1р + ах + Ь; -гг/2 72 Гл. П. Функциональные пространство и интегральные уреенение 2) ог(х) = Л /сов(х+у)~о(у)4у+авшх+6; о 1 3) ~р(х) = Л / (1 + ху) ог(у) с(у + ахг + Ьх + с; -1 1 4) ~о(х) = Л /(х у + ху ) у(у) ау + ах + Ьх; -1 1 5) у(х) = Л ( — (ху + хгуг) у(у) Иу + ах + 6; -1 1 6) у(х) = Л ~ ~5(ху)'~в + 7(ху)г/в] у(у) Иу + ах + Ьх'7в; -1 1 7) ~р(х) = Л / — р ~р(у) Иу + а + х + Ьхг — 1 1 8) у(х) = Л(г фх+ Я) ~р(у)ф+ахг+ Ьх+ с; -1 1 9) д(х) = Л ((ху + хг + уг Зхгуг) у (у),ф + ах + 6 — 1 5.23.
Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра М'(х, у) и решить интегральное уравнение 1 у(х) = / Л (х, у) ег(у) Иу + Дх) -1 при всех Л, а, 6, если: 1) М'(х,у) = Зх+ ху — 5хгуг, Дх) = ах; 2) М"(х,у) = Зху+ 5хгуг, ~(х) = ахг+Ьх. 5.24. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра ге (х, у) и решить интегральное уравнение у(х) = Л / Л (х,у)ог(у)Ыу+ Дх) при всех Л, а, Ь, если: 1) г6'(х,у) =хсову+в1пх в1пу, у(х) = а+Ьсовх; 2) М'(х,у) =хв1пу+совх, у(х) =ах+6. 5.25. Найти решение и резольвенту М(х, у; Л) следующих интегральных уравнений: 1) р(х) = Л/ вш(х+ у) р(у)Ну+ Дх); о З Ь.
Инепевраеенме уравнение 73 1 2) 1о(х) = Л/(1 — у+ 2хр) 1о(р) др+ Дх); -1 3) 1о(х) = Л/(хв1пу+совх)вз(р) ф+ ах+ Ь; 4) 1о(х) = Л / (в1п х в1п у + вш 2х в1п 2у) у(р) ф + 1(х). о 5.26. Найти все значения параметров а, Ь, с, при которых следуюшие интегральные уравнения имеют решения при любых Л: 1 1) 1о(х) = Л/(ху+ хврз) гр(у) Ир+ ахз+ Ьх+ с; -1 1 2) у(х) = Л/(1+хр)у(у)Ну+ахв+Ьх+с, где аз+ Ья+со = 1.; -1 1 3) у(х) = Л / У <р(р) Иу + хз + ах + Ь; -1 1 4) у(х) = Л/ (хр — -) 1о(р)др+ ахз — Ьх+1; о 5) 1о(х) = Л /(х + у) у(у) Ыу + ах + Ь + 1; о 6) 1о(х) = Л / сов(2х+ 4р) 1о(р) Иу+ еее+ь. о 7) 1о(х) = Л/(в1пх в1п2у+вш2х в1п4у)1о(у)др+ахз+ Ьх+с; о 1 8) оз(х) = Л/(1+ хо+ уз) 1о(у) Ир+ ах+ Ьхз.
-1 5.27. Найти все значения параметра а, при которых интегральное уравнение у(х) = Л/ (ах — р)р(у) е(р + 1(х) о разрешимо при всех действительных Л и всех 1 6 С([0, 1]). 5.28. Найти характеристические числа и соответствуюшне собственные функции следуюших интегральных уравнений: 1 е 1) ~Р(Х1 ~ Хз) = Л // [Х1 + Х2 + — (уе + уя)] 'Р(рм ря) Ф1 аря ~ — 1-1 74 Га. 11. Фгннчаонааьные нросовоансгнеа и инвгесрааьныс рраоненна 2) ~р(х) = Л / (!х)~ + )р)~) аг(р) Ир, х = (хы хг); !з!<г 3) у(х) = й / у(р)с(р, х = (хг,хг,хз). 1+Ы 1+ !х! !г!<г 5.29. Выяснить, имеет ли интегральное уравнение у(х) = Л / ()х)~ — )р)~) р(р) йр, х = (хг,хг,хз) )г!<г вещественные характеристические числа, и если имеет, то найти соответствующие собственные функции.
5.30. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра Л'(х, р) = хгхг + ргрг и решить интегральное уравнение з 1 Щ(ХМ Хг) = А О(хгкг + РЗРг) ~Р(РЗ ~ Рг) аРг ауг + 1 (Хг ) Хг). -1-1 В задачах 5.31, 5.33 — 5.35 ядро Л'(х, р) интегрального уравнения (1) является эрмивговым, т.е. совпадает со своим зрмитово сопряженным ядром: Л'(х,р) = Л'*(х,р) = Л (р,х). В частности, если эрмитово ядро является вещественным, то оно симметрично, т.е.
Л (х, р) = Л'(р, х). Эрмитово непрерывное ядро Л'(х,р) ф 0 обладает следующими свойствами: 1) множество характеристических чисел этого ядра не пусто, расположено на действительной оси, не более чем счетно и не имеет конечных предельных точек; 2) система собственных функций (ага ) может быть выбрана ортонормальной: (~Рю Юга) = баями. 5.31. Доказать, что если Л'(х, р) — эрмитово ядро, то характеристические числа второю итерированного ядра Лг(х,р) (см. задачи 5А-5.5) положительны. 5.32. Доказать, что если ядро Л'(х, р) является кососимметричным, т.е.
Л'(х, р) = — Л' (х,р), то его характеристические числа чисто мнимые. В задачах 5.33 — 5.35 предполагается, что характеристические числа Аа эрмитова непрерывного ядра Л'(х, р) занумерованы в порядке возрастания их модулей, т. е. ),1з! < !Л! < )Л ! < ... 75 З 5. Инньегрельнме ураенения и каждое из этих чисел повторяется столько раз, сколько ему соответствует линейно независимых собственных функций. Тогда можно считать, что каждому характеристическому числу Ль соответствует одна собственная функция ьеь. Систему собственных функций (тоь) будем считать ортонормадьной. 5.33.
Пусть Л'(х, у) — эрмитово непрерывное ядро, Мр(х, у)— повторное ядро ядра М'(х, у). Показать формулы: ь 1) Е ! (*)! = У!.Д'(х,у)!гну. а ьь х. Л О! аа 3) (КУ У) = Е ', ~ Е Ьз(С), К вЂ” интегральныйоператор с ядром М'(х, у); ьь 4) Š— „.. = Ц~Жх,у)!'д у р=1,2,". Пусть М»(х, у) — и-е повторное ядро для эрмитова непрерывного ядра д'(х, у). Назовем величину ь о„= / М'„(х, х) дх, ть = 1, 2, ... а и-м следом ядра М'(х,у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
