В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Л„= —, гр„= вгппх, гр„= совпх (п = 1,2,...), если 00 2» а„ » 2» а„= / ы(2) сов пв й ф 0; Ло = —, [Ро = 1, если ао = / ог(С) ггв ф. О. 1 ао о о 1 5.40. 22(х) = Л /С(х у)У(у)ггу+Дх), гпе о Глава П1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ з 6. Основные и обобщенные функции Обозначим через У э— в У(Гс") совокупность всех бесконечно дифференцируемых финитных функций в П".
Последовательность (~рэ) функций из У называется сходящейся к функции у (из У) если: а) существует такое число зб > О, что эпрр ~оэ С Ул,. б) при каждом а *ел" р"„з (х) — ~ ро (х), К вЂ” + о *). При этом пишем уе — + ~р, й — + со в У.
Совокупность У функций с введенной сходимостью называется пространством основных фукккоб У. Обозначим через Я = Я(И") совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций в Я", убывающнх при ~х~ — ~ оо вместе со всеми производными быстрее любой степени ~х) 1. Последовательность (~рэ) функций из Яназывается сходящейся к функции у (из Я), если для всех а и )з е ел" хор ~рэ(х) — ф х"р у(х), й — ~ оо.
При этом пишем уэ — + ез, й — + оо в .У". Совокупность Я функций с введенной сходимостью называется пространством основных фуюеккй 5'. 6.1. Пустыр 6 У. Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) — ~о(х); 2) — у(йх); 3) — ~о ( — ); й = 1,2,..., сходящиеся в У. 6.2. Пусть п = 1 и 1 при — 2с(х < 2с, Х(х) = 0 при )х) > 2с. Показать, что функция у(х) = / ~(у) ы,(х — у)е(у, *1 По поводу обозначений см. с.
б — 8. у о. Основные и оооотненные е1уннннн 89 где ы, — «шапочка», является основной из У(Вт), причем О < т1(х) < 1, тт(х) гн 1 при — е < х < е, л(х) = 0 при )х( > Зе. 6.3. Пусть Сз, = ( ) У(х; 2е) — 2е-окрестность ограниченной обеео ласти С и Х(х) — характеристическая функция области Сз„т.е.
т(х) = 1, х Е Сз, и т(х) = О, х е Сз,. Доказать, что функция т1(х) = / 1т(д) от,(х — д) е(у основная из У(В"), причем 0 < т1(х) < 1, тт(х) = 1 при х Е С,; тт(х) = 0 при х60з,. 6.4. Пусть функция тт(х) удовлетворяет условиям задачи 6.2, Н(х) = ~~ тт(х — еи), е(х) = — "* .
Н(х) и=-со Доказать, что Н Е С '(Вз), Н(х) > 1; е Е У(Вт), 0 < е(х) < 1; е(х) з— в 1 при /х) < е ие(х) = 0 при (х) > Зе; 2 е(х — е ) =1. н=-со 6.5. Доказать, что существуют такие функции ~ее Е У(В~), б > 1, что ~ре(х) = 1 при (х! < ю — 1, уе(х) = 0 при )х! > ю и ~зт~ ~(х)) < с, где постоянная С не зависит от о. 6.6. Пусть непрерывная функция у(х) финитна: у(х) = О, (х( > В. Показать, что функция 1,(х) = 1Яу)ш,(х — у)т(у (е < В) основная из У(В"), причем уе(х) = 0 при ф > В+ е. Показать, что 1,(х) — ) У(х), е — + О.
6Л. 1) Доказать, что функция з "~(0) , ы — 1 ф(х) = — <р(х) — п(х) ~ ~, х, т = 1,2, в=о основная из У(В'), где ет 6 У(Вт) и и е У(В'), тт = 1 в окрестнос- ти х = 0; 2) доказать, что функция Зт(х) — тт(х) тт(0) а(х) основная из У(В"), где ет Е У(Вт), п(х) — функция из задачи 6.7, 1) и а е С (В~), имеет единственный нуль порядка 1 в точке х = О. 6.8.
1) Показать, что функция 1от из У(В') может быть представ- лена как производнал от некоторой другой функции 1оз из У(Вт) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 90 Га, 111. Обобщенные фунниии / ун (х) дх = 0; 2) показать, что всякая функция ~о(х) из У(В') может быть представлена в виде у(х) = юе(х) / ю(х') сЫ + ~о~ (х), где у~ Е У(В'), а ем(х) — любая основная функция из У(Вз), удовлетворяющая условию ~ ~ре(х) Их = 1. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.8, 1).
6.9. Показать, что У с Я и из сходимости в У следует сходимость в,К 6.10. Пустыр й .К Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) -„у(х); 2) -у(йх); 3) — ~р Я й = 1, 2,..., сходящиеся в 5; 6.11. Пусть <р Е Я и Р— полипом. Показать, что ~рР Е .К 6.12. Пусть функция ф Е Се'(Вз), ф(х) = 0 при х < а и ограничена вместе со всеми производными Показать, что функция ф(х) е '* основная из .з"(В'), если и > О. Обозначим через У'— : У'(В") совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций У. Всякий функционал 1 6 У назовем о6о6щенной функиией (из пространства В').
Обозначим через.9' = Я~(В") совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций 5~ Всякий функционал 1 Е .р" назовем обобщенной функцией медленного роста (из пространства Я'~). Значение функционала 1 на основной функции ~р обозначим через (1, ~о). Чтобы указать аргумент основных функций, иногда вместо 1 и (1,у) будем писать 1(х) и (1(х),х(х)). Последовательность (1ь) обобщенных функций из У' называется сходящейся к ойобщенной функиии У (из У'), если (1ь 'р) — + (1 Ф) й — + со для любой у из У.
В частности, ряд из обобщенных функций и~+из+ ... +из+... называется сходящимся е У' к о6общенной функиии 1, если для любой у й У числовой ряд ~', (ию у) сходится к (1, ~р). к=з Сходимость последовательности и ряда в Яопралеляется аналогично. Говорят, что обобщенная функция 1 раева нулю в ойластли С, если (1, у) = 0 для всех у из У с носителем в С. Обобщенные функции,1~ и 1з называются разными в о6лесгли С, если их разность ~~ — 1з равна б б. Основные и обобщенные фунниии 91 нулю в С; Д и /з называются равными, если (уму) = Цз, ~р) для всех ~рс У.
Лосиелелем обобщенной функции у называется множество всех та- ких точек, ни в какой окрестности которых у не обращается в нуль. Носитель / обозначается через вирр у. Если вирр у — ограниченное множество, то у называется филиграней обобщенной функцией. Регулярной обобщенной функцией из У'(В") называется всякий функционал вида (~, у) = ~ /(х) р(х) е(х, у й У(В"), где у — локально интегрируемая в В" функция. Если У(х) — функция медленного роста в В",т.е. ( 1((х))(1+ )х0-ыдх ( оо при некотором из > О, то она определяет регулярную обобщен- ную функцию из Я (медленного роста).
Всякая обобщенная функция, не являющаяся регулярной, называ- ется сингулярной. Примером сингулярной обобщенной функции является б-функция Лирика, определяемая правилом (б, р) = р(О),,р б У(В"). Обобщением б-функции является поверхностная б-функция. Пусть Я вЂ” кусочно гладкая поверхность и д(х) — непрерывная функ- ция на ней.
Обобщенную функцию дбю действующую по формуле (лбю у) = ( п(х) р(х) И8„у й У(В"), 5 назовем нростлым слоем. В частности, если 8 есть плоскость 1 = О в В"+'(х,г), то дбр-в>(х, $) обозначим,и(х) б(е), так что (д(х) б(г), 'р) = ( д(х) 'р(х, О) их. к" При и = 1 простой слой бзн(х) на сфере Зк обозначим через 6( — )х~), так что (б( — )х0,р) = у(В) + у( — В). Произведением 1" из У'(В") и функции а(х) й С' (В") называ- ется обобщенная функция а7, действующая по формуле (аУ,у) =У, р), рб У(В") Пусть у(х) Е У'(В"), А — неособое линейное преобразование и Ь вЂ” вектор в В".
Обобщенную функцию /(Ау + Ь) определим фор- мулой яАр~ею) ув ~ ~ ~бе(я) ) бес А! /' При А = 1 имеем сдвиг обобщенной функции ( на вектор — Ь: Га П1. Ооооеценные функции Щу + Ь), ~р) = (1, ~р(х — Ь) ) . Например, (б(х — хо), ~р) = (Б, уг(х + хо)) = у(хо) — сдвиг 5(х) на вектор хо. При А = — Х, Ь = О имеем отражение (у( — х),у) = (~,~р( — х)). 6.13. Локозать, что б(х) — сингулярная обобщенная функция. Дать физическую интерпретацию ее. 6.14. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: 1) 25(х — хо); 2) ~ щьб(х — хь); о=1 3) р(х) бя(х); 4) )харбен(х — хо); 5) 25(Вг — ~х — Ц) + 35(Вг — ~х — 2~).
Найти их носители. 6.15. Показать, что: 1) 5(х — и) — «О, и — +со вУ(В); 2) Бян(х) — Ф О,  — + со в У . 6.16. Доказать, что .г"' с У' и из сходимости в Я' следует схо- димость в У . 6.17. Доказать, что: 1) е* Е У (ВЯ), е* Е.У (В~); 2) е~~* е У'(В~); 3) е*вще* Е.г"~(В~). 1 6.18. Локазать, что функционал 9' —, действующий по формупе (я-',е)=чр /~и= Г '(1;-1)~~* и. еее.
— сингулярная обобщенная функция, 6.19. Вычислить пределы в У'(Вг) при е — + +О: (1/(2е), )х) < е, 1) У,() =~( ' — ' 2) 3) — е * Вее)' 4) — е1п -„5) — ещ 21/Я х е" кхг е' 6.20. 11оказать формулу Сохоцкого 1 = +екЮ(х) + 9' —. 1 хх 10 х 6.21. Вычислить пределы в У'(В') при 1 — ~ +со: гзн -г г е' ' -мс 1) —; 2) —,; 3) —,; 4)— х — 10' х — 10 х+10 х+10 5) 1™ъе'*е щ > О З б.
Основные и обобщенные функции 6.22. Найти предел Я, й — в оо, в У'(В1), где (3з,у1) = Ъ'р / — у(х)Их = = 1пп ('+[ ~р(х)Их, сое У. со 6 6.23. Доказать, что ряд 2 аьб(х — к): 1) сходится в У' при любых аь, 2) сходится в Я', если [ав[ ( С(1+ [й[) 6.24. Пусть ф 6 У(Я"), ф > О, ~ у)(х) Их = 1. Доказать, что е "ф (-) — + б(х), е — в +О в У'(В"); в частности, со,(х) — + Ю(х), е — в О в У'(Я"). 1 6.25. Показать, что функционал бз —, действующий по формуле хв у,з 1 ) ~ )~ у( )-Ю( ),~х — сингулярная обобщенная функция.
6.26. Показать, что: 1) а(х)б(х) = а(О)д(х), а 6 С '(В"); в частности, хб(х) = О, хЯД1. 2) хая — = 1; 3) х Я вЂ” =х ", п1>1. 1 х 6.2Т. 1) Пусть обобщенная функция у' равна нулю вне отрезка [ — а,а]; доказать, что У=111, где 116 С (В') и 11(х) =1 в [ — а — е, а+с), е > О любое; 2) пусть у' 6 У'(Я") и и 6 Ссо(Я"), о(х) = 1 в окрестности зпрр у; показать, что У = Чу и у 6 .~ (Й"). 6.28. Доказать, что Ю(ах) = — б(х), а ф О. 1 [и[в 620.
Доказать, что (ау)(х+Ь) = о(х+Ь) у(х+й), где а Е С (В"), й 6 Дл 6.30. Доказать, что обобщенная функция Р(, у1(х,у) 1 1о(*,У) — (0,0) „„)' УР*~ ) хе+уз у — *", вВ.Во<1 в.~ „г>1 удовлетворяет уравнению (хз + уз) Р1 = 1 в У (В~). в+уз Гж 111. Обобщенные фунниии 6.31. Пусть 1 6.У' и Р— полипом. Показать, что 1Р 6 Я'. 6.32. Пусть 1 Е У'(Вз) финитна и л(х) — произвольная функция из У(В~), равная 1 в окрестности зцрр 1.
Положим У(х) = —. ~(х'), ", х = х+(у, Показать, что: л 1) 1(х) не зависит от выбора вспрмогательной функции и; л 2) 1(х) — аналитическая функция при х б зцрр1; 3) 1(х) =0( — ), з — ~ оэ; 4) /(х + Ы) — У(х — Ы) — + ~(х), е — ~ +О в У'(В'), 6.33. Пусть 1 6 У (В'), зцрр1 С (-а, о]) и О б У(Вз), зу(() = 1 в окрестности зцрр 1. Доказать, что функция 1(з) = ф(),0(()е"~), х =х+бу, не зависит от л, целая и удовлетворяет при некотором ш > 0 и любом е > О оценке ~У(х+ 1у)~ < С,е('+'~~з~(1+ )х!) 6.34.
Пусть 1 Е У (В") и ецрр1 = (О). Показать, что 1 однознач- но представляется в виде ~(х) = ~ С Р б(х). О<)а~<к оо 6.35. Пусть ряд 2 а„дбб(х) сходится в У (В~). Показать, что о„= 0 при н > оо. Ответы к $ 6 6.1. 1) Сходится к нулю; 2) и 3) не сходятся, если ~р(х) ф О. 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
