В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е +е *'-+х *'еат е'еа 7.36. Показать, что если 1 6 Сз(С) й С (Ст), где Ст = В" ~С, то справедлива формула Грина тз1 =(тз1)+ ~~ ] ба+ д ([1]збз). б 7. Лифференцироеоние обобщенных функций 101 Т.ЗТ. Доказать, что если у(х,в) Е Сх(1) 0) и у = 0 при в < О, то в Вн+' справедливы формулы: 1) П,У = (П,Д+ б(1) уг(х,О) +б'(г) Дх,О); 2) — е — ахЬ/= ( — — а~Ь~) + б(х) Ях,О).
Ответы и ЗТ 3) — б!Ео г)(х — х ); 6) Зб! х)(х); О)( ~)!6() в. пь оо 2,3, Т.6. 1) — б(х); 2) б(~ г)(х — хо); 4) 2б!ы ')(х); 5) в!Зпх; 7) 9(х) совх; 8) б(х) — д(х) в(пх; 10) (гл — ) )! б!'-')(х); 11) б!"' ")(х) + аб! х)(х) + ... + аы ~б(х) + а"'И(х) е'*. Т.Т. 1) у' = в!8пх в)пх+ )х) совх, уо = 2в18пх совх — )х! взпх, у'о = 4б(х) — Зв18п х вш х — )х/ сов х; 2) у' = в18пх совх — !х) в1пх, уо = 2б(х) — 2в18пх в1пх — )х) совх, уео = Зб'(х) — Зв18пх сов х+ )х! вгпх. Т.10. 2) Р е ш е и и е.
((о1)'е) (о' ) го~~)е е (~ У)ево е оо = 1пп — 1пп гр(0) ~+ ( е-го е е-+о хо = > ( ~) (Я, Е) =(-Я вЂ”, Е), ЕЕ У. Т.14. 1) б!ы-г)(х+ а) — б1~ г)(х — а); 2) 2 б!'" г)(х — )г); оо В=-оо 3) 2 ~ (-1)еб!"' ')(х — )гк); 4) 2 ~ ( — 1)"+гб!"* г) (х — (2)г+1) к1. 2/ оо Т 15 Г = — — + ~ б(х — 2Ьг). 2гг Т.16. у'ое1-2 ~ б(х — 2)г-1), У<~> = — 2 ~ б(~ ')(х — 2)г — 1), 102 Гл.
Ш. Обобегеннме фукячв а 7.17. У к а з а н и е. Воспользоваться 7.15. 7.18. У к а з а н и е. Воспользоваться 7.17. 7.20. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 7.13 и 7.19. [ег/2] 1) у' = 6(х) совх, у["') = / (-1)" 'б["' 2")(х)+6(х)(вигх)["'), 2=1 пг = 2, 3,..., где [тл/2) — целая часть —; 2' Им+1)/2] 2) у' = б(х) — 6(х) в[их, у['") = 2 ( — 1)" 1б['" 22+1)(х)+ +6(х)(сов х)["'), пг = 2,3, ...; 3) у' = 26(1-]х/) х+ б(х - 1) - б(х+1), у" = 2В(1 — [х[) -2б(х+ 1)— з — 2б(х — 1)+бг(х+1) — бг(х — 1), у["') = Я [(-1)' 'б[ е) х ,~ (3- й)г х (х + 1) — б["' ь) (х — 1)~, оз = 3, 4, ...; 4) у'= 6(х) — В(х — 1) +26(х — 1) х, у" = б(х) +б(х — 1) + 20(х — 1), у['") = 2б[ з)(х — Ц+б["' г)(х — 1) +б['" 2)(х), ог = 3,4,...; 5) у' = 20(х + 1)(х + 1) — 20(х), у" = -2б(х) + 2В(х + 1), у[~) = -2б[ 2)(х) + 2б[~ з)(х + 1), ог = 3, 4,...; 6) у' = 20(х) х — 40(х — 1) — 26(х — 2)(х — 2), у" = 26(х) — 20(х — 2)— — 4б(х — 1), у[ге) 2б( — з)(х) 2б( -з)(х 2) — 4б[ге-2)(х 1) го = 3,4,...; [т/2) 7) у' = В(гг — [х[) совх, у[") = 0(т — [х[)(вшх)["')+ ~', (-1)ь х 2=1 х 1б[ 22)(х+эг) — б['" 22)(х — я)1, гп = 2,3,...; 8) у' = 6(т — [х[)в[8пхсовх, у[ ) = В(я — [х[)в[йпхвгп[ [т/2) — Я ( — 1)"12б[~ 2")(х)+б[~ 22)(х+т)+б[~ 2")(х — гг)), о1= 2,3,...
2=1 7.22. 1) Решение. Пусть решение у Е У' существует. Тогда (у,хео) = 0 для любой уг Е У. Найдем зто у. Имеем (у, [е) = (у, у(0) г)(х) + фх) - уг(0) г)(х)), где г) Е У, п(х) вз 1 в [-в, в) и г)(х) вв 0 вне [-Зв, Зв[, (У,9~) = [В(0)(у,г)(х))+ У,х * "* = У(0)С+(У,хг/г(х)), (ее) где С = (у,г)) и г/г(х) = ~ ~ ~ 6 У(см. решение задачи 6.7). В силу (*) (у, хг/г) = О.
Тогда из (**) имеем (у, уг) = (Сб, уг) дпя всякой [е Е У, т.е. у = Сб(х). Осталось заметить, что Сб(х) удовлетворяет уравнению ху = 0; б 7. Аийо1еренчирооокие обобщенныа Фвнкчие 103 2) Сб(х) (У казан не. Воспользоваться задачей 6.7, 2).); 3) 0; 4) Сб(х — 1); 5) Сгб(х) + Сгб(х — 1); 6) Сдб(х — 1) + Сгб(х+ 1); 7) Сб(х)+ дг-; 8) Сб(х) + до —; ль-1 9) Я Сгбдд(х) (У к а з а н и е. Свести к решению уравнения вида ь=о хх(х) = у(х), обозначивпоследовательно х"' гу(х) = х(х), х"" гу(х) = = я(х) и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.22, 1).); 10) Соб(х) +Сгб'(х) + 2,У вЂ” „где дз —, — обобщенная функция из задачи 6.25; 11) Соб(х+1)+Сгб'(х+1); 12) ~', Сьб(х — ~ — йя).
7.23. 1) Р е ш е н и е. Пусть решение у Е У' существует, т.е. (у,ог') =0 для любой у Е У. (*) В силу результата задачи 6.8 (2) любая оо Е У может быть представ- лева в виде у(х) = ого(х) ~ ог(х) дх + рг~(х), где ог1 Е У, а хо (х) — любая основная функция из У, удовлетворяющая условию ( Ого(х) дх = 1. Следовательно, ь~) = (ия (ю~*+4) = ь юс~юи* ~ь ю. Так как, в силу (*), (у, огг) = О, а (у, <ро) = С, то (р,у) =С / рай=(С,Ог) для любой рЕ У, т.е. у= С; 2) Со+ С1х+ ... + С,„гх"' ' (Указание.
Свести к реше- нию уравнения вида г' = Дх), обозначая последовательно у("' Ц = я, у( г> = г и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.23, 1).). 7.25. 1) Сг+Сгд(х)+1п)х); 2) Сг+ Сод(х) —,У-; 1 х 1 3) Сг + Сгд(х) + Сзб(х); 4) Сг + Сгд(х) + Сзб(х) — 9'-; 5) Со+С1х+д(х)х; 6) Со+Сгх+Сгд(х+1)(х+1); 7) Со + Сгх+ Сгд(х+ 1) + Сзд(х+ 1)(х+ 1); 8) Со + С1 х + Сгх + Сзд(х + 1) (х + 1)г.
104 Гм 1П. Обобщенные фуннннн 7.28. 1) д(х)е *(1+х); 2) — д(х) в1п2х; 3) д(х)ез*. Указание. Искать решение в виде д(х)в(х), где в й Сз(Вт)— искомая. 7.34. -26(х — 1,у-1)+26(х-2,у)+26(х-З,у — 1) — 26(х-2,у-2). В 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций Прямым произведением обобщенных функций 1(х) й У'(В") и д(у) Е У'(В™) называется обобщенная функция 1'(х) д(у) из У'(В"~~), определяемая формулой (1(х) д(у),у(х,у)) = (1(х),(д(у),у(х,у))), р й У(В"+"').
(1) Прямое произведение коммутпатпнвно, т.е. У(х) д(у) = д(у) ' У(х) и ассоциативно, т.е. [1(х) д(у)[ ° Ь(в) = 1(х) [д(у) ° Ь(в)[. Если 1 Е 5"(В*') и д Е Я"(В"'), то 1(х) . д(у) определяется по формуле (1), где х Е .х(Вт"+"), и принадлежит тт'(Вт"+"), Производная прямого произведения обладает свойством В~(1(х) д(у)) = 12оДх) д(у); Э„"(Дх) д(у)) =1(х) 11'д(у). (2) Если,и(х) й У'(В") и о(х) й У'(В"), то обобщенные функции 1т(х) 6(т) и -тт(х) бт(т) называются простлым и двойным свеями на поверхности $ = 0 с плотпносптямн 1т(х) и тт(х) соответственно. В случае непрерывных плотностей зти определения слоев совпадают с определениями, приведенными в 3 б и з 7, т.е. р(х) 6(С) = р(х) 6(т) и — тт(х) бт(т) = — тт(х) 6'(т). Обобщенную функцию 6(ат — [х[), а > О, из У'(Вз) определим равенством 6(а — [х[) = д(Ф) 6(ат + х) + д(т) 6(ат — х), (3) где обобщенные функции д(т) 6(ат + х) и д(т) 6(ат — х) есть резуль- таты линейных замен переменных У = т, с = ат х х в д($') ° 6(с), т.е.
(д(в)6(ив+ х),у) = / тт( — аЬ,Ф') й', о СО (Зд) (д(1)6(ат — х),у) = / у(азт,вт)ойт. о 8.1. Локазатьс вирр (1(х) . д(у)) = виррУ х вирр д. 8.2. Показать, что в У'(В"+т(х, в))т 1) (ит(х) ° 6(В),у) = (нт(х),ет(х,О)); б д. Прямое произведение н свертка оооонеенных функций 105 2) (на(х) . б'(с), <р) = — ио(х), У к а з а н и е, Воспользоватьсл формулой (1). 8.8.
Дока а 1) Ве(х, С) — простой слой на оси с = 0 шюскости (х, с) с плотностью В(х); 2) -Ви(х, с) — двойной слой на оси е = 0 с плотностью 6(х). У к аз ан и е. Воспользоватьсл задачей 8.2. 8.4. Показать: 1) 6(хд) ° 6(хг) ° ... ° 6(хп) = 6(хг,хг,...,хп); 2) б(хг) .
б(хг) ". б(х„) = б(хг,хг,...,хп). 8.5. Показать: = б(хг) б(хг) " 'б(хп) 8.6. Показать, что Ц д)(х+хо,у) = Дх+хо) ° 6(у). 8.Т. Показать, что а(х)(~(х) ° д(у)) = а(х)Дх) д(у), где а е е С (В"). 8.8. Доказать, что в У'(Вг): 1) — 6(ас — ~х0 = аб(ас — ~х~); д 2) — 6(аг — /х/) = 6(с) б(ос + /х/) — 6(Ф) б(ай — ~х0; д д* 3) ( —,6(аг — ф), у) = -а(б(ас — )х~), Я); 4) ( — 6(аг — $х3), у) = — (6(е) б(ае + х), — ) + +(6(г)б( г — х), ф).
Обобщенную функцию вида Дх) ° 1(у) назовем не зависягцей от у. Она действует по правилу (1(х) ° Цу), уг) = ( (1(х), го(х, у)) с(у. (4) 8.9. Показать: 1) ~(~(х), р(х, у)) фу = (Дх), / сг(х, у) Иу); 2) Ю'„*(Дх) 1(у)) = О, где ~ Е У', )а~ 14 О. 8.10. Пусть д(у) Е .У'(В"') и х Е Я(В"+т).
Доказать, что: ) г ( з ) ( д ( у ) ) е ( х + у ) ) ~ У ( В и ) 2) 1)о4~(х) = (6(у),.0,"уг(х, у)); Гл. 111 06ой>ленные фднниии 3) если у» — + >р, й — » оо в 5'(Вн+ ), то >р» — + >р, й — » оо в 5Ф(В"); 4) если У б 5" (В*') и д б .р" (В~), то 1(х) . д(д) Е 5е'(В"+ ). Сверилеой локально интегрируемых в В" функций 1(х) и д(х) текил, что функция Ь(*) = ~11(д) д(*-д)!дд также локально интегрируема в В", называется функция (1 > д)(х) = /1(д) д(х — д) дд = ~д(у)1(х — д) дд = (д »1)(х). Последовательность (д»(х)) функций из У(В") называется сходки»едся к 1 в В", если она обладает свойствами: а) для любого шара 11л найдетсл такой номер 1е', что д»(х) = 1 при всех х б 11л и Й > Ф; б) функции (д») равномерно ограничены в В" вместе со всеми производными, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
