В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 19
Текст из файла (страница 19)
>Р Ф)»(х)> >( Са> х б В > й = 1>2» ... а — любое. Пусть (д»(х; д) ) — любая последовательность функций из У(В»"), сходящаяся к 1 в Вэ". Пусть обобщенные функции 1(х) и д(х) из У'(В") таковы, что для любой >р Е У(В") числовая последователь- (1(х) ° д(д) д»(х;у) у(х+ д)) имеет предел при Й вЂ” + со и этот предел не зависит от выбора последовательности (д»). Этот предел обозначим через (1(х) ° д(д), >р(х + д)).
Сверипеой 1 е д называется функционал (1 ед,у) = (1(х) ° д(д),>р(х+ д)) = = Иш (1(х) д(д),д»(х;д)>р(х+д)), >р 6 У(В"). (5) Свертка хонмдтитиена, т.е. 1 *д = д »1. дифференцирование свертки. Если свертка 1 е д существует, то существуют и свертки Р 1 *д и 1 *Р"д, причем Р Уед=Р Бед) =1 Р'д. (6) Свертка инвариантна относительно сдвига, т.е. 1(х+ Ь) *д(х) = (1 *д)(х+ Ь), Ь б В". Лостаточные условия существования свертк и. 1. Если 1 — произвольнал, а д — финитная обобщенные функции в У, то 1 * д существует в У и представляется в виде б8. Прямое произведение и еееренно «6«6иЕ«нных О1унниид 107 (У«д р) =(У(х).д(у)Л(у)~(х+у)) рб У (7) где и — любая основнвл функция, равная 1 в окрестности зпрр д.
П. Обозначим через У+ множество обобщенных функций из У'(Я~), обращающихся в нуль при х < О, Если У, д б У+, то их свертка принадлежит У+ и выражается формулой (У «д,ср) = (У(х) .д(у),еп(х) е)з(у) ~р(х+ у)), (8) где о 8.13. Показать: 1) б«У=У«б = У; 3) б(х-а) «б(х — Ь) = б(х — а-Ь); 5) б("'~(х — а) «У(х) = У<"'>(х — а).
8.14. Вычислить в У'(Л~): 1) В(х) «В(х); 2) В(х) «В(х)хз; 3) е >е!«е !«!; 4) е '* «хе '*, а>0; 5) В(х)х «В(х) ззпх; б) В(х) созх«В(х)хз; 7) В(х) з!пх«В(х) зйх; 8) В(а — !х[) «В(а — [х[). В задачах 8.15-8.29 доказать утверждения. .«-е 8.15. Если Уо(х) = В(х) — е '**, а > 0 — целое, то У, «Ур = Г(а) Уо+р. 8.17. Если Уо(х) =, а > О, то У *Уд = У ед. я(хе + ае) 8.18.
вирр(У «д) С [зпррУ+ зпррд]. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.1. 2) б(х — а) «У(х) = У(х - а); 4) б(.) «У = У0 ). 11, е> — еь, пе(1) = ~ пе 6 С~(В'), Й = 1,2. (О, 1 < — 2ее, Таким образом, множество У+ образует сверточную алгебру. 8.11. Пусть,У(х) и д(х) локально интегрируемы в В". Показать, что свертка У * д является локально интегрируемой функцией, если: 1) У и д 6 5| (Л"); 2) У или д финитна; 3) У=Оид=Оприх<0; п=1. В случае 1) показать, что У«д й Ь|(В«) и справедливо неравенство 1[У *д[1ь, < 1!У11ь,.
1!д[[ь,. 8.12. Показать, что в условиях задачи 8.11, 3) (У * д) (х) = у У(у) д(х — у) Ну. (9) 108 Га П1. 06ое1ценнме функции 8.19. Если у, д Е У+, то е'а7' а еа*д = е'*(у *д). 8.20. Если ~ Е У, у1 б У, то 1 е 1д= (у(у)~У(х — у)) 6 С (В ). Указан не. Воспользоваться формулой (7) и задачей 8.9, 1). 8.21.
Если У б У, У а д = 0 для всех оо б У и вирр у1 б (х < 0), то у = 0 при х < О. 8.22. Если свертка у * 1 существует, то она постоянна. 8.23. Для независимости обобщенной функции от х; необходима и достаточна ее инвариантность относительно всех сдвигов по хо 8.24. Для независимости у(х) Е У'(В") от х; необходимо и доста- точно, чтобы — = О. ду дх1 8.25.
Если 7' б У' не зависит от хо то и 7 е д не зависит от хь 8.26. Решением уравнения Ьп = б, где 4 4 а — 1 И ь = — + а1(х), + ... + а 1(х) — + а„,(х), аь Е С (В1), в У'(Вз) является п(х) = д(х) Я(х), Я(х) б С (Вз)— решение задачи Ы=О, г(О)=г'(О)=...=21 -з1(О)=О, г1"-Ц(О)=1. 8.27. Решением уравнения Ьи = 7", у б У+, в У+ является и = = 92 * у, где Я(х) — функция из задачи 8.25. 8.28.
Решением уравнения Абеля ( ) 1К~ = д(х), (х - 5)а о где д(0) = О, д б С~(х > 0), 0 < а < 1, является функция ешяа )' д'(С)оо / (Х О1-а о Указание. Уравнение записать в виде свертки п*д(х — а) = = д(х) (считаем п = 0 и д = 0 при х < 0) и воспользоваться задачей 8.15 при р" = 1 — а. 8.29. Решением уравнения д(х) созх * 7' = д в У'(В1), где д б еС (х>0), д=Оприх<О,является 7(х) = д'(х) + ( д(С) а~.
о 8.30. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления В, самоиндукции Ь и емкости С. В момент времени 1 = 0 в цепь включается э.д. с. Е(1). Показать, что сила тока 1(1) в цепи удовлетворяет уравнению 2 ее = Е(е), где б В. Лрямое крон«ведение н свертке обобщеннмх функций 109 Я = Ьб (С) + Вб(С) + — — импеданс цепи. д(С) С 8.31. Пусть С' Е У'(В««т). Доказать: 1) [б(х — хо) б(С)] «~(х,С) = /(х — хо,С); 2) [б(*-*.) б-(С)]*П*,С) = 8.32. Вычислить следующие свертки в У'(В"): 1) у «бя„, где у (х) Е С и бя„(х) — простой слой на сфере [х[ = В с плотностью 1 (см. з 6); 2) У * — бз„, где с' Е С', 3) бз « [х[з, н = 3; д 4) бя * е !*!, н = 3; 5) бя «зш [х[з, л = 3; я« 6) бз„«1 ! [«,н=3; 7) — «Стбз, л = 3; 1п — * Стбз, п = 2; [*! ~' ' [*! 8) — — * — (т бз), н = 3; 1п [х! « — (ибя), п = 2; д д ]к! ди ' ' дп Я вЂ” ограниченная поверхность.
Определение обобщенных функ- ций Себя и — — (обя) см. в ~ 6 и ~ 7. д ди 8.33. Вычислить в У'(Вз): 1) д(С)х«д(х) С; 2) д(С вЂ” [х!) «д(С вЂ” [х!); 3) д(С)д(х) «д(С вЂ” [х!). 8.34. Пусть у,д Е У'(Вн ы), у(х, С) = 0 при С < 0 и д = 0 вне Г . Доказать, что свертка д * у существует в У (Вн+т) и выражается формулой (д « ~,у) = (д(«„С) С(у,т)тС(С) тт(т) тС(азСС вЂ” [б[з) ~о(~+ у, С+ «)), ф с У(В«+т) где тт(С) Е С"'(В~), тС(С) = 0 при С < — б и тт(С) рд 1 при С > -е (О < е < б), 8.36, Пуст~ д(х, С) 6 У'(В"+'), д = О вне 1' н и(х) 6 У'(В"). Доказать: 1) д «и(х) б(С) = д(х, С) «и(х), причем обобщенная функция д(х, С) « «и(х) действует по правилу (д(х,С) «и(х),ут) =(д®С) и(у),тт(азСС вЂ” [С! )ут(С+у,С)), тто Е У(В"+ ); 2) д«и(х) бОО(С) = —,(д(х,С)«и(х)) = — „' «и(х).
Гл. 111. Обобвиеииме функции 4" /- *= — * бе» » ра« СвеРточнак опеРациЯ 1 ие пРи а > О, а не Равно целомУ числУ, называется (дробной) производной порядка а (зту производную обозначим через и( /, т.е. ийб ви / *и); / * при а > 0 называется первообрвзноВ порядка а (зту первообразную обозначим через н(,„р т.е.
и( « = 1„« и). 8.43. Вычислить производную порядка 3/2 от д(х). 8.44. Вычислить первообразную порядка 3/2 от В(х). 8.36. Вычислить в У'(К~)е 1) В(аМ вЂ” )х[) е [и/(4) ° б(х)), а > О, где и/(1) Е С(1 > 0) и и/Я = 0 при 1 < 0; 2) В(а1 — )х)) * [д(Ф) ° б(х)); 3) д(а1 — [х[) * — [д(1) ° б(х)); 4) В(ое — [х)) е [В(1) ° б'(х)); 5) В(о$ — [х)) е [В(х) б(е)); 6) д(а1 — )х))* — [ив(х).б(1)), где и/(х) ЕС(В/) (Указание. Вос- пользоваться задачей 7.5, 2).); 7) д(а1 — [х)) * — [В(х) ° б(1)).
д 8.37. Вычислить в У'(лез): Ц»б(в) е ( ) -»*Л4»*в) о > О. 2) д(в) «х е ( ) -е 1(4«/. я~Я' 3) В(х)б(е) * — е * Л4«1. 2\~%« 8.38. Пусть / Е С" (В»ЦО)) и д Е У'(Я») финитна. Показать, что / * д Е С (В"'1зпрр д) . У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (7). 8.39. Пусть / Е.д" и д Е У' финвтна.
Локезать, что / «д Е.д»'. 8.40. Локазатяс если /Е У', то /еи/в — « /'в е — 40 в У'. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.24. Введем обобщенную функцию / (х), зависящую от параметра а, — оо < а < оо, д(х) х" а>0, 1,(х) — Г(а) 1~+~/«/(х), а < О, а+ и > О, /«целое (ср. с задачей 8.15). 8.41. Локезать, что / * //« = /„ео.
8.42. Локазать, что 1ое = бе, /„« =в.в.. ° в*. б В. Прямое произведение и свертке обобщенных функций 111 8.45. Вычислить производную порядка 1/2 от /(х), / = 0 при х < О. 8.46. Вычислить первооброзную порядка 1/2 от /(х), / = 0 при х (О. 8.47. Обозначим через б пространство финитных обобщенных функций со сходимостью /» — + О, й — т оо в 4'~, если: а) /о — +О, й — +оовУ'; б) существует число В такое, что вирр /я С (уд при всех й. Локгзать т е о р е и у: есеи яинейный непрерывный операпюр Ь из 4" в 9' коммутнирует с операцией сдвига, пю Ь вЂ” оператпор свертпки, Ь = /оо, где /о = йб.
Ответы к 3 8 8.8. 1) Р е ш е н и е. В силу формул (3) и (Зт ) Оо оэ ( — В(аг — [х[),д>) = — (8(аХ-[х[), — Р) = — / / " ' йдх = 1о! /о / [х[1 = / От ~х,— ( т7х = а / цт(-а1',Р)Ф'+а / ут(аг',Г')М = — оо о о = (аВ(т) б(от+ х) + ай($)б(аг — х),от) = (аб(аг — [х[),~р). 8.14. 1) Р е ш е н и е. В силу формулы (9) Вой = /' В(у)В(х — у)т(у =В(х) / Иу = В(х)х; о 2) В(х) —; 3) е уб(1+[~[); 4) ~хе '* уг; 5) В(х)(хг — 4сйп *-); б) В(х)(3х + б соз х — б); 7) — (зЬ х — аш х); г В(х) 8) В(2а — [х[)(2а — [х[).
8.21. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.20, применив ее к у( — х) и положив х = О. 8.30. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1.31. 8.31. 2) Р е ш е н и е. В силу формул (2) и (6) и результатов задач 8.4, 2) и 8.13, 2) д [б(х — хо) бт~)(1)) о/(х,1) = — [б(х — хо).б(1)) о/(х,г) = = — (б(х — хо,г) */(х,г)) = 8.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
