В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 14
Текст из файла (страница 14)
5.34. До а оз +з 1) отношение — не убывает и ограничено; ае» 2) существует 1пп '" и этот предел равен наименьшему ха»-+а» От»+а рактеристическому числу ядра Мг(х, у); ОО 3) ~ — = о„(п > 2), где Л, тп = 1,2,..., — характеристичес»~=т и кие числа ядра е (х, у), !Лт! ( !Лг! ( ...; 4) — = Иш, — "+~ = 1пп ег/аз». !Лт!»-таа у ае»»-+аа 5.35. Пусть Л не является характеристическим числом эрмитова непрерывного ядра е'(х,у). Показать, что (единственное) решение уравнения ьт(х) = Л ~ Л (х, у) то(у) ду + 1(х) а можно представить в виде ряда 7б Гл. П.
Функциональные проепзранеепва и иньпееральные уравнению 1( ) =Л~ ~1™~~1 (х)+1(*), ы=1 равномерно сходящегося на (н, а для резольвенты ае(х,у; Л) имеет место формула о( „.1) ~ )ь( ) Л вЂ” Л где билинейный ряд сходится в Ья(С х С). 5.36. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения 1 1о(х) = Л / М (х, р) 1о(у) ау о в следующих случаях 0<х<р<1, 0<р<х<1; 1) М'(х,у) = 1 р, если 2) Л (х,у) ьь ~ ( х(1 — р), ( у(1 — х), если 0 <х< у < 1, если 0<у<х<1; 3) М'(х,у) = г-р — х 2 2 — х р 2 если 0<х<р<1, если 0<р<х<1; 4 ) М'(х,р) = (х + 1) (р — 2), если 0 < х < у < 1, (у + 1)(х — 2), если 0 < р < х < 1; 5) М'(х,у) = (х+ 1)у, если 0 < х < у < 1, < х(у + 1), если 0 < р < х < 1; б) М'(х,у) = (е* — е *)(е" + еа "), если 0 < х < у < 1, (е' + е~ ')(е" — е в), если 0 < у < х < 1; < 7) М'(х,р) = з1пх в)п (1 — у), если 0 < х < у < 1, еш(1 — х) е1пр, если 0 < у < х < 1.
5.37. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения с ядром а (х,у) в следующих случаях: 1) д'(х,у) = … (1 + х)(1 — р), если -1 < х < р < 1, (1 — х)(1 + р), если — 1 < р < х < 1; 1 сое х е1п р, если 0 < х < р < и, 2) а. (х,р) = 1 1,сову в1пх, если 0 < р < х < я; 77 д д.
Мнгпеграеьпме уггавпенпе в1пх сову, если 0 < х < у < я, 3) Л (х,у) = вгп у сов х, если 0 < у < х < гг. 5.38. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения 1о(х) = Л [ иг(х + У) гге(У) др Пусть М'(х, у) — непрерывное ядро интегрального уравнения иг(х) = Л/ М'(х,у) гр(у) Ну+ 7(х). (6) Выражение гб (хз уг) М (хг ув) ° ° М (хз у ) М (хв,уз) Х (хз,ув) ... м (хз~уп) М'(х, уз) М'(х, ув) " М'(х, уп) называется снмеолом Фредгольма, а функция „А„,„ (7) и=1 где ь ь А„= )...~.» < ' ' - ") е, е....ь., (8) а а называется определителем Фредгольма ядра .Ж'(х, у) или интеграль- ного уравнения (6).
в следующих случаях: 1) ы(1) — четная 2л-периодическая функция, причем иг(1) = 1, если 1 Е [О,я]; 2) ы(1) — четная 2я-периодическая функция, причем ы(1) = л — 1, если 1 Е [О,я]. 5.39. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения с ядром е'(х, у) = = го(х — у), где иг(1) — непрерывная кусочно гладкая четная 2л-перио- дическая функция, 0 < х < 2я, 0 < у < 2я.
5.40. Решить интегральное уравнение г из(х) = Л / М'(х, у) иг(у) ду + Дх), если Дх) 6 С ([0,1]) и .Ж'(х, у) = х, если 0<х<у<1, е ) х ! у ~ ~ а 7 ! у, если 0<у<х<1. 78 Гм 11. Фунниианааьные проетранетеа и интеераеьные ураенения 5.41. Показать, что коэффициенты А„определителя Фредгольма удовлетворяют неравенствам )Ап~ < пп~зМн(Ь вЂ” а)". Вывести отсюда, что Р(Л) — целая функция от Л.
У к а з а н н е. Использовать неравенство Адамара (см. (2]). Минором Фредгояьма называется функция Р(,„;Л) = Л (, ) + Е(-1)" В"(,' ) Л"+, (9) пац где ь ь В„(х,у) = /.../М' ~йз Юз...М„. (10) 1~у ьь ьз" ь»/ а а 5,42. Показать, что если м'(х,у) — непрерывная в квадрате Р: (о < х, у < Ь) функция, то Р(х, у; Л) — непрерывная функция переменных х, у, Л в Р х С н Р(х, у; Л) (прн фиксированных х и у) является целой функцией от Л. 5.43. Показать, что коэффициенты А„, функции В„(х, у) и ядро .Ж'(х,у) (см. (7)-(10)) связаны равенствами: ь 1) В„(х,у) = А„Л (х,у) — п/В„ь(х,~)М (с,у)Щ а ь 2) В„(х,у) = Ап.ц'(х,у) — и/Л (х,с) Ва — ь(с,у) дс.
О У к а з а н и е. Разложить определитель, входящий в подынтег- ральное выражение для В„(х, у), по элементам первого столбца. 5.44. Доказать первое и второе фундаментальные соотношения Фредгольма: ь Р(х, у; Л) — ЛМ'(х, у) Р(Л) = Л/,Ж(х,~) Р(г„у; Л) Щ, а ь Р(х, у; Л) — Л.а (х,у) Р(Л) = Л/М'(с,у) Р(х,г,;Л) е(4. а У к а з а н н е. Воспользоваться разложением (9), сравнить коэф- фициенты при одинаковых степенях Л в левой и правой частях дока- зываемых равенств и применить результат предыдущей задачи. 5.45. Доказать формулы ь ь А„= /В„ь(х,х) ь(х, а З" Б.
Инпьеграаьнме уравнения 79 5.46. Доказать формулу — = — ~" а„ла (коэффициенты а„ р'(л) р(Л)аа „,-" определены на с. 75). 5АТ. Пусть определитель Фредгольма Р(Л) интегральною урав- нения (6) не равен нулю. Доказать, что в этом случае интегральное уравнение для любой у(х) Е С([а, 6)) имеет решение и при том только одно и что это решение дается формулой ь ,(х) =~(*)+У (.*<(„>Л) ~(у) 6у а 5.48. Используя представление решения интегрального уравнения 1 при )Л( < через резольвенту зе(х,у; Л) (см. задачу 5.6) и результат предыдущей задачи, доказать формулу Р(х,у;Л) ИР(х У~ Л) лр(Л) (эта формула определяет аналитическое продолжение резольвенты, 1 заданной при )Л! < в виде ряда (см.
задачу 5.6)). 5.49. Доказать, что характеристические числа интегральною уравнения с непрерывным ядром совпадают с нулями определителя Фредгольма Р(Л) этого уравнения. 5.50, Доказать, что ранг пь характеристического числа Ло интег- рального уравнения с непрерывным ядром Л (х,у) конечен и имеет место неравенство ьь пь < /Лс!з~~) 5'(х,у)! е(хь(у. аа 5.51. Доказать, что определители Фредгольма непрерывного ядра .х'(х, у) и союзного с ним ядра х"(х, у) совпадают и, следовательно, данное и союзное уравнения имеют одни и те же характеристические числа (см. задачу 5.49). 5.52. Показать, что ранг характеристического числа для данного непрерывного ядра и союзного с ним ядра адин и тот же.
5.53. Доказать, что при )Л~ < 1 интегральное уравнение Милна Л ! аь) = -2 1 '( 1 —,.),ь)Ф О ~е-у~=с имеет единственное решение уг = 0 в классе ограниченных функций на (О, оо). 5.54. Для интегрального уравнения Пайерлса Л еы*м Ь(х)=4 ~1, ),Ь(у)лу, о>0, доказать оценку 80 Га. 11. Фрннционаоьммс пространства и интсврааанмс рраенсниа Лг(1 — е ~) >сг, где П вЂ” диаметр области С с Вв, Л1 — нанменыпее по модулю характеристическое число ядра.
5.55. Доказать, что при Л ( 11'2 решение интегрального уравнения гр(х) = Л / е ~* "~~о(у) Ну+1(х) единственно в классе ограниченных функпий в Вг и выражается формулой У(х) =1(х)+ / е ' ~1* "~~(У)НУ. Л:гл 1 Ответы к 2 5 5.11. 1) с~~с ">; 2) — вЬ|ГЛ(х — у). Гл 5.12. 1) вшх; 2) сЬ(з1лх); 3) — (сЬз/Лх — 1). 5.14. 1) Если Л = — 2, то решений нет; если Л ф — 2, то со(х) = г*(л+ ц — л Л+2 1 е 2) если Л ~ Лм где Лг = —, то; при Л = Л1 уравсг — 1 ' 1 — Л(ег — 1) ' пение не имеет решений; 3) если Л~2 и Л~-6, то,; при Л=2 и 12Лгх — 24Л* — Л + 42Л „ б(Л + б)(2 — Л) Л = -6 уравнение не имеет решений.
5.15. 1) Если Л ~ — и Л ф —, то х + х~; если Л = —, то Сх + — х + х, где С вЂ” произвольная постоянная; при Л =— 25 г 4 5 7 2 уравнение не имеет решений; 2), ~5сс+м)+1 — 6*, 1с~~/ —; р 1=~/— уравнение не имеет решений; 3) х +х,селил~ — илф-; Сх +х — -х при 5(2Л вЂ” 3) 4 г 5 з г 5 4 2 2' б 1 5 Л = —, С вЂ” произвольная постоянная; при Л = — уравнение не имеет 2' ! решений; 4) хг + 7ха+ 3, если Л ф — и Л 14 —; 7х4+ 3 — — ха + Сх, 5 1 где С вЂ” произвольная постоянная, если Л = —; при Л = — урав- 4' 2 пение не имеет решений; 4 8.
Кнлгеграавнме уравнение 81 5) „+х, если Лф~у -х+х +Сх, где С вЂ” произ- 3(5 — 2Л) х з 3 1 3 з 8(З + 2Л) 3 3 вольная постоянная, если Л = —; при Л = — — решений нет; 2' 2 6) если Л = Лг — — —, то Сг+ — х; если Л = Лз — — —, то Сз(Зх — 1)- 1 3 5 3 3 --х (Сг и Сз — произвольные постоянные) при Л = Лз = — урав- 2 8 Зх пение не имеет решений; если Л -,Е Л; (г = 1,2,3), то гр(х) = 3 — 8Л 5.16. 1) — зш2х+л — 2х, если Л ф — и Л ф — —; л — 2х— 12Л 3 3 3 — 4Л 4 2' 3. -2з!п2х+ Ссоз2х, где С вЂ” произвольная постоянны, если Л = — у 3 при Л = — уравнение не имеет решений. 4 3 ЗггЛ 3 3 3гг 2) 2(2Л+ 3) зшх+соз2х, если Л ф -- и Л ф — —; соз2х- — зшх+ 2 4' 4 3 +Ссозх, где С вЂ” произвольны постоянная, если Л = --; при 3 4' Л = — — уравнение не имеет решений; 2 3) згпх+, ~2Лсоз2х+ — зш2х), если Л ф х —; при Л = ЗггЛ / 3 3 2 ' 2~/2' 3 = х — уравнение не имеет решений; 2гГ2 Лл 4) — зшЗх+ соя х при всех значениях Л; 2х Лл~ 1 4 2х 2 5) 1 — — — созх, если Л ~ х —; — — — +(8+я созх) С, гг б(1 + 2Л) 2'3 гг 1 1 где С вЂ” произвольная постояннэл если Л = — при Л = -- урав2' 2 пение не имеет решений; Лл 2 4 6) — + 1+ соя 4х, если Л ф — и Л ф —; соя 4х — 1+ Сг соз 2х+ 2 — Лгг гг л 4 + Сзз1п2х, где Сг и Сз — произвольные постоянные, если Л = —; 2 л' при Л = — уравнение не имеет решений.
1 51г. 1) соя Зх, если Л з4 —; соя Зх+ Сг соя х + Сз соз 2х, где Сг и 1 Сз — произвольные постоянные, если Л = —; л' 2) соз х если Л ф — и Л ~ —; 2 соя х + Сзш2х, где С вЂ” про- 1 1 1 — Лгг гг 2гг ' 1 1 извольная постоянная, если Л = †; при Л = — уравнение не имеет 2л' гг решений; 82 Го. П. ьруннцианаоенме прсстранспьеа и интеграаьние уравнение 3) если Л 16 — и Л ф —; — впх+ Ссоз2х, где С вЂ” проз1п х 1 1 3 1 — лЛ л Зл' 2 1 1 извольнал постоянная, если Л = —; при Л = — уравнение не имеет Зл' л решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
