В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ясно, что 1,(х) Е У. Палее, так как 1(х) непрерывна и финитна, то для любого и > 0 и при всех достаточно малых е > 0 имеем )Дх) — 1(у)) < о при ~х — у~ < е, х, у 6 В', так что ~~(х) 1о(х)! < / Щх) — Ду)!ые(х — у)Ну < и ( ы (х у) Йу = о ~о з!<е хбВ. 6.7. 1) Р е ш е н и е. Очевидно, функция ф(х) финитна и бесконечно дифференцируема при х ф О. Осталось доказать, что ф(х) бесконечно дифференцируема в точке х = О.
Пусть л(х) ив и 1 при ~х~ < е. Обозначив ы-1 00(0) 1(х) = у(х) — ~ —,х, получим б 7. Лифйеренннроввнне обобнюнннх Фвнннне 95 ИО)=П Д*)=11 н-го *-ю х"' гн1 в г1>о гр'(0) = 1пп = 1цп гр(*) — Ф(О) . 1(*) — ~!(~ )У' +О(О) -+о х -+е х +' (гн+ 1)! и т.д.
Таким образом, гр(х) 6 С~, и, значит, гр Е У. 6.8. 1) У к а з а н и е. Лля доказательства достаточности проверить,что 1оз(х) = / ~Рг(х) Их 6 У. 6.10. 1) и 3) сходятся к нулю в Я; 2) не сходится в .Ул если ~р(х) ~ О. 6.19. 1) б(х); 2) б(х); 3) б(х); 4) кб(х); 5) б(х). 6.21. 1) 2кгб(х)„ 2) 0; 3) О; 4) — 2кбб(х); 5) О. 6.22. О.
$ 7. Дифференцирование обобгценных функций Производной обобщенной функции 7" из У'(В~) называется функционалу1', определяемый формулой (у',1о) = — (/,вг), вг 6 У(В'). Каждая обобщенная функция имеет производные любою порядка и ~< 1, пг > 1, есть функционал, действующий по формуле (У'"', р) = (-1)™(7', р' ') (*) В случае н > 1 формула (*), определяющая производную Р 7', принимает вид (Р ~, <р) = (-1)1 ~ (/, Р 7г), 7г 6 У(11"). Пусть Я вЂ” кусочно гладкая двусторонняя поверхность, гз — нормаль к Я и «(х) — непрерывная функция на Я. Обобщенную функцию д — — («бз), действующую по формуле ( д («бя) р) = / «(х) д ИЯ, р 6 У()1") 3 назовем двойным слоем на поверхности Я. В частности, если 8 есть плоскость 1 = 0 в пРостРанстве В"+г пеРеменных (х,г) = (хг,хз,... д ...,х„,1), то — — («бр-о1(х, $)) обозначим через — «(х) б (1), так что ( — «(х) б'(г), ~р) = ~ «(х) ' Их.
к Пусть локально интегрируемая в Я" функция 7(х) такова, что ее классическая производная порядка а = (аы ..., а„) — кусочно непре- Гл. 111. Обобщенные фуннчнн рывная функция в В". Регулярную обобщенную функцию, определяемую этой производной, обозначим через (Р 1(х)) (в отличие от обобщенной производной Р 1(х)). 7.1. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: в Ят -б'(х), -бт(х — хо); в Я вЂ” — (ттбв), -2 — бв„(х — х ). з д д о дп ' дн 7.2.
Показать, что (бахыт(х — хо,тр(х)) = ( — 1)™тр~ т(хо), тп > 1. 7.3. Показать, что в Р'(Ят): 1) р(х) б'(х) = — р'(0) б(х) + р(0) б'(х), где р(х) Е С (В~); 2) хбтотт(х) = — тпб("' тт(х), тп = 1,2,...; 3) х"'бон1 (х) = ( — 1) "'тот б(х), пт = О, 1, 2,...; 4) х"б( т(х) =О, та = 0,1,...,й — 1; 5) а(х)бо"т(х) = 2 ( — 1)т+'"Ст а(тн т1(0)б'тт(х), где а(х) 6С"(11"); т=о 6) х"б1 т(х) =(-1)"й!Сьб< "т(х), от= й,й+1,... 7.4, Показать, что д' = б, где д — функция Хевисайна. Т.5.
1) Показать, что в У'(Ит) (д(х) р(х))' = б(х) р(0) + д(х) р'(х), где р(х) е С~(11 ); 2) показать, что в У'(Яз) — (д(1) р(х,в)) = б(т) р(х, О) + д(1) где р 6 Ст (1> 0). У к а з а н и е. Воспопьзоваться определением просптого слоя (В 6). Т.б. Вычислить: 1) д'(-х); 2) дт )(х — хо), тп > 1 целое; 3) д1~)(хо — х), пт > 1; 4) (в18пх)<~т, пт > 1; 5) (хв18пх)'; 6) (~х~)~™), то > 2; 7) (д(х) в1пх)'; 8) (д(х) совх)'; 9) (д(х) х'"+ь)(™т, пт > 1, й = О, 1, 2,...; 10) (д(х)х" ')<"), > 1, й = 1,..., 11) (д(х) в'*) , тп > 1.
7.7. Вычислить производные порядка 1, 2, 3 функций: 1) у = ~х( втпх; 2) у = ~х~ совх. 7.8. Показать, что (Р /)(х+Ь) =Р~Дх+Ь), ~ е У', Ь6 Я", 7.9. Доказать, что обобщенные функции б,б',бт',...,Ю т линейно независимы. 97 .у 7. Лифференцироооние обобщенных функций 7.10. До б 1 1 1) — 1п [х[ =,У вЂ”, где,У вЂ” определена в задаче 6.18; бх х х И 1 1 1 2) — У вЂ” = —,У вЂ”, где Я вЂ” определена в задаче 6.25; бх х ха ха И 1, 1 3) — —. = ~хУ(х) — У вЂ”; Их хнаО ха И 1 1 4) —,У вЂ” = -2,У вЂ”, где а аг (Я вЂ”,уг) = Чр [' Ых, гр Е У(В'). — ао 7.11.
Показать, что ряд 2,' аьогь1(х — й) сходится в У'(Вг) при любых аы — ао Т.12, Показать, что если [ах[< А[й[""+В, то ряд ~', аьееьа сходится в,х"'(Вг). Е=-оа Т.13. Пусть у(х) — такая кусочно непрерывная функция, что 1 Е С (х < хо) П С'(х > хе). Показать, что /' = Ц'(х)) + [Д„б(х — хе) в У'(В'), (хх) где У]*~ = 1(хо + 0) У(хо — О) — скачок функции 1 в точке хе. Показать что если классическая производная функции 1(х) имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках [хе), то формула (аа) принимает вид 1' = Ц'(х)) + ~[1]„б(х — хе), 7.14. Вычислить уг"'1 для функций: 1) И(а — [х[), а > 0; 2) [х]; 3) з18пзшх; 4) е18п соях; Здесь [х] означает целую часть х, т. е.
наибольшее целое число, не превосходящее х. Т.16. Пусть 1(х) — 2х-периодическая функция, причем 1(х) = = — — —, 0 < х < 2х. Найти 1'. 2 2гг' 7.16. Пусть Дх) = х, -1 < х < 1, — периодическая с периодом 2 функция. Найти 11 1, па > 1. Т.1Т. Показать, что — е'е* = ~ б(х — 2йгг). Т.18. Показать, что сгм(2й+ 1) х = ~~г ( — 1)еб(х — йх). я=о е=-со 4. Поа реа. Вкт Елааинироаа 98 Гя. Ш.
Обобщенные функции 7.19. Пусть 1(х) 6 С~(х < хе) й С"(х > хе). Доказать, что в У'(Лг) У1~1(х) = (1( )(х)) + [Д„б( Ц(х — хе)+ + ~~'~„б( )(х — хе) + ... + [~(~ г11, Б(х — х ), где к=0,1,...,ш — 1, хе, -1<х<1, О, ~х~ > 1; 4) у= О, х < -1, 5) у = (х + 1)з, -1 < х < О, хе+1, х>0; 6) уее зшх, — л<х<л, (~зшх), 7) у= 8) у=~ О, (х( > л; (о, 7.21. Доказатзл 1) ~е1пх~н+)апх) = 2 2, 'Б(х — йл); 2) ~соех~н+~совх( = 2 ~, 'б(х — — л). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 7.14, 3) и 4).
Пусть оь(х)у~ ~ =1 (*) ь=е — линейное дифференциальное уравнение порядка щ с коэффициентами аь(х) 6 Сее(Я") и 1 6 У'(Нг). Его обобгяеннььи реигением называется всякая обобщенная функция у 6 У'(Н~), удовлетворяющая уравнению (е) в обобшенном смысле, т. е. < ю / ег азу( ), р) = Я( — 1) (еьгр)~ ~ = Ц,уг) ь=е я=о (,г"'"1 =.(90(*~+ 0) — у90(хе — 0), скачок й-й производной в точке хе. 7.20. Найти все производные функций: г'з1пх, х > О, 1) у=~ -~0, х<0; 2) у= < созх, х >О, О, х< 0; < 1, х<0, х+1, О<х<1, хе+1, х>1; О, я<0, хз, 0<х<1, (х — 2)з, 1 < х < 2, О, х>2; — л<х<л, (х~ > я. 5 7. ЛиейЯерениироооние обобщенных 4брнниия 99 для любой ~р Е У(В') *1.
Всякое решение уравнения (е) можно представить в взше суммы его частного решения и общего решения оютветствующего однородного уравнения. 7.22. Найти общие решения в У'(В') следующих уравнений: 1) ху=О; 2) а(х)р = О, где а е С (В') и имеет единственный нуль в точке х = 0 порядка 1; 3) а(х)9=0,гдеаеСиа>0; 4) (х — 1) у = 0; 5) х(х — 1) у = 0; 6) (хз — 1) р = 0; 7) хр=1; 8) ху=Я-; 9) х"9=0, 11=2,3,...; 1 10) хзр = 2; 11) (х+1)зр = 0; 12) (соя х) у = О, 7,23. Найти общие решения в У'(В1) уравнений: 1) р' = О; 2) д(е'1 = О, гл = 2,3, ... 7.24. Доказать, что общим решением в У (В1) уравнения х"у('") = О, и > ел, является обобщеннал функция п~-1 и-1 ю-1 у= ~ азр(х)х " 1+ ~ ~5зФ' 1(х)+ ~~~ сех", ь=е ь=ы о=о где ою 5ю се — произвольные постоянные.
7.25. Найти общие решения в У'(В1) уравнений1 1) хр'=1; 2) ху' = еР—; 3) хзу' = 0; 4) хзу' = 1; 5) ро = 5(х); 6) (х + 1) уо = 0; 7) (х + 1)зуо = 0; 8) (х + 1) уо' = О. Т.26. Доказать, что общим решением в У'(В1) уравнения ху = 1 = з18п х является обобщеннзл функция СЮ(х) +,У вЂ”, где И' < у 1 1 Г Р(*) — Р(О) ь1х ~ Ф*),~ ф' / / ~х! / ~х~ ~е'<1 ~е(>1 Т.2Т. Доказать, что если ~ Е У'(В1) инвариантна относительно сдвига, т.е.
(У,ю) = (у(х),з1(х + л)), где ь — любое вещественнее число~ то 1 — сопзе" У к а з а н и е. Доказать, что у' = О, и воспользоваться задачей 7.23, 1). "1Иногла для краткости выражение «удовлетворяет уравнению и обобщенном смысле» заменяется выражением «удовлетворяет уравнению в У'». ее 100 Г,т. 111. Обобщенные функции 7.28.
Найти решение в У'(Вт) уравнения: а1о+ Ь1'+ с1 = таб+ пЮ', где а, Ь, с, та, и — заданные числа. Рассмотреть случаи: 1) а=с=а=1, Ь=тп=2; 2) Ь=п=О, а=та=1, с=4; 3) Ь=О, а= а=1, та = 2, с= — 4. 7.29. Показать, что система — = А(х) у, где матрица А(х) Е бу Е С (В ) имеет в У только классическое решение. Т.ЗО. Показать, что уравнение и' = 1 разрешимо в У (В') при любой ~ Е У (В~).
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.8, 2). 7.31. Показать, что уравнение хи = 1 разрешимо в У (В~) при любой ~ 6 У (В~). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.7, 1). 7.32. Показать, что уравнение хзи'+ 2и = 0 не имеет решений в У~(Вт) (кроме 0). Т.ЗЗ. Пусть д(хм хе, ...,х„) = д(хт)...д(хн). Показать, что д"В = 4(х) = Б(хд,...,х„) дтдт дх в У'(В").
7.34. На плоскости (х, у) рассмотрим квадрат с вершинами А(1, 1), В(2, 0), С(3, 1), Р(2, 2). Пусть функция 1 равна 1 в АВСР и 0 вне его. Вычислить узн у Т.35. Пусть область С С Вз ограничена кусочно гладкой поверхностью 8 и дана функция 1 Е С'(С) йС~(от), где Ст = Вн~б. Показать формулу — ж ~ — ~+[Даете(тз,хт)бз, т=1,2,3, в У (Вз), где тз = тз, — внешнЯЯ ноРмаль к Я в точке х 6 Я, а [1 [з— скачок функции 1(х) при переходе извне через поверхность Я: 1пп 1(х') — 1пп 1(х') = [Дз(х), х Е Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
