В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 21
Текст из файла (страница 21)
9.26. Доказать, что в Я'(Де) г- !гго оагь! ~а!:Ж а6 ) 2.. „ое= ьг У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9. 16. 9.27. Доказать, что в .аг'(Де) ) е(в аЯ~ б(Ф) 4 [ а[б[ ~ 4ааег (здесь Яаг — — (х: ]х] = а1)). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.19. 9.28. Пусть / — фивитнея обобщенная функция и г) — любая функция из У, равная 1 в окрестности носителя /.
Доказать, что функпия /(з) = (/(с),г)(с) е'("~)), я = х+ еу: а) не зависит от г); б) целая; в) ф(х) = Р[/]. 9.29. Доказать, что если / и д финитны и / *у = О, то либо / = О, либо у = О. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.28. 9.30. 1) Доказать, что Р[б(х) Цу)] = (2я) 1(С)б(г)); 2) обозначим б-функцию на типерплоскости (а,х) = О пространства Дн через б((а> х)), так что (б((а,х)),(о) = / (оеЬ, (о Е У(Д"). (а,а) о Доказать, что Р[б(агхг + азха)] = 2яб(азьег агьез). 120 Ге. 111.
Обобщенные ф(гннцнн 5) Р еш ение. оо я+1 оо У[У) = ~ й / е"бг(х = ~ ~— еее( (ег( — 1) = еде «=1 еещ — ряд сходится в У', так как 2, — сходится равномерно в В'. я=1 " 9.11. 1) (-1С)"; 2) хб(()+гене Я-; 3) 21,У-; 11' 1 4) ехз16п~; 5) тея+гяз16п(; 6) 2(дз-) =-2дв —; 1 (Гг) 7) ( — 1)" [яб(с) +(де-~ 6 , 1 (з) 8) (-1)гг2хб(е)((), й четное, (-1)" 12~Я-), й нечетное; 9) 2(-е)» 1яб(~ 1)(С); 10) 0; 11) ( — 1)"+ нг' е~ е.
12) — Ц; (гн — й)! 13) Решение. В силу задачи 7.10, 4), второй из формул (4) и задачи 9.11, 12) 14) Р е ш е н и е. В силу результатов задач 6.25, 2), 7.12 и 9.6, 1) с Р ~ аеб(х — й),(о(б) = ~ аьб(х — й), Е(ег(б)] ~ (аяег~, гдЯ) = ~ азе™, р(е), гр Е,Р(В~); Е=-оо 1. «=-оо 15) Решение. Р(д~'~')~) = Р(7 17з е д) = (Л„е д) = Р[(Д„з е д)'] = г[(~— *, .в)] = — 'г((в „е)'~ = ,, =МУ= '.( — ')~ .',."" н 9.15. — лпп(а, Ь). 9.19. —. егв В)6 !6 З У. Преобразование ФСГрве обобщенных фзинииб 121 9.20. Р е ш е н и е. Из г 1х" уг'"11 = О, в силу первой из формул (4), Ф"1 [91 1) = О. Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2), 9.7, 2) и ф рмулы (3) г"(91 1(х)] = ао+агс+ ...
+а„гс" ~, у( 1 = Сдеб(х) + Сддд'(х) + ... + Сд„ гд<" '1(х). Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2) и 7.6, 10) ог-1 ог-1 и-1 р= ~~г озх" + ~ 6вд(х)х'" '" с+ ~ сво(» 1(х). в=в в=в В=го 9.21. 1) Решение. В силу формулы(5) иопределенияпрямого произведения (см. 3 8) (Сз(б(х~ С)И6 С)з гр(6г С)) = (б(хэ С)г РС(гр(~э С)Их! С)) = (г(*,е, ( и"~г~гои) =С фгон= ~щ бе~гяйд; 2) Р е ш е н и е. В силу формулы (5) и определения производной обобщенной функции (см. 3 7): (е1' ":"]а), )=~- ~ (л*, ),— '.тенги) = = ~-и-(гиен ~гонг")) =(,— ',.г~гие,.). 9.27.
Р ~ — при С > 0 и п = 3 вычисляется так: (в1вСК!1 *' ~К11 г('="'г1= ы г Гр.иоГт'-"';„ион= К1 1 л у в о и г = — — 1пп — у соз Ср ~ е г(и г(р = Сои дС/ о т и = — — 11ш — ц совСре г(рг!и = 2в' . д ГГ Сои дСЛ -т В гл х.дгг = -- 1пп — С 1 '(совр(и — С) + совр(и+ С)~ г(рг(и = г л-гоо дС вЂ” в в., д Г ГвшСС(и — С) в1ий(и+С)(, =-- 1пп — ~ ~ + г(и = дСЗ ~ -С и+С -г = — — — д(г — С) = — б(г — С) = — дс(х), т = ф. 2хз д 2хз 2 г дС г С Указание.
При переходе к прицелу воспользоваться зада- чей 6,19, 4). 122 Гм 1П. ОбобеГвннме фэнннни З 10. Преобразование Лапласа обобгцеииых функций Обозначим через У+(а) совокупность обобщенных функпнй 1(8) вз У'(В'), обращающихся в нуль прн 1 < 0 н таких, что Д1) е "' е 5~ прн всех о > а.
Преобразованне Лапласа Я(р) обобщенной функции 1 нз У+(а) определяется равенством Х(р) = Р(дг)е г)( — ьг), о >а. Прк этом у называют орненнаяом, Я вЂ” изображеннем н этот факт У(8) +-+ Я(р), здесь р = а + Ы. Функция Я(р) аналитична в полуплоскостн а > а н удовлетворяет следующему условию роста: для любых е > 0 н ов > а существуют такие числа с,(ов) > 0 н гл = оз(ов) > О, что )Я(р)~ < сг(ав) е' (1+ ~р!), о > оо. Справедливы следующие формулы: (-г) Дг)+-+У( ~(р), о>а, гл=0,1,.,.; ~( ~(1) + — г р Я(р), сг > а, пг = О, 1, ...; У(1) е"' +-+ Я'(р — А), о > а+ Ве (1); ДИ) +-+ — Х(Е), сг > йа, й > 0; 1($ — г)+ — Фе 'гЯ(р), сг > а; У(г»)(Р) +г —, а > а, гл = 0,1,..., У(р) где У( ~ — гл-я первообразнзя у нз У+'(а); (1 *9)И) +-+ Х(р)У(р),о > а, 9(г) + г У(р), о > а; а-гОо — форму га обрагаения для преобразования Лапласе„ннтеграл не за- висит от о > ов > а, го = го(сгв).
В задачах 10.1-10.9 н 10.11-10.14 доказать утверждения. 10.1. Если Дв) — локально ннтегрнруема в Вг, 1 (г) = О, 1 < 0 н 1(г) ж О(еаг) 1 г, оо то 1 Я У+(а) н я(р) = / дг)е ггй, а>а. о 10. Преоброзоеевие Лааеоеа обобщеянме фоющий 123 10.2. Если у Е У' (а), у($) е — + Я(р), а > а и функция дг(а + Ы) абсолютно интегрируема по ю на В~ при некотором а > а, то в этом случае формула обращения принимает вид е+йв уй) = —,. ~ дг(р) е"Ф. е-Еее 10.3. 1) У+(аг) С У+(аг), если аз < аг, 2) если у Е т"' П У), то у Е Уч (0). 10.4. Если У Е У+(а), то: 1) ру Е У+(а), где р — полинам; 2) ДН) Е У+(йа), Й > 0; 3) У(Ф)е"' Е У+(а+ КеЛ). 10.5. Если у, д Е У+(а), то ) * д Е У+(а) и справедливо равенство У * д) е-" = Уе-") * (де-"), У к а з а н и е. Воспольнюаться 8.20.
10.6. Если у Е У+(а), то: 1) Д1 — т) Е У+(а), т > 0; 2) ~~ ) Е У+(а), пг = 1,2,...; 3) У<„,) Е У+(а), гл = 1,2,... 10.7. 1) д(1) е — + 1; 2) Ю("')(й — т) +-+ р е тг, т > О, р любое, пз = О, 1,...; 3) д(с) <-+ -1, . > о; 4) д(й)е' '+ — + —, а > 0; р о — эй3 5) д(й)е ' '+ — + —., а>0; 6) д(г)созй+-+, а>0; р+ $йР' р~+и 7) д($) зш М +-+,, а > 0; рг+мг' д(г) ~~" 1 8) — '-~ — е"' е — > , а>КеА, ш=0,1,...; Г(ш) (р з)п 9) дИ) .7о(й) + — +, а > О. 10.8.
Если у — функция из У+(а), 1 Е С" (1 > 0) и )е +-+ Я, то е-1 ( ~ ( е ) ( 1 ) ) ~ ~ Р е т ( ) е ) ~ ~ г ( ) ( т О ) Р ~ ь г а > я=о 10.9. Если у и д — функции из У+(а), д Е Сг(й > 0) и у + — + Я, д е — + У, то с ~ Ят)(д'(й — т)) йт+ — ) рУ(р) У(р) — д(+0) дг(р), а > а. о 10.10. Решить уравнение Ь вЂ” + Аз+ — г) 1(т) йт = е(1), где е(1)— 41 .
1 бг Сl о локально интегрируемая функция, е(е) = О, Ф < О. 124 Гж Ш. Обобщенные йуннонн 10.11. Фундаментальное решение 4'(С) уравнения 4'( ) + а~4'( ') + ... + а 4'= 6 'существует и единственно в классе Ус(а) и удовлетворяет соотношению 1 4(С)с — с —, а>а, где д(р) =р'"+аср'" с+... +а, а = шахйеАС, Ау — корниполинома (',). 10.12.
Если Д„(С), -оо < а < оо, — обобщенная функция, введенная в з 8 (с. 110), то: 1) у„(С) с — с —, а >О, где р — тасе ветвь, для которой р > О при р > 0; 2) Д„(С) е "с + — с; о > Ве А. 10.13. Если ~аь! < с(1+ й)~, Сс = О, 1, ..., то аь6(С вЂ” й) + — + ~~с аье "", ст > О. о=о о=о 10.14. Если 1(С) — Т-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде, то т д(С)У(С) 1 „„11(С)е ос4С, а>О. о 10.15. Найти решения уравнений в классе У+ (а) (при надлежащем а): 1) (д сов С) е 4'= 6(С); 2) (дбсозС) *4'= 6(С); Г д * ас + 6' * иг = 6(С), 3) 4'+2(дсозС)е4'=6(С); 4) ~ 6 * иг + 6' е иг = О.
10.16. Пусть ~~ — решение уравнения дебс = д в У+(а), причем ~~ — локально интегрируемая функция, 4с б С' (С > О)- Показать, что Решение в У+(а) уРавнения д«и = 1, где у — локально интегрируемая функпия из У+(а), выражается формулой с и(С) = йд(+0) у(С) + / Ят)(В'(С вЂ” т)) сйт. о 10.1Т. Вычислить преобразование Лапласа функции О, С < О, а(С) = 2", я<С</с+1, А=0,1,...
10.18. Решить уравнение )(*а = ~ 2ьб(С вЂ” Й) в У+(!п2); функ- ция а(С) определена в задаче 10.17. б 10. с7реобраеоеание ссеееаеа обобесениме <дгикциб 125 с 10.19. Доказать формулу: з<п Ф = ( .<о(Ф вЂ” т),со(т) с<т. о 10.20. Решить следующие задачи Коши: Ц и~+ 3и е-гс и(0) = 0; 2) и«+ 5и'+ би = 12, и(0) = 2, и'(О) = 0; Ги'+5и+ 2е = е с, 3) ~, и(0) =1, и(0) =О. < е' + 2е+ 2и = О, Ответы к $10 10.3.
2) Р е ш е н и е. Пусть и — любая функция класса С" (ссс) такая, что с<(<) = О, Ф ( -5, т<(с) = 1, < > --, Ю > 0 любое. Тогб да при всех сс > О, с<(с)е ~~ Е,т', у = ц~, и поэтому 1(с)е ~~ = = у(с) с<(с) е ~' Е .Р". 10.6. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 10.5 и формулами, соответственно: 1) ~(< — т) =~еб(Ф вЂ” т); 2) У<~~ =~«5<~); 3) У<,„,=0*...*0«У.
«з рас 10.Т. 9) У к а з а н и е. Воспользоваться уравнением Бесселя. с 10.10. — ~ '<р+е"+< "с -р е"-< 'с) е(т)с<т, ре. = — — ш с-т с-т Д,/ ' 25 2Ь' о с<= Я вЂ” —. г 45 е 10.15. 1) 5'(<)+0(<), а=О; 2) 0«(<) + 35(<) + 40(С) з<с Ф, а = 1; 3) Ю(с) — 20(Ф) е'(1 — С), а = 1; 4) ис(Ф) = -Ю(<) — 0(1) е', иг(Ф) = 0(с) е', а = 1. 10.16. У к аз а н и е.
Воспользоваться формулой задачи 10.8. 10,17. ~, о > <п2. р(1 — 2е-«) ' 10.18. ~ 5'(Ф вЂ” Й). 10.19. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 10.7, 9). 10 20 1) е-гс е-зс. 2) 2. 3) — е +-<е + — е, — — е — -се + — е -с 1 -с 18 -ес 8 -с 2 с 8 ес 25 5 25 ' 25 5 25 126 Гм 111. Обобиыннмо фоиииии $ 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Обобщеииььм решением в области С С В" линейного дифференциального уравнения Цх,Р)игв ~~~ а,„(х)Р и=1'(х), (*) ~а~=о где а (х) Е С (Я"), 1 й У', называется всякая обобщенная функция и, удселетворяющая отому уравнению в С в обобщенном смысле, т.е. для любой у Е У, носитель которой содержится в С, имеет место равенство (и, Ь'(х, Р) х) = (1, у), лв где Ь*(х, Р) у = ~', (-1)< >Р (аах).
/а$=0 Обобщенная функция и принадлежит классу Сл(С), если в области С она овладеет с функцией ио(х) класса С"(С), т.е. для любой ~р е У, вирр ~р е С, имеет место равенство (и ю) = / о(х)Фх)бх. Пусть 1 й С(С) П У'. Для того чтобы обобщенная функция и удовлетворяла уравнению (о) в области С в классическом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу С™(С) и удовлетворяла отому уравнению в обобщенном смысле в области С.
Фридамеишальиым решеиием (функцией влияния) линейного дифференциалыюго оператора вз ЦР)= ~а Р ~а~=о с постоянными козффициентами а (х) = а называется обобщенная функция е; удовлетворяющая в В" уравнени1о ЦР) б'= б(х). У всякою линейного дифференциальною оператора Р(Р) существует фундаментальное решение медленного роста и зто решение удовлетворяет алгебраическому уравнению Б( — 1б) Рф) = 1. Пусть 1 Е У' такова, что свертка б'* 1 существует в У'. Тогда и = бо1 есть решение уравнения Ь(Р) и = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
