В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это решение единственно в классе тех обобщенных функций и, для которых существует свертка с 4. 15 Фуидоззеиизоеьиме реизеиия диузвзереиииееьимх оиероизорое 127 11.1. Доказать, что единственное в У+ фундаментальное решазие оп ато а ер Р 4 4 +аз + ° ° +от Ы. 4х -з выражается формулой задачи 8.2б (определение У+ см. 3 8). 11.2. Доказать, что функпия 5'(х) является фундаментальным решением оператора: 1) 4'(х) =д(х)е~'*, — ха; й аз Ы 3) — + 3 — + 2; ,~з,р б) — — 3 — +2 —; 4хз дхз 4 дх 2) 4'(х) = д(х) —, — + аз; 3) 4'(х) = д(х) —, — — а; вй ах аз е,~ з т-1 з д пВ 4) о'(х) = д(х) е~~*,, ~ — ~ а), пз = 2, 3, ...
11.3. Найти единственные в У+ фундаментальные решения следующих операторов: аз И И 4 1) — + 4— Ихз 4х' 2) — — 4 — + 1 ,у з,у > аз И 4з 4) — — 4 — +5; 5) — — аз; Ихз Их Ихз а' 7) — — ае; е ! 8) — — 2 — + 1. 4хе Ихз 11.4. Доказать, что: 1 1 1) з'(х, у) = — =, — фундаментальное решение оператоив х(х + зу) д 17д .дз ра Коши-Римана — = — ~ — + з — ); дй 2 ~дх ду)' -ь-1 Аз 2) 4'(х,у) =, Й = 1,2,..., — фундаментальное решение оператора ~ — — Л); 2уь-з -з 3) 4'(х,у) = 1п)х), й,пз = 1,2,..., — фундаментальное де+ эь решение оператора дуьдх"" 1 в!яп 1ш Л 4) 4'(х, у) = —, е "'* — фундаментальное решение обоб2ез' у — Лх д д щенного оператора Коши-Римана — + Л вЂ” + д, 1ш Л 76 О.
дх ду 11,5. Доказать, что 5'(х) = — 1п ~х) — фундаментальное решение 1 2х оператора Лапласа в 1е~. Выяснить физический смысл. 128 Г в. Н1. Обобщенные фзмкиии 11.6. Доказатзе 1 1) 4'(х) = — — — фундаментальное решение оператора Лапла4я~х~ са в Лз; выяснить физический смысл; 2) е'(х) = —, и = 3,4,..., — фундаментальное ре- 1 (и — 2)е„~х~" з' и/3 шение оператора Лапласа в Л", где и„= /Ю = — — площадь и- .I' Г(и/2) поверхности единичной сферы в Л"; 3) е'„,ь(х) =,„„~з ф " — фундаментальное решение (-1) Г(и/2 — й) зз итерированного оператора Лапласа /зь при 2Й с и, й = 1,2, ..., Я,ь(х) =, ~4ы ~)пф и=2.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.17, 2). м(4 -1цм 11.7. Доказать, что е'(х) = — — и ел(х) = — — — фунла4я)х~ 4я~х) ментальные решения оператора Гельмгольца Ь + Йз в Л~. 11.8. Доказать, что если функция и(х) удовлетворяет в Лз уравнению Ьи + Йзи = 0 и условиям излучения и(х) = 0()х~ ~), — — 1йи(х) = о(~х~ ~) д~х~ при )х~ — + оо, то и ив ч О. 11.9. Доказать, что фундаментальными решениями сшератора Гельмгольца Ь + йз являются функции: 1) Ф(х) = — -'НОР)(чх1) и йз(х,у) = -'НОР)(Щ) в Лз, где Н© ), 4 0 — о й = 1, 2, — функции Ханкеля; 2) 4'(х) = —,е'"~*~ и ел(х) = — —,е "'~*~ в Я1. ай г'2Й 11.10. Доказать, что фундаментальными решениями оператора Ь вЂ” Йз являются функции: -мм 1) е'(х) = — — в Я~; 4я)х~ 2) е'(х) = — — Ке(йф) в Л~, где Ке(с) = 1 — НеДЦ(зС) — функция 2я — о Ханкеля мнимого аргумента; -мм 3) 4'(х) = „в Я~; 4) е(х) = — ( — ) ( — ) К„/з з(й~х~) в Я".
В 11. Фрндаиентооьнме решения дифференциааьнма операторов 129 11.11. Доказать, что если Ж~(х, $) — фундаментальное решение оператора — + Ь(Р,), то — 4 (х, $) — фундаментальное решение дз * ' Г(ц оператора ( — + ЦР )) . 11.12. Доказать, что: 1) о(х,8) = е ~в~ /(4' е~ — фундаментальное решение В(Ф) (2"~~)" д оператора теплопроводности — — азЬ в ян; выяснить физический смысл; В(З) зь-' 2) ' е ~*~ /(4' й — фундаментальное решение операто(2а /Д)" Г0') д ь ра ( — — а~Ь) в В", й = 1,2,... У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 11.11. 11 12 Д а ° Вь( 4) сев-(о+68) /(вв Ф) ф В(1) Ьв~/Б д од' д ментальное решение оператора — — а — — 6 — — с. дхь 11.14. Доказать, что: 1) В;(х,е) = — ' ( ) е'(* Д40 "/4> — фундаментальное решение оператора Шредингера 1 — + — (У к а з а н и е. Воспользоваться а дх2 ф и / ьиьо 1Л ы/4). о 'В(4) Г то ~н/З (. (Ц' . П 2) еп(х,г) = — — ~ — ') ехр 1 — (гп+ 40) — — — фун- Ь (2яВЗ/ )( '(2аз 4)) .д Во даментальное решение оператора И вЂ” + — Ь; и любое; дз 2то 3) В(4)гь-' ( / ~х~' Л ехр ~~ ~ — + — ь), я = 1, 2,..., — фундамен(2а~/Я)" ГЯ;( ~4ьаьг 4 ) тальков решение оператора ~ — х(а Ь) в В (У к а з а н и е. Вос- 2 1 и ~дФ пользоваться задачей 11.11.). 11.15.
Доказать, что: 1 1) 4~(х, $) = — В(ае — ~х~) — фундаментальное решение одномер2а ного волнового оператора П,; выяснить физический смысл; О аи,в = — Фу ег те ~ — ьО 2 М р р р~.,еии,*); * Ь р смысл. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.26.
Ь Пов рвв. В.С. Ввввиинровь Гл. П1. Обабщеннме Функции 11.16. Доказать, что: 1) А(х,1) = — бя (х) = — В (а»12 — ~х~»), где Яое . .ф = а1, В(Ф) В«) является фундаментальным решением трехмерного волнового оператора П„х = (хыхз,хз); выяснить физичесхий смысл (У казан и е.
Воспольмюаться задачей 9.27.); 2) — В(аг — ~х~) — фундаментальное решение оператора П, в Яе; 1 2 тельное решение оператора П" в 1»"; 4) фундаментальное решение оператора П, в Ле можно представить в виде 1 4~(х, 1) = —, Под(а4 — )х!). 11.17. Доказать, что П( з)121В«)В(о»12 ф»)1 (2а)о-зя( — П/21 (н 2 ) 4' ( 1) = и > 3 нечетное, П(н-2)1» ~ В(аз — ф) („~ По, и четное, (нг-' ~ г ~-"~ ~г1 является фундаментальным решением волнового оператора Ц,. У х а з а н и е. При нечетных' п воспользоваться формулой В„(*, 1) = в«) В-' ~' ~~« и задачей 9.27; при четных п применить метод спуска по переменной х„ез.
11.18. Доказать, что 4'(х, 1) = — В(о1 — ~х~) е'~о' »~1~»о 1 — фун- 1 даментальное решение оператора д Ь д Ц, — Ь вЂ” — — —, где а,Ь > О. дх а де' У к а з а н и е. Воспользоваться формулой а+ко / — / — И»=В(т), а>0. 2зъ» а-аоо П.19. Д 1) В'(х,з) = — В«) В( — х) е"'+"* — фундаментаяьное решение оператора дя д д дхдЗ дх а — — о — — Ь вЂ” +аЬ, где Ь>0 (см. указание к задаче 11.18); 2) 4'(х, 1) = В«) В(х) 1а (2пз (ху у) — фундаментальное решение оператора — — ш в В .
дз дх д~ 4 11. Фрндаееентальнгле реимнив дифференциальных операгпоров 131 о'(х,8) —,, и = 2; в(. -)*)) (7 Е'зз -~) 2нае а гз — х д'(х, С) = — 6 (а~в~ — (х)~)— л (-,'Л*=Щ 4наз — — д(аС вЂ” (х() ( и — 3, оззз ) .(з где .Ео„Ег — функции Бесселя. 11.22. Доказать, что фундаментальными решениями телеграфно- д го оператора По + 2пь — являются функции дг 4'(х,1) = — е 'И(аС вЂ” /х)) Ео ги Р— — *,, и = 1; .- 'в( !-( ((л( Ф:1'Р7Р) 4'(х, 1)— 2 Р (*(7в и=2; е'(х,1) = — е ™6(а $ — )х( )— 'В( !-(*(( ь (,(! — ы '7Р) ° ' Л! — ! ° !'(' где Ео(С) =,Ео(е~), Е,(~) = — газ(г~) — функции Бесселя мнимого аргумента. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.21. 11,23.
1) Йоказать, что д'(х( 1) = ид(1) е ного(х — и1в) ! где (д(1) с егд(х — и1в),(р(х, 1)) = / е ег(р(и1в 1) еЦ о — фундаментальное решение оператора переноса — — +(в 3гЫ4')+ад'=Ю(х,1), (в) =1, и > О, а > 0; и= 3; 1 дд' 11.20. Доказать, что фундаментальным решением оператора τ— гиз является функция ,,(,! ((~-(,!(г ( „(ол — г) 11.21. Доказать, что фундаментальным решением оператора Клейна-Гордона-Фока П, + гиз являются функции г(*,(! = ((" "! 7ь ( — ~ю'-*').
= ь 2а (~а 132 Гм Ш. Обвбшенвме функнии 2) доказать, что к(е = (', б ( — — ),») = ( "»(р )ь в — фундаментальное решение стационарного оператора переноса (Я,йгаб4'о) + ав'в = б(х), н = 3. 11.24. Найти фундаментальное решение уравнения Я * в' = б, где Я из задачи 8.30. 11.25. Доказать, что если 4'(х,$) — фундаментальное решение оператора переноса Ь(11) =аг — +... +о„— +а, )а) ~ О, д д дх1 "' " дх» то 1 ь — 1 (а1хг + ... + а„х„) 4'(х, Ф) — фундаментальное решение оператора Ь~(й). У к а з а н и е. Воспользоваться индукцией по й.
Пусть у(х,1) б У~(Я»+') и у(х) Е У(Я»). Введем обобщенную функцию (у (х, $), ~р(х)) Е У (л'), действующую на основные функции ф Е У(Гс') по формуле (У(х г) 9'(х)) Ф(1)) = (1 ФФ). Из определения вытекает, что д', 9~(х) = — Щх, Ф), у(х)), Й = 1,2,... Говорят, что обобщенная функция у(х, 1) принадлежат классу СЯ лв переменной $ в интервале (а, *в), если для любой ~р Е У(11») обобщенная функция (1(х,1), х(х)) 6 С"(а, в). 11.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
