В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2 2 12 36 1) (х+ 21)г. 2) хг Ьх14 412 4 хзз. 1 3) вшх; 4) хг+ вш(х+ г) — (1 — сЬ2)е*; 5) 1+ г+ — (1 — сов3$) 21пх; 6) — (1 — соваа92) вш9ах; 1 1 9 аг9992 1 7) — — — с4п 292. 999 999 12. 37. 1) х + гу + $2; 2) хуЗ(1+12)+хг — уг; 3) — 22(хз — Зхуг)+е* с(иу+гез 21пх; 4) хг+ 2~ + 921пу; з 5) 2хг — уз+ (2хг+ уг) 1+ 222+ 222; 6) хг+Зуг+ 92(6+хз+уз) +92+ 94(х+у). 7) езг+42 99 — сЬ59 — — + -вЬ591; 125 25 5 8) сов(Ьх+су) сов(аг~ГЬ~+ сг )+ вт(Ьх+су) вт (аг /Ьг+Р) 9 ас/6'+ с' 9) ( 2 ~уг)2(1 4 2) 9. 8 292(хг 9 уг)(1 9 2) 4 а424 (1 4 2). 10) (хг + уз + 4аг)(ег — 1 — 1) — 2агзг (1+ — Ф).
3 12.38. 1) хг+ уг — 222+ 2+ ггхуг; 2) уг+2224 812 с 224 24224 24. 8 1 2 3 12 45 3) хгуггг+ Зху+ 322(хг + уг + гг+ хгуг + хггг + уггг) + 4.394 4. 2 ~. 2 Ь 2 4„24. 23 9 (,г 5 4) е*+" сов (2~~2) + гезг+49 вш 5х + гзе*992 вшу сов 2; 5) (1+з)(хг+Уг+22)г+10аг12 (1+ — Ф)(хг+Уг+гг)+а4$4(5+1). г 6) (хг+уг+22+бог)(е' — 1 — й) — агзг(3+1); 1 7) — (1 — соваз) е'совх вшу+ аг + е"+' ) - вЬ аз вш х + — вЬ (агЯ) + х сЬ (аз~/2); (а ~/2 8) хусовг соваз+ — уге*вЬаз+ а + х 79 1 1+ 25аг сов (Зу + 42) ~е — сов 5аг — — вш 5аг); 54 9) ( 99 — 9 9) Р99 9Ф9 1 а Ю,й999'9*'(9.
9- 99 а з 12. Задача Коши для уроонгнил гиперболического шнно 151 г/3 г/З 1>.40. с = (А.,'.— ),о = [А~ .>>)~ ь щл>,'.— ~л ~ю>], о о Сз = а [ 4(а + 1) + — ]. 12.41. Решение. Свертка 4'„г Г существует в силу 8.34 и опРеделхетсл фоРмУлой этой заДачи, где д = йн и 1 = Г, так как Р(х, $) = 0 при Ф < 0 и вирр 4н(х, 1) С Г в силу 11.15-11.17. 12.42.
Р е ш е н и е. Пля ш = и — и", где и'(х,$) Е У'(Вн+«), и* = 0 при 1 < О, — другое решение задачи (9), имеем ю Е У'(В"+'), и«=0 при 1 <0 и шм шагЬю. Свертка д'„*ш существует в силу 12.41. Тогда ш = 5 *и« = ((йо)и — азь'йн) «е« = 4о о (ши — аг«3ш) = О. Следовательно, и' = и. 12.43. Решение. 1) 4н(х,1) Е С по1 6 [О,со) в силу 11.26. При каждом $ > 0 носитель зцррйн содержится в шаре [х[ < а1 и, следовательно, равномерно ограничен в В" при 1 — «$о > О.
Поэтому в силу непрерывности свертки в У имеем ~ л ~ П > ? *и«(х),>р(х) 6 С[О,оо), й = 0,1,... (:«) д"4' (х,е) .Пля всех >р Е У (В" ) (определение обобщенной функции (и(х, Ф) > З«(х) ) Е Е У'(В") см. в конце 3 11). Палее, в силу результатов задачи 8.35 — „(РОО(х,е),у(х)) = — „(4'„(х,1) г и«(х) Ю(г)),>р * и«(х), >р Е С[0, оо) ь и 1 ? ~ ~ [по > ! ~ ~ ~ и ~ 1 ~ ) ! С о > д" 4' (х, 1) в силу (*). Следовательно, (Ун ~(х,г),о«(х)) 6 С [О,со), т.е. М ~ Е С по 1 Е [О, со).
Аналогично для Рн 2) в силу 11.26 при $ — «+О Ун> >(х>1) шйн(х>1) оид(х) — + Охи« = 0 в У'(В"), дЪ'~'«(х, Ф) д = у [4н(х, Ф) л ид(х)[ = дЮ„(х, з) — гид(х) — «Ю*и« ш— и«(х) в У (В"). > н д> 12.44. У к аз а ни е. Воспользоваться формулой (10) из 212, задачей 11.15, формулами (3), (3«) из 3 8 и задачами 8.31 и 8.8. 1) и = 4«(х,е) = — д(ае — [х[); 2) — д(а(1 — ео) — [х — хо!)' 1 1 2о 2о 3) — ' = — д(1) 5(а1 + х) — — д(М) 5(аг — х); 152 Гя. 1«'. Задача Коши 4) — = - 6(а$ — [х]); 5) — 6(а(я — яа) — ]х]); два 1 1 дв 2 2 6) — д(Ф) 6(ав+ х — ха) — — д(Г) б(а$ — х — хе); 1 1 2а 2а 7) — = — — 6(а1 — ]х]); 8) — = — [б'(ав+ х) — б'(а$ — х)]; д«бГя 1 д дя45 д(в) дГЯ 2 дв дхз 2а 9) 0; 10) — д(ав — [х]). 12.45.
См. указания к задаче 12.44. 1) Р е ш ение. Уравнение (9) для искомой м(х,$) имеет вид пяя ша~ия +Дх,я)+но(х) 6'(Г)+ия(х) 6(1) = = азия«+и(1) 6(х)+6(х).6'(1)+6(х) б(1). («) В силу формулы (10) = Ц + ~'~ ~ + ~~ ~ = А * [ш(1) 6(х)]+ + 4 «[6(х) ° 6'(1)] + 6Г «[6(х) . 6(1)] (««) В силу задачи 8.35, 1) Ф вЂ” /я//о 1~~ = — д(ав — ]х[) / ы(т) дт.
о В силу задачи 12.44, 1) и 4) (тГ~ ~(х, я) = — д(ав — ]х]) и Ъ~ ~(х, я) = — 6(ав — ]х]). Подставив Ры 1~~ и Р' в (««), получим решение обобщенной задачи 03 Го> Коши («) . Из 12.2 следует единственность задачи («). Из задачи 12.43 следуют предельные соотношения п(х, Ф) — + 6(Г), ия(х, 1) — + 6(1), М вЂ” «О в У'(Л"); 2) — д(ав — ]х])(ав — ]х]) + — 6(а1 — ]х — ха[); 1 1 2аз 2 3) — д(1 — ]х])(1 — ]х])з + — д(М вЂ” ]х — 3]) + — 6(М вЂ” ]х — 2]); 4 2 2 4) — д(ая — [х — ха[) [1 — сов ~1 — д — — д(ав — ]х]) (У к а- 1 Г / ]х — хо]Ы 1 2« а Я 2а ванне.
хб'(х) = -б(х).); 5) — д(ав — ]х]) [2+ вш (1 - — )~ (У к а з а н и е. хзбо(х) = 26(х).); 5) — д(ав — ]х[)(е О ~япо> — 1) + — 6(ав — ]х+Ц)+ — 6(ав — [х- Ц); ц вр- я-яр„т-«-'я.~ -ая- я,-яр+ -ар- я-яь 1 1 2 2 8) — д(à — ]х])(à — ]х])з + Сд(1) + — д(1 — ]х + Я]) — — д(я — ]х — Я[) б 2 2 (У к а з а н и е. См. задачу 7.14, 1).); б 12. Задача Коши двиг вгваеиеиия гиаегвбо вичеекого шила 153 9) — 6(а1 — (х/)~1 — — ) 1п ~е ф — — )] + — 6(а1 — (х/); 10) — 6(Ф вЂ” 1 — (х !) ~агс1к (С вЂ” (х/) — -) + — 6(1 — ! х+ л4) — — 6(1 — (х - Щ; 1 У вг1 1 1 2 4) 2 2 11) — 6(1) 6(1+х+2) — — 6(1) б(1 — х — 2) — — 6(1) 6(1+х — 2)+ 1 1 1 2 2 2 + — 6(1) б(1 — х + 2) (У к а з а н и е. См.
задачи 7.14, 1) и 8.8, 2).); 1 12) — 6(а1 — )х — Ц) 1и ~1 + С вЂ” — ) + — 6(а1 — (х — к(); 1 в' (х — Цз 1 2а а ) 2а 13) 6(а1 — (х() 14) — — 6(1 — (х/)(о(1 — (хО + 2)3(1 — /х/)] — 6(1) 6(1+ х) +6(1) 6(1 — х) 4 (У к а з а н и е. Воспользоваться хбо(х) = — 26'(х) и задачей 8.8, 2).).
12.49. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (10)-(13). 1) Р е гл е н и е. и = уг+ уг~ 1+ у11 1; уг — — О. В силу формулы (11) г+а( а+а( *- г га) = в(в( 1' в(((о='(( 1' в(ов( — 1' в(()в(] = г — ав о о = — '16(х + а1) (х + ав) — 6(х — а1) (х — ав)), В(г) а+а( г,"= в(',(( 1" в(цв(] =,(((в(*в в)вв(*- в(1 а-ае 2) 6(1) х+'-( -1) (*+'Ц-~*-'Ц 2 2а 3) 6(1) ~ — + — 6(х+ а1)4х+ аг — — 6(х — а1)вГх а1; 1 ~ 6 о а 4) 6(1)~(1+1) 1п(1+1) — 1+ — 6(1 — х)(1 — х) + — 6(-1 — х)(Ф+х)~ ( У к а з а н и е.
Уг = — 6(1 — )х/) в — 1(х).); 1 ' В(1) 2 1+1 5) 6(1 — 2) 111п ~уВ+ (1 — 1) 1п 4 — (1 — Ф)1+ — + — ()х+1(+ (х — Ц); 6(Г) Г 21'"+1 8) — ~ + 6(2 — (х+ аЦ) + 6(2 — (х — аЦ); 2 ~(га+ 1Иги+ 2) 7) — 11е*+' — е*вЬФ+ 6(х+1)(1 — е * ') — В(х — 1)(1 — е' *)); 8) — 6(1 — гг) (1 + сов 1) + — (6(х + 31 — 3) + 6(х — 31 — 3) + 21); 6(1) 9) ( ) (6(х+ 1)(х+ 1)з+ 6(х — 1)(х — 1)з — 26(х) хз); 4 154 Га Л~.
Задача Коши 10) — ГВ(х + й) (х + й) з + В(х — й) (х — й)з — 2В(х) хг + — ео*вЬ ай!, б а а~0; 11) ( ) (Зх+й+2)(й — 1)г+ б + — [вйбп (х + й)(х + й)г — зсбп (х — й)(х — й)г]; 12) ( ) (й+ 4)(й — 2)г+ б + — (В(х — 1 + й) 1п (х + й) + В(х — 1 — й) 1п (х — й)); В(й) 13) — [В(х+ й)(х+ й)'"(1+ — ) +В(х — й)(х — й)"'(1 — — )~; 14) — (8йзс +ЗВ(х+й) вш(х+й) — ЗВ(х — й) всп(х — й)]; в(й) 15) В(й)~ — хй 7 +'В(-х — й)~-+ — )+В(-х+й)~- — ); Г4 з г й (*+С)Ъ й (- +й)г'1 ~15 (2 4 ) 12 4 16) ( ) [бхгй + 2йз + ЗВ(х + й) е '»а+с + ЗВ(х — й) е ~'1 17) — [совх вшй+ 2зшх зшй — йсов(х+ й)]; В(й) 18) — (В(1+ х+ й)(1+ х+ й) — В(1+ х — й)(1+ х — й)+ В(й) 2 +В(-1+ х — й)(-1+ х — й) — В( — 1+ х+ й)( — 1+ х+ й)].
12.53. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (10) — (13), задачей 12.50 и решением задачи 12.45, 1). йз йг 1) В(й)( — + — +е *сЬаай); 2) В(й)[йв (- 1пй — — ) + З*сЬ ай~ ~У к а з а н и е. Уг = — х х В(ай — ]х/):» В(й) й 1п й ° Цх).); 3) — ((1 — аг) йс + бйгхг + 6(х + ай)"' + 6(х — ай)'"]; 4) — (йс+бйгхг+12совх (вспй+созй)]; 5) — 13(х+ ай) 1п(х+ ай] — 3(х — ай) 1п]х — ай] — бахгй — 2азйз]; 18а в(й) Г 2'+с — 2* '1 6) — ]се(х+ й) — зшх зшй+ 2 1а2 7) В(й)[й — вшй+ — агсйб 8) В(й) е — й — 1+ ()1 с 1 + 1 ) ()1 ~° .-" ° .--.1 156 Гл. Л'. Задача Коши 4лаг)х! + 4з(х,1) + дг, Где з = 4 дг ВЯ (х); В(аг — !х!) доз(х,г) В(г) 2) В(о(г — го) — )х - хо!) 4» ( г 1) 4ггаг/х — хо! 3) Р е ш е н и е.
и = багз + лз~ ~ + )гзгц. В силу 8.35, 1) (г.л=(г В),гг=~ ~~ г~,(о ()гГ'г-иГГФ*,~-:- г)= / в(г) =~ ~,г ~ ~ ~г,ох.о)г.. \й О го)=ос Так как гБх гг(аФ) = ггх — элемент объема в яз, то 4ггаг!х! ~ 1-«-!.!1)„,(„)и,а У 4ггаг)х! Следовательно, ,(о) дВз(х,г) 3 дхз фг) 2 даз(х, г) з ог(г — (х!/ю) 4ггаг/х! так как /х! д, — — 26(х); г дг6(х) 4) В( г ! !) зш(г-)хна) д'аз(х,г) ~~)~ д6(х) д6(х) 4з.аг/х! дхз дг, дхз дхз 12.59. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.15, формулами (10), (14г), (14з) и (15г). 1) В(г)~ — +Сг+С), 2) В(ц~~ ~ + ~ ог1з+ 2 ггг + ! .!г~~ + г+ 1)]. 3) В(г)~ г + 2 оггз + г(1+ ! )гф 4) В($)(-аггз+ (4аг+ !х!г)(1 — 1+ с г) + 1+ $х/г).
12.60. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.16 и формулами (10), (14г), (14з) и (15г). г'(*!'г' 'г' ц В(г) + +!.!гг+аггз~. 2 4 г огг (х! г 2) В(1) ~ — + — + г + 1 412. Задача Коши дае уравнения гинербоаического твина 157 3) ~ ю(т)(1 — т) ат+ д(1)(паз вз + о/х)з$ + Я; е 4) — ~ !п(!х!+$)+ !п((х! — С)-2!х) !п!х) — Звз; в(е) Г((*! + е)' ((*! — е)' 2 12 ~ (х! )х! 8) В(Е) ~~ ! з )х! + аз !х) — ав 2(х) ~ 1 + (/х! + аз)г 1 + ()х! — аз)з ) 6) — [()х! + 1) зш ()х! + 1)з + ()х/ — г) в!п ()х) — $)з + 2/х! +-сЬ((х(+ 1) — -сЬ((х! — С)ф 7) ( ) 21з + 12(х!з + Збазвз + — !п 12 \, а)х! 1+ ()х! — ас)г/' /в/<в +в~ ' т тГ*Г=а'); 2)х! с 9) — 2е !*! ~е о зЬ2р!х)с4р+з!и(!х/+с)з — в!п(/х( — Ф)з; 4)х! [ 10) (е) [()х(+ Ю) !п(1+ ()х) + Ю) ) + + (/х) — 1) 1и(1+ (!х( — 1)з) + е (!в! ' 1вЬ21!х!1; 11) — ! 8е <!в~ +~ >Ох) сЬ21/х) — ввЬ21)х!) + 8)х! 1 + [()х) + 1)г 1и ()х) + 1) — (/х) — С)з !и (/х! — С) — 41)х!1); 12) д(С) (Ф вЂ” в!пв+ соз ()х! + ав)з + — соз (/х( — ав)з); 2!х! 2/х! 13) — [(!х) — аг) д(Я-Цх) — аз!)+(!х)+аз) д(Я-)х/ — ав)~ (У к а- 2)х! з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
